甘肃省平凉市崆峒区2024-2025学年上学期期末统考九年级数学试题（原卷版+解析版）

这是一份甘肃省平凉市崆峒区2024-2025学年上学期期末统考九年级数学试题（原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列美术字母中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，反比例函数的图象其中一支在第二象限，另一支在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 任意买一张火车票，座位靠窗户B. 直径所对的圆周角为直角
C. 抛物线开口向下D. 下个星期，平凉是下雪天气
5. 如图，正六边形内接于，的半径为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 平凉名胜古迹众多，旅游资源丰富，现已发现各个时期的古文化遗址465处，省级以上文物保护单位25处，是观光旅游、避暑休闲的好去处．小明现在手里有四张背面完全相同的景点旅游卡，正面印有各景点风景，其中有两张是“崆峒山”，另外两张分别是“泾川王母宫”和“崇信龙泉寺”，从中随机抽取一张，则恰好抽到“崆峒山”的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
8. 某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ）
A. 4B. 5C. 10D. 0
9. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是中点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点．下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 方程的解是
D. 若，是图象上的两点，则
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
12. 如表是某商场举行活动转动转盘的统计数据，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率为______．（精确到）
13. 若是方程的一个根，则方程的另一根是_______．
14. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点式为__________．
15. 如图，A，B两点在双曲线上，分别过A，B两点向两坐标轴作垂线段，已知，则值为___．
16. 如图，是的直径，弦，，．则图中阴影部分的面积为___________．
三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 用配方法解方程：
18. 已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式．
19. 如图，综合实践课上，坤坤用半径为，圆心角为的扇形纸板制作了一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，求这个圆锥形生日帽的底面半径．
20. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）求k的值；
（2）若，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小．
21. 如图，三个顶点坐标分别为．
（1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标；
（2）请画出将绕点A顺时针旋转后的，并写出点的坐标．
22. 某中学食堂为满足学生不同口味的需求，配备了不同种类的菜品，各窗口菜品分类如下：①主食类；②炒菜类；③清蒸类；④汤品类．假设选到每种菜品的可能性相同．
（1）小明去食堂用餐，则小明选择“①主食类”窗口菜品的概率是 ；
（2）若小明和小红一起去食堂用餐，求小明和小红选择同一窗口菜品的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由）
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．
（1）若，求旋转角的度数；
（2）若，求的长度．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当时，x的取值范围．
25. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．

（1）求证：为的切线；
（2）若且，求的半径．
26. 商场销售一种成本为20元/件护眼灯，在销售过程中发现，每月销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系可近似地看作一次函数，设每月的销售利润为w（单位：元）．
（1）w与x之间的函数解析式为 ．
（2）当商场销售这种护眼灯每月的销售利润为1500元时，求护眼灯的售价．
（3）当护眼灯的售价定为多少时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？
27. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2024-2025学年甘肃省平凉市崆峒区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 下列美术字母中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形， 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2. 如图，反比例函数的图象其中一支在第二象限，另一支在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的图像的特征进行判定即可．
本题主要考查反比例函数的图像的特征．反比例函数的图像，时，两支曲线分别位于一、三象限；时，两支曲线分别位于二、四象限．熟练掌握反比例函数的图像的特征是解题的关键．
【详解】由图知，反比例函数的图像其中一支在第二象限，
∴，
∴另一支在第四象限．
故选：D．
3. 方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的直接开平方法，利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：，
则，
所以．
故选：A．
4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 任意买一张火车票，座位靠窗户B. 直径所对的圆周角为直角
C. 抛物线开口向下D. 下个星期，平凉是下雪天气
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查随机事件，二次函数的性质，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可．
