山东省聊城市阳谷县 三校联考2024-2025学年九年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

这是一份山东省聊城市阳谷县 三校联考2024-2025学年九年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中能表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A 1B. 2C. D.
3. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
4. 一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）

A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米
7. 2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩．出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的数量关系可列式为（ ）
A. B.
C. D.
9. 在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP=x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为( )
A. B.
C. D.
10. 抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只．则20年后存活的有__________只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是__________．
12. 为保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了60只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地有灰鹤________只．
13. 如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数图象经过点，则的值为______．
14. 二次函数图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为__________．
15. 若点在二次函数图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
16. 已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为______．
17. 将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是____．
18. 某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为______．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前的取值范围是______．

三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 下列数据，是随机抽取的某居民小区20户居民的家庭人口数：
3，4，3，3，2，5，6，6，3，3，3，5，4，3，3，3，4，6，4，3．
（1）按适当的标准，将以上数据加以分组，列出相应的频数、频率分布表；
（2）根据你分组，用扇形统计图表示出这20户居民家庭人口数的分布情况．
20. 中国共产党的早期领导人瞿秋白、张太雷、恽代英都是江苏常州共产党员，故被称为“常州三杰”．为弘扬“常州三杰”红色精神，某校九年级的甲、乙、丙、丁4位同学抽签到三个纪念馆（ A．瞿秋白纪念馆、B．张太雷纪念馆、C．恽代英纪念馆）参加志愿服务活动．
（1）若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务的概率为 ；
（2）从4人中选派2人去张太雷纪念馆，试求出恰好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．
21. 在今年第29个世界读书日来临之际，某校数学活动小组为了解七年级学生每天阅读时长的情况设计了一份调查问卷，同时随机邀请七年级的一些学生完成问卷调查，获得了这些学生平均每天阅读时长的数据，并对这些数据进行了整理，绘制成频数分布表、频数分布直方图．下面给出了部分信息．
a．平均每天阅读时长频数分布表、频数分布直方图分别如图所示．

b．其中这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，84，84，85，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m= ，n= ，参与问卷调查的学生共有 人；
（2）补全频数分布直方图；
（3）为了鼓励学生养成阅读习惯，语文老师建议对七年级平均每天阅读时长在75分钟及以上的学生授予“阅读达人”称号．已知七年级共有990名学生，请估计该年级共有多少名学生获得“阅读达人”称号．
22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
23. 某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．
（1）求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；
（2）求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
（3）根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体是安全的．那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？
（4）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
24. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．抛物线与y轴交于点，点P是抛物线的顶点，连接．
（1）求抛物线的顶点P的坐标；
（2）直线与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点；
①当的面积等于面积的4倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请求出的长．
25. 如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点在B的左侧，与y轴交于点
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线经过向右与向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B，两点在B的右侧，顶点D的对应点为点，若，求点的坐标及抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2024-2025学年山东省聊城市阳谷县三校联考九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中能表示是的函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数的概念与图象，根据函数的定义判断即可．
【详解】解：∵C图象中对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义；而A、B、D图象中对于每一个的值，并非都有唯一确定的值与之对应，不符合函数的定义；
∴C符合题意，A、B、D不符合题意．
故选：C．
2. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
轴，
轴，
点在函数的图象上，
，
轴于点，轴，点在函数的图象上，
，
四边形的面积等于；
故选：C．
3. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小．
【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
故选：A．
4. 一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
∴的取值范围是，
故选：C．
5. 二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式性质，首先求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而求解即可．
【详解】解：设二次函数解析式为
根据题意得，
解得
∴
∴
∴．
故选：C．
6. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）

