【浙江卷】浙江省金丽衢十二校2024-2025学年高三下学期3月第二次联考数学试题及答案

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数 学 试 题
本卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟，试卷总分为150分，请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={1,2,3},B=x∈Nx20，则ff1=（ ▲ ）
A．−1B．−1eC．1D．e
6．已知两条相交直线a,b，a在平面α内，b在平面α外．设a,b的夹角为θ1，直线b与平面α所成角为π2−θ1，sinθ1=255．则由a,b确定的平面与平面α夹角的大小为（ ▲ ）
A．π12B．π6C．π4D．π3
7．设抛物线C:x2=4y的焦点为F，斜率为12的直线与抛物线交于A,B两点，若AF+BF=7，则cs∠AFB的值为（ ▲ ）
A．0B．−45C．−32D．−74
8．在△ABC中，“sin2A+sin2B=sinA+B”是“C为直角”的（ ▲ ）
A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件
C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设1+2x6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，则下列说法正确的有（ ▲ ）
A．a0=1B．a3=20
C．该二项式的所有二项式系数之和为64D．a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=729
10．已知函数fx=sinπ4+x,gx=2fxf−xfx+π4，下列说法正确的有（ ▲ ）
A．fx的最小正周期为2πB．gx是偶函数
C．gx在区间0,π2上单调递减D．gx在0,π2上的值域为−69,1
11．已知正项等差数列an与正项等比数列bn首项相等，且满足a1+b1=a2,a2+b2=b3，则下列说法中正确的有（ ▲ ）
A．bn的公比为2B．∃m≥3，使得am=bm
C．对∀λ0的上顶点与右顶点分别为A,B，若直线AB的倾斜角为56π，则C的离心率为 ▲ ．
13．已知函数fx=x3−6x2+9x在x=a处取得极大值，在x=b处取得极小值，若fx在0,m上的最大值为a+b，则m的最大值为 ▲ ．
14．有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第k个位置上的卡片恰好写有数字k．然后掷一颗均匀的骰子，若点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为2的概率为
▲ ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）
为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了400名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：
单位：人
（1）依据α=0.05的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？
（2）以顾率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有X位学生的语文成绩优秀，求随机变量X的分布列以及数学期望．
附：
χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
16．（本题满分15分）
已知等轴双曲线C的左右焦点分别为F1,F2，经过点F2的直线与C的渐近线相交于点M,N，点M的横坐标为−1，N是线段F2M的中点，经过点F1的直线l与C相交于A,B两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）当△ABF2的面积为4103时，求l的方程．
17．（本题满分15分）
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90∘，AB=6，O为AB的中点，D,E分别为AB,AC边上一点，满足AD=1,DE//OC．将△ADE,△BOC分别沿着DE,OC翻折成△A′DE,△B′OC，满足A′,B′在平面CODE的同一侧，A′D⊥面CODE,B′O⊥面CODE．
（1）证明：A′,B′,C,E共面；
（2）在线段B′C上是否存在一点F（异于端点），满足EF//平面A′DOB′？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的情况下，求直线CE与平面ODF所成角的正弦值．
18．（本题满分17分）
已知a,b∈R，函数fx=xe−x−aex+b．
（1）若曲线y=fx在0,f0处的切线方程为y=2x+1，求a+b的值；
（2）若函数fx在R上单调递增，求a的取值范围；
（3）若对∀b∈R，函数fx至多有两个零点，求a的取值范围．
19．（本题满分17分）
对任意给定的n∈N∗，若有穷数列an满足：am=k=1nXk,m−1,∀m≤n且m∈N∗其中Xk,i=0,ak≠i1,ak=i．则称该数列为“D数列”．
（1）当n∈{1,2}时，是否存在符合条件的“D数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“D数列”：若不存在，请说明理由：
（2）证明：（i）a1+a2+a3+⋯+an=n；
（ii）当n≥7时，任意符合条件的“D数列”都满足a2≥2；
（3）当n=20时，求出所有的“D数列”．
数学成绩
语文成绩
不优秀
优秀
不优秀
180
90
优秀
50
80
Pχ2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828