【详解】解：A、任意买一张火车票，座位靠窗户，是随机事件，不合题意；
B、直径所对的圆周角为直角是必然事件，符合题意；
C、抛物线开口向下是不可能事件，不合题意；
D、下个星期，平凉是下雪天气是随机事件，不合题意；
故选：B．
5. 如图，正六边形内接于，的半径为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形和圆、弧长公式．连接，，根据正六边形内接于，可以求出，根据弧长公式即可求出的长度．
【详解】解：连接，，
多边形为正六边形，
，
的长，
故选：B．
6. 平凉名胜古迹众多，旅游资源丰富，现已发现各个时期的古文化遗址465处，省级以上文物保护单位25处，是观光旅游、避暑休闲的好去处．小明现在手里有四张背面完全相同的景点旅游卡，正面印有各景点风景，其中有两张是“崆峒山”，另外两张分别是“泾川王母宫”和“崇信龙泉寺”，从中随机抽取一张，则恰好抽到“崆峒山”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题关键．
由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“崆峒山”结果有2种，利用概率公式可得答案．
【详解】解：∵共四张背面完全相同的景点旅游卡，有两张是“崆峒山”，另外两张分别是“泾川王母宫”和“崇信龙泉寺”，
∴从中随机抽取一张，则恰好抽到“崆峒山”的概率为．
故选：C．
7. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求出n的取值范围，即可选择．
【详解】根据题意可知：，
∴．
∴符合题意的选项为D．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式．根据题意可知一元二次方程没有实数根时其根的判别式小于0是解答本题的关键．
8. 某种蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ）
A. 4B. 5C. 10D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义直接求解即可．
【详解】解：由题意，设，
∴，
∴；
∴当时，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，理解反比例函数的定义是解题关键．
9. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
10. 如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，且经过点．下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 方程的解是
D. 若，是图象上的两点，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点，与x轴的交点，对各选项逐一判断，即可得到结果．
【详解】解：∵二次函数图象的开口向下，
∴，
∵二次函数的对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∵函数图象与y轴的正半轴相交，
∴，
∴，
故选项A错误，不符合题意；
∵二次函数的对称轴为，
∴，
∴，
即，
故选项B错误，不符合题意；
∵二次函数图象与x轴的一个交点为，对称轴为，
∴函数图象与x轴的另一个交点为，
∴方程的解是，，
故选项C错误，不符合题意；
∵关于对称轴的对称点坐标为，
在对称轴的右侧，函数图象y随x的增大而减小，
又∵，
∴，
故选项D正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数.
根据关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数即可得到答案.
【详解】解： 点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：.
12. 如表是某商场举行活动转动转盘的统计数据，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率为______．（精确到）
【答案】0.3
【解析】
【详解】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
根据图中表格的数据即可得出结论．
【分析】解：由图可知，大量的重复试验落在“谢谢参与”区域的频率稳定在0.3左右，
∴转到“谢谢参与”的概率为0.3．
故答案为：0.3．
13. 若是方程一个根，则方程的另一根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一根为，则根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．若，是一元二次方程的两根时，，．
【详解】解：设方程的另一根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
所以方程的另一根是．
故答案为：．
14. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要是考查了二次函数图象的平移，一定要熟记平移规律“上加下减，左加右减”，但也要注意上加下减和左加右减的对象不要弄混．根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为，即，
故答案为：．
15. 如图，A，B两点在双曲线上，分别过A，B两点向两坐标轴作垂线段，已知，则的值为___．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数k值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：∵A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，
∴，
∴．
故答案：6．
16. 如图，是的直径，弦，，．则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理解得，再由圆周角定理知，解得，接着证明，继而得到，最后扇形的面积公式解题即可．
【详解】解：设线段相交于点，
是的直径，弦，
，，
与中，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理、含30°角的直角三角形、垂径定理、正切、扇形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 用配方法解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】利用解一元二次方程配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程配方法的步骤．
18. 已知抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】设出顶点式，代入求解即可．
【详解】解：由题意设函数的解析式是
把代入函数解析式得，
解得：，
则抛物线的解析式是.