A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米
【答案】B
【解析】
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，则，
解得（舍去）或．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
7. 2023年春节期间，全国各地迎来了旅游热潮，小丽和小希计划趁着寒假在省内结伴游玩．出发之前，两人用随机抽卡片的方式来决定去哪个景点旅游，于是两人制作了四张材质和外观完全一样的卡片，每张卡片的正面绘有一张景点图，将这四张卡片背面朝上洗匀，小丽随机抽取一张后放回，小希再随机抽取一张，则两人抽到的景点相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设这四张卡片分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得共有16种等可能结果，其中两人抽到的景点相同的有4种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：设这四张卡片分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格如下：
共有16种等可能结果，其中两人抽到的景点相同的有4种，
所以两人抽到的景点相同的概率是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
8. 某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的数量关系可列式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设改造农田x亩，根据题意可求出改造的x亩农田的总成本和总销售额，再根据收益=总销售额-总成本，即可列出方程．
【详解】设改造农田x亩，则总成本为，总销售额为，
∴可列方程为．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
9. 在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP=x，△BEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD=2，OB=OD=BD=，
①当P在OB上时，即0≤x≤，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC=BP：OB，
∴EF=2BP=2x，
∴y=EF•BP=×2x•x=x2；
②当P在OD上时，即＜x≤2，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC=DP：OD，
即EF：2=(2-x)：，
∴EF=2(2-x)，
∴y=EF•BP=×2(2-x)•x=-x2+2x，
这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：
二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．
当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．所以由此图我们会发现，EF的取值，最大是AC．当在AC的左边时，EF=2BP；所以此抛物线开口向上，当在AC的右边时，抛物线就开口向下了．
故选C．
【点睛】此题考查二次函数的性质，解题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题．
10. 抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，（其中为任意实数）．其中结论正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线开口向上可知，当时，因而，故该结论正确；由抛物线与轴有两个交点可知，一元二次方程有两个不相等的实数根，因而可得，即，故该结论错误；由与是关于对称轴的对称点可知，与时的函数值相等，而时，因而时，故该结论错误；由抛物线对称轴为直线可得，而时，即，故该结论正确；当时，取得其最小值，而当时，因而可得，即，
故该结论正确；综上，即可得出答案．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
当时，，
，
，
故结论正确；
抛物线与轴有两个交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
故结论错误；
与是关于对称轴的对称点，
由抛物线图象的对称性可知，与时的函数值相等，
当时，，
当时，，
故结论错误；
抛物线对称轴为直线，
，
当时，，
即：
，
故结论正确；
当时，取得其最小值，此时，
而当时，，
，
整理，得：，
故结论正确；
综上，正确的结论有，共个，
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，求函数值，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式，轴对称的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质及其与一元二次方程的关系是解题的关键．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只．则20年后存活的有__________只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】共有a只这种动物，根据题意即可求出这种动物活到20岁的有0.8a只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率通过25岁存活数÷20岁存活数即可得到．
【详解】解：共有a只这种动物
∵这种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，
∴这种动物活到20岁的有0.8a只，活到25岁的有0.5a只，
∴现年20岁的这种动物活到25岁的概率是0.5a÷0.8a=
故答案为：．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
12. 为保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了60只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地有灰鹤________只．
【答案】400
【解析】
【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图，用“频数÷频率=总数”可得答案．
详解】解：（只），
即估计该湿地约有灰鹤400只．
故答案为：400．
13. 如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数与几何图形的关系，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
作于点，作轴于点，根据直角三角形的性质，角平分线的性质可得，可求出的值，从而求出的值，根据相似三角形的判定和性质可证，可求出点的坐标，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，
∵，平分，平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，且，，，
∴，
解得，，，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为： ．
14. 二次函数图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式的一般式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：，
平移后的解析式为：，
故答案为：．
15. 若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．
【详解】解：点到轴的距离小于2，
，
点在二次函数的图象上，
，
当时，有最小值为1．
当时，，
的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题考查是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
16. 已知二次函数图象上三点、、，则，，的大小关系为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
点关于对称轴的对称点是，而，
故答案为：
17. 将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图像如图所示．当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想求解是解答的关键．先求得原二次函数与x轴的交点坐标，求得直线过临界点A、B时的b值，再求得翻折后的二次函数的图像与直线相切时的b值，利用图像即可得出b的取值范围．
【详解】解：如图，令，由得，，
∴，，
将点A代入得，
将点B代入得，
将二次函数的图像在x轴上方的部分沿x轴翻折后的表达式为，
由得，
由得，
根据图像，当直线与新函数的图像恰有2个公共点时，b的取值范围是或，
故答案为：或．
18. 某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为______．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前的取值范围是______．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意可知该二次函数过点，，再利用待定系数法即可求出其解析式；由（1）可知，再根据的取值范围，分别列出，，时的方程式，综合得出的取值范围．
【详解】解：如图，

