山东省潍坊市昌邑市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在实数1、、、中，最大的数是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故选：D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义和中心对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，即可判断答案．
【详解】A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选D．
3. 实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
【详解】解：A．，结论A错误；
B．，，，结论B错误；
C．，，，结论C错误；
D．，，，结论D正确．
故选：D．
4. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可．
【详解】解：卷纸的主视图应是：
，
故选：C．
5. 一次函数和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：，
，
一次函数图像与y轴交点在y轴正半轴．
故A、B选项不符合题意；
C、因为一次函数图像经过一、二、三象限所以，由反比例函数经过一、三象限所以，故C选项符合题意；
D、因为一次函数图像经过一、二、三象限所以，由反比例函数经过二、四象限所以，故D选项不符合题意．
故选：C．
6. 如图所示，在平面直角 坐标系中，点A、B分别是坐标轴上的点，将沿x轴正方向平移个单位长度得到，若，，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质，求出，四边形的面积等于四边形的面积，求出四边形的面积是，即可的答案．
【详解】解：沿x轴正方向平移个单位长度得到，
，
四边形面积等于四边形的面积，
，
，
四边形的面积，
四边形的面积是，
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是求出四边形的面积．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
7. 下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用负指数幂，二次根式的性质，立方根的性质以及分母有理化法则化简即可．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选BD．
【点睛】此题主要考查了负指数幂，二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂线的性质、垂线段最短等知识点，解题关键是熟悉相关的定义和判定方法．根据行线的性质、垂线的性质、垂线段最短逐项判断即可．
【详解】解：A．根据同一平面内两条直线的位置关系可知，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的说法是正确的，选项A符合题意；
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项B符合题意；
C．如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，本选项说法错误，选项C不符合题意；
D．根据垂直的性质：从直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短，选项D符合题意；
故选：ABD．
9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，是抛物线上的两点，则
D. 关于x的方程无实数根
【答案】CD
【解析】
【分析】根据二次函数的性质及与x轴另一交点的位置，即可判定A；当x=2时，即可判定B；根据对称性及二次函数的性质，可判定C；根据平移后与x轴有无交点，可判定D．
【详解】解：由图象可知：该二次函数图象的对称轴为直线，
∴b=2a，
由图象可知：该二次函数图象与x轴的左侧交点在-3与-2之间，
故与x轴的另一个交点在0与1之间，
∴当x=1时，y<0，即a+b+c<0,3a+c<0，故A错误；
当x=-2时，y>0，即4a-2b+c>0，故B错误；
点关于对称轴对称的点的坐标为，即，
在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故，故C正确；
该二次函数的顶点坐标为(−1,n)，将函数向下平移n+1个单位，函数图象与x轴无交点，
∴方程无实数根，故D正确，
故选：CD．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数的图象判定式子是否成立，解题的关键是从图象中找到相关信息．
10. 孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”，玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图），已知，，则（ ）
A. B. 弧的长为
C. 该平面图形的周长为D. 该平面图形的面积为
【答案】CD
【解析】
【分析】设点是扇形的圆心，由相似三角形的判定与性质可知，是的中位线，得出，证得是等边三角形，得出，根据平行线的性质得出，利用弧长公式求得弧的长为，进而即可求得该平面图形的周长为，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可求得该平面图形的面积为．
【详解】解：如图，设点是扇形的圆心，
，
，
，
，，
，
，
，,
，分别是，的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，故选项不符合题意；
的长为：，故选项不符合题意；
该平面图形的周长为，故选项符合题意；
，分别是，的中点，
，，
，
如图，过点作于点，
则，，
在中，根据勾股定理，可得：
，
，
该平面图形的面积
，
故选项符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，弧长的计算，求组合图形的周长，垂线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，三角形的面积公式，求组合图形的面积等知识点，熟练掌握弧长的计算公式以及扇形的面积公式是正确解答的前提，求出弧所对应的圆心角和半径是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，106分）
三、填空题（本大题共4小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得5分）
11. 是二元一次方程组的解，则a－b的值是______．
【答案】－1
【解析】
【分析】由题意把代入方程组即可得到关于a、b的方程组，即可求得a、b的值，从而可以求得结果．
【详解】解：由题意得，
解得，
所以
【点睛】计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分．
12. 若利用计算器求得，，则根据此值估计6619的算术平方根是_________
【答案】81.36
【解析】
【分析】根据题意，由，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，
∴；
故答案为：；
【点睛】本题考查了算术平方根的运算，以及计算器求算术平方根，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
13. 如图，的直角边在x轴上，，反比例函数的图象经过的中点D，若，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：∵，点是的中点，
∴，
∵，反比例函数的图象经过点D，
∴
∵函数图象在第二象限，
∴.