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．
19. 如图，综合实践课上，坤坤用半径为，圆心角为的扇形纸板制作了一个圆锥形的生日帽．在不考虑接缝的情况下，求这个圆锥形生日帽的底面半径．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆锥的计算，设圆锥的底面半径为．根据扇形的弧长=圆锥底面圆周长构建方程求解．
【详解】解：设圆锥的底面半径为．
由题意得：，
解得，
答：这个圆锥形生日帽的底面半径为．
20. 已知反比例函数的图象经过点．
（1）求k的值；
（2）若，是该反比例函数图象上两点，试比较函数值，的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数的图象．
（1）将点代入，求出k的值即可；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
【小问1详解】
解：将点代入，得：，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
当，y随x的增大而减小，
∵，是该反比例函数图象上的两点，，
∴．
21. 如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标；
（2）请画出将绕点A顺时针旋转后的，并写出点的坐标．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，点的坐标；
【小问2详解】
如图，即为所求，点的坐标．
22. 某中学食堂为满足学生不同口味的需求，配备了不同种类的菜品，各窗口菜品分类如下：①主食类；②炒菜类；③清蒸类；④汤品类．假设选到每种菜品的可能性相同．
（1）小明去食堂用餐，则小明选择“①主食类”窗口菜品的概率是 ；
（2）若小明和小红一起去食堂用餐，求小明和小红选择同一窗口菜品的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（）由题意知，共有种等可能的结果，其中小明选择“①主食类”窗口菜品的结果有种，利用概率公式可得答案；
（）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小红选择同一窗口菜品的结果数，再利用概率公式可得出答案；
本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意知，共有种等可能的结果，其中小明选择“①主食类”窗口菜品的结果有种，
∴小明选择“①主食类”窗口菜品的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表可知，共有种等可能的结果，其中小明和小红选择同一窗口菜品的结果有种，
∴小明和小红选择同一窗口菜品的概率为．
四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．
（1）若，求旋转角的度数；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得到，则由三角形内角和定理可得，再由旋转角的定义可得答案；
（2）根据旋转的性质得到，则．
【小问1详解】
解：由旋转的性质得，
∵，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上，
∴旋转角的度数为；
【小问2详解】
解：由旋转的性质可得，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，熟练数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：把代入的可得，
∴反比例函数的解析式为，
把点代入，可得，
∴，
把，代入，得，
解得，
∴一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，
结合函数图象可知，当时，或．
25. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．

（1）求证：为的切线；
（2）若且，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论；
（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：由（1）得，
设的半径，则，
∴，，
在中，由勾股定理得，，
，
解得，或舍去，
∴的半径为．
26. 商场销售一种成本为20元/件的护眼灯，在销售过程中发现，每月销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系可近似地看作一次函数，设每月的销售利润为w（单位：元）．
（1）w与x之间的函数解析式为 ．
（2）当商场销售这种护眼灯每月的销售利润为1500元时，求护眼灯的售价．
（3）当护眼灯的售价定为多少时，每月的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）25元/件 （3）当护眼灯的售价定为30元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是2000元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用．理解并熟练应用销售利润的表达方式是解决本题的关键．
（1）根据销售利润每件护眼灯的利润销售量，把相关数值代入整理即可；
（2）取，求得的值，根据的取值范围得到合适的解即可；
（3）易得抛物线的开口方向和对称轴，进而根据的取值范围结合抛物线的对称轴可得所求问题的结果．
【小问1详解】
解：
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：当时，可得，
整理得：，
，
解得：，，
，
．
答：护眼灯的售价为25元件；
【小问3详解】
解：，
抛物线的开口方向向下，对称轴为：直线，
，
当时，最大，最大．
答：当护眼灯的售价定为30元件时，每月的销售利润最大，最大利润是2000元．
27. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．
【解析】
【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解
【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）．
又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=-1．
∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3），即y＝-x2+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P． 则此时的点P，使△PAC的周长最小．
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(3，0)，C(0，3)代入，得：
，解得：．
∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3．
当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．
（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．
∵抛物线的对称轴为： x=1，
∴设M(1，m)．
∵A(－1，0)、C(0，3)，
∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10．
若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1．
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±．
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰三角形的存在性问题，需要数形结合、分类讨论，难度较大．
转动转盘的次数m
100
300
500
800
1000
落在“谢谢参与”区域的次数n
33
93
153
236
301
落在“谢谢参与”区域的频率
0.33
0.31
0.306
0295
0.301
转动转盘的次数m
100
300
500
800
1000
落在“谢谢参与”区域的次数n
33
93
153
236
301
落在“谢谢参与”区域的频率
0.33
0.31
0.306
0.295
0.301
小红
小明
①
②
③
④
①
（①，①）
（①，②）
（①，③）
（①，④）
②
（②，①）
（②，②）
（②，③）
（②，④）
③
（③，①）
（③，②）
（③，③）
（③，④）
④
（④，①）
（④，②）
（④，③）
（④，④）