由题意可知，．
则，
解得：，
球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为；
整理可得
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
当，
当，
当时，
综上，的取值范围为
故答案为：①②
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，绝对值的性质，不等式的性质，理解题意，正确求出与之间的函数关系式和与之间的函数关系式是解题关键．
三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 下列数据，是随机抽取的某居民小区20户居民的家庭人口数：
3，4，3，3，2，5，6，6，3，3，3，5，4，3，3，3，4，6，4，3．
（1）按适当的标准，将以上数据加以分组，列出相应的频数、频率分布表；
（2）根据你的分组，用扇形统计图表示出这20户居民家庭人口数的分布情况．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图．读懂题意，根据题意找出每组的人数，列出图表是本题的关键．
（1）求出极差，确定组距为2，确定组数，进而列出频数分布表即可；
（2）根据（1）中的分布表画出扇形统计图即可．
【小问1详解】
解：这组数据的最大值为6，最小值为2，极差为，
确定组距为2，组数为3，
频数分布表为：
【小问2详解】解：这20户居民家庭人口数的分布情况如图所示：
20. 中国共产党的早期领导人瞿秋白、张太雷、恽代英都是江苏常州共产党员，故被称为“常州三杰”．为弘扬“常州三杰”红色精神，某校九年级的甲、乙、丙、丁4位同学抽签到三个纪念馆（ A．瞿秋白纪念馆、B．张太雷纪念馆、C．恽代英纪念馆）参加志愿服务活动．
（1）若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务的概率为 ；
（2）从4人中选派2人去张太雷纪念馆，试求出恰好抽到甲和乙的概率（用画树状图或列表求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）每位同学参加三个纪念馆的概率相等；
（2）根据题意画出树状图即可求解．
【小问1详解】
解：若每人只能去一个纪念馆，则甲同学参加瞿秋白纪念馆志愿服务的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中恰好抽到甲和乙的情况有2种，
∴恰好抽到甲和乙的概率为
【点睛】本题考查概率的实际应用．掌握列表法或树状图法是解题关键．
21. 在今年第29个世界读书日来临之际，某校数学活动小组为了解七年级学生每天阅读时长的情况设计了一份调查问卷，同时随机邀请七年级的一些学生完成问卷调查，获得了这些学生平均每天阅读时长的数据，并对这些数据进行了整理，绘制成频数分布表、频数分布直方图．下面给出了部分信息．
a．平均每天阅读时长频数分布表、频数分布直方图分别如图所示．