故答案为：.
14. 如图，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，由作法可得：，由勾股定理计算出，则，再计算出，即可得到答案，熟练掌握勾股定理，计算出是解此题的关键．
【详解】解：由作法得：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
四、解答题（本大题共7小题，共86分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 先把代数式化简，然后再从、、中选择一个合适数字代入求值．
【答案】，当时， ．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后根据分式有意义的条件可以把代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵且，
∴可以取，
当时，原式．
16. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，再数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求出不等式组的解集是解题 关键．
先求出不等式组的解集，然后再数轴上表示出解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以；
在数轴上表示如下：
．
17. 在互联网发达的今天．网络电商平台越来越多．针对人们常用的购物商城使用情况，某实验学校对九年级部分学生自己喜爱的商城情况进行调查了解：．某宝；．某拼；．某东；．某会；．某猫．将自己喜爱的商城人数绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加调查的学生人数是________；把条形统计图补充完整；
（2）若在组中选出3名同学（1名男生和2名女生）和组中选出的3名同学（2名男生和1名女生）中各推荐1名学生在主题班会上发言推荐自己喜爱的商城，请用列表或画树状图的方法求所选两名同学中恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）80．图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）由B组的人数除以B组的所占百分比可得本次参加调查的学生人数；求出D组人数，从而补全条形统计图；
（2）运用列表法，共有9种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次参加调查的学生人数：（人）；
可得组的人数为（人），
∴条形统计图补充完整如图所示．
【小问2详解】
解：依题意，
列表如下．
所有等可能的情况有9种，其中满足条件的有5种，
∴（所选两名同学中恰好是1名男生和1名女生）．
18. 如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得，，再由，得，即可得出结论；
（2）过点D作于H，由等边三角形的性质得，，则，再由含30°角的直角三角形的性质得，由勾股定理得，然后由，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵D、E分别为、的中点，
是中位线，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：过点D作于H，如图所示：
是等边三角形，D为的中点
，，
，
，
，
，
，
．
19. 如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
（1）求证：是的切线；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用勾股定理在中求出，同理求出，，利用切线的性质及勾股定理建立等式解答即可．
小问1详解】
证明：连接、，如图所示：
是的直径，
，，
，
平分弦，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
在（1）的结论中有，，
在中，，则，
在中，，
在中，，则，
，
在中，，
是的切线，
，
在中，，
，
解得，
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
20. 如图所示，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．
（1）求证：是的切线；
（2）若时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识；
（1）如图1，连接，由等腰三角形的性质可证，由直角三角形的性质可求，可得结论；
（2）分别求出的长度和的度数，再由可求解；
【小问1详解】
解：如图1，连接，
又∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵
过O作，
则，
21. 综合运用
在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．
（1）填空： ， ．
（2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接，过点P作，交直线l于点D．若，求m的值．
（3）过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，线段的长记为d，求d关于m的函数解析式．
【答案】（1）2；3 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，得，根据，表示出点的横坐标即可；
（3）先根据待定系数法求出直线的解析式为，再分当时，点在点的左侧，当时，点在点的右侧两种情况讨论．
【小问1详解】
解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，，
抛物线的解析式为，
∴，
故答案为：2；3；
【小问2详解】
解：过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∴点的横坐标为，
∵直线的解析式为，点在直线上，
，且点P在直线l的右侧时，即，
；
【小问3详解】
解：抛物线解析式为，
当时，，即，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
当时，点在点的左侧，，
当时，点在点的右侧，，
∴．
男
女1
女2
男1
（男，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
男2
（男，男2）
（女1，男2）
（女2，男2）
女
（男，女）
（女1，女）
（女2，女）