b．其中这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，84，84，85，89．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m= ，n= ，参与问卷调查的学生共有 人；
（2）补全频数分布直方图；
（3）为了鼓励学生养成阅读习惯，语文老师建议对七年级平均每天阅读时长在75分钟及以上的学生授予“阅读达人”称号．已知七年级共有990名学生，请估计该年级共有多少名学生获得“阅读达人”称号．
【答案】（1）5，15，50
（2）见解析 （3）396
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图、频数分布表、由样本所占百分比估计总体的数量：
（1）结合频数分布直方图、频数分布表以及数据的个数可得到结果；
（2）根据（1）中的信息补充频数分布直方图即可；
（3）根据数据中所占的百分比可得到结果；
结合频数分布直方图、频数分布表得到结果是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据频数分布直方图可得：，
根据其中这一组的平均每天阅读时长是：60，60，70，70，73，75，75，75，80，83，84，84，84，85，89，
可得：，
∴学生共有：人，
故答案为：5，15，50；
【小问2详解】
解：由（1）可得，补全频数分布直方图如下图：
【小问3详解】
解：∵成绩在的人数为：7人，
成绩在的人数为：3人，
成绩在的人数为：10人，
∴每天阅读时长在75分钟及以上的学生人数为：，
∴990名学生中获得“阅读达人”称号的人数为：人，
∴该年级共有396名学生获得“阅读达人”称号．
22. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标．
【答案】（1）；
（2）4 （3）点E的坐标为
【解析】
【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解；
（2）利用面积，即可求解；
（3）设点，，又，利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解.
【小问1详解】
解：将代入反比例函数，
解得，
∴，
将代入，
得，
将，点代入，
，解得，
∴；
【小问2详解】
解：设一次函数与x轴交于点D，
xx令，则，令，则，
∴的面积
；
；
【小问3详解】
解：设点，又，
由旋转知：为等腰直角三角形，
∴，
解得，
∴.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；要能够借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积是解题的关键．
23. 某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．
（1）求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；
（2）求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
（3）根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体是安全的．那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？
（4）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
【答案】（1）
（2）
（3）从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室
（4）能有效杀灭室内的蚊虫，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．
（1）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（2）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（3）依据题意，当时，求得反比例函数的值，可得出答案；
（4）依据题意，将分别代入两个解析式，得出答案．
【小问1详解】
解：由题意，设药物燃烧时y关于x的函数关系式是，将点代入，
，
，
药物燃烧时y关于x的函数关系式是，自变量 x的取值范围是；
【小问2详解】
解：由题意，设药物燃烧后y关于x的函数关系式是，把代入，
，
药物燃烧后y与x的函数关系式为，自变量 x的取值范围是；
【小问3详解】
解：由题意，当时，代入，
，
从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；
【小问4详解】
解：此次灭蚊有效，将分别代入，，
和，
持续时间是，
能有效杀灭室内的蚊虫．
24. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．抛物线与y轴交于点，点P是抛物线的顶点，连接．
（1）求抛物线的顶点P的坐标；
（2）直线与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点；
①当的面积等于面积的4倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请求出的长．
【答案】（1）
（2）①或；②的长为或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及两点间距离公式等知识，解决问题的关键将点的坐标化成长度．
（1）将和代入利用系数法求函数解析式，然后将一般式化为顶点式求顶点坐标；
（2）①求出的面积，设利用求得；
②利用列出方程，求出点的坐标，根据联立直线和的关系式，求出的坐标，从而求得．
【小问1详解】
解：由题意得，，
，
，
．
【小问2详解】
①如图1，
作于，
，，
设直线，
∴，
解得：，
直线，
，可设，
，
，
，
或．
或．
②如图2，对于，当，
则，解得：或，
∴
设，
由得，，
化简，得，
，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，即与直线l重合，
联立得：，
解得：，
∴，
∴，
，
综上，的长为或．
25. 如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点在B的左侧，与y轴交于点
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线经过向右与向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B，两点在B的右侧，顶点D的对应点为点，若，求点的坐标及抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2），
（3）存在，满足条件的点P的坐标为或或或或
【解析】
【分析】（1）令或，解方程可得结论；
（2）设平移后的抛物线的解析式为，如图1中，过点作于，连接，．构建方程组解决问题即可；
（3）观察图象可知，当点的纵坐标为3或时，存在满足条件的平行四边形．分别令和等于3或，解方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：对于，令，
得到，解得或1，
，，
令，得到，
；
【小问2详解】
解：设平移后的抛物线的解析式为，
如图1中，过点作于，连接．
是抛物线顶点，
，，
，，
，
，
，
又，经过，
，
解得或1（不合题意舍弃），，
，；
【小问3详解】
解：如图2中，
观察图象可知，当点的纵坐标为3或时，存在满足条件的平行四边形．
对于，令，，
解得或，可得，
令，则，
解得，可得，，，，
对于，令，方程无解，
令，则，
解得或4，可得，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
0
1
2
4
2
4.5
5
0
成绩
频数
m
20
n
7
3
0
1
2
4
2
4.5
5
0

A
B
C
D
A
A，A
B，A
C，A
D，A
B
A，B
B，B
C，B
D，B
C
A，C
B，C
C，C
D，C
D
A，D
B，D
C，D
D，D
分组
频数
频率
11
6
3
合计
20
1
成绩
频数
m
20
n
7
3