江苏省南通市海门区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 （原卷版+解析版）

这是一份江苏省南通市海门区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 （原卷版+解析版），共31页。
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
2. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，掷一次小正方体，朝上一面数字为“5”的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，且，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为（ ）
A. 180mB. 60mC. 45mD. 30m
6. 如图，中，弦、相交于，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图所示，的顶点都是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 18
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 将抛物线向下平移3个单位长度，得到新抛物线的解析式是________．
12. 如图，和位似，位似比为，位似中心是原点，点坐标是，则点的坐标为________．
13. 如图，草坪上的自动喷水装置能旋转220°，若它的喷射半径是20m，则它能喷灌的草坪的面积为___m2．
14. 气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部B的仰角为．着这栋楼底部的俯角为，若这栋楼的楼高，则热气球与该楼的水平距离为_________m（结果保留根号）．
15. 如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm．
16. 在中，，，则的内切圆的半径为____．
17. 已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为________．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点，点（为实数，且），则的最大值为___________．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
20. 已知抛物线经过点，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标．
21. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解这个直角三角形.
22. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象相交于和两点．
（1）求的值；
（2）点为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，若的面积为4，求点的坐标．
23. 如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作，交于点，与边相切于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求半径．
24. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落在距离池中心处（包含和）．
（1）选择适当的点为原点，画出平面直角坐标系．
（2）求水管长度的取值范围．
25. 如图，正方形边长为4，是边的中点，点在射线上，过点作于点，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）设，是否存在实数，使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
26. 【动手操作】
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下作图步骤：
①连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为；
②在轴上多次改变点的位置，用①的方法得到相应的点．
线段与的数量关系为________，其理由为：________；
问题探究】
通过上述方法得到一系列的点，把这些点用平滑的曲线连接起来，记为曲线．对于曲线上的任意一点，试求出，满足的函数关系式；
【拓展延伸】
若点（为任意实数），点为曲线上任意一点，当的周长最小时，求点的坐标．
2024~2025学年第一学期期末试卷
九年级 数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图，熟识三视图的特点是解题的关键；观察给出的图形可知，从正面看有两列，左边有2个正方形，右边有1个正方形．
【详解】解：从正面看，该几何体的主视图为：
故选：A．
2. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，掷一次小正方体，朝上一面数字为“5”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单事件的概率计算，根据求概率公式求解即可．
【详解】解：一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，
∴掷一次小正方体，朝上一面数字为“5”的概率是．
故选：D．
3. 已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：v•t＝s，
∴，
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像第一象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
4. 若，且，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
根据相似三角形的性质得到，代入数值计算即可．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
故选：D．
5. 在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为（ ）
A. 180mB. 60mC. 45mD. 30m
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【详解】解：设这栋楼的高度为，
∵在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，
∴，
解得：．
故选：C．
6. 如图，中，弦、相交于，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等可知，即可利用外角性质求出．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴．
故选：C．
7. 著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在x轴上方，可得抛物线开口向上，与x轴无交点，即可判断 ．
【详解】解：二次函数的图象在x轴上方，
抛物线开口向上，与x轴无交点，
即，，
解得，
故选：C．
8. 从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解．
【详解】解：，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的最大高度是．
故选：C．
9. 如图所示，的顶点都是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及正弦的定义是解题的关键；如图，，则有，然后根据正弦的定义可进行求解．
【详解】解：如图，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
10. 如图，直线交反比例函数的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想．证明，得到，即，求出点，则点，由即可求解．
【详解】解：过点B分别作于点M，于点N，
设点，，
则，则，
则，即，
∴，
则，则，
则点，则点，
设直线的表达式为：，
由点B、D的坐标得，
，
解得，
∴直线的表达式为：，
令，则，
∴点；
设直线的表达式为：，
由点A、B的坐标得，
，
解得，
∴直线的表达式为：，
令，则，
解得：，
∴点，则，
∵，
则，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是：
，
故答案为：．
12. 如图，和位似，位似比为，位似中心是原点，点坐标是，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出对应点坐标．
【详解】解：∵和位似，位似中心是原点O，和的相似比为，B点坐标是，
∴点D的坐标为：即．
故答案为：．
13. 如图，草坪上的自动喷水装置能旋转220°，若它的喷射半径是20m，则它能喷灌的草坪的面积为___m2．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得它能喷灌的草坪是扇形，半径为20m，圆心角为220°，再根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：∵草坪上的自动喷水装置能旋转220°，它的喷射半径是20m，
∴它能喷灌的草坪是扇形，半径为20m，圆心角为220°，
∴它能喷灌的草坪的面积为： =m2．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
14. 气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部B的仰角为．着这栋楼底部的俯角为，若这栋楼的楼高，则热气球与该楼的水平距离为_________m（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】过作于点，设，则，在和中分别表示出，则可解出的值，继而得出答案．
【详解】解：过作于点，设，则，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴
解得：，
∴（m），
则热气球与该楼的水平距离为m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，注意掌握仰角、俯角的定义．解答本题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．
15. 如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm．
【答案】48
【解析】
【详解】试题分析：设该正方形边长是a，则符合题意得式子=
考点：比例分析
点评：本题主要考查了图形的线段比例的分析，通过比例的大小从而列比例式求解
16. 在中，，，则的内切圆的半径为____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，勾股定理求出的长，设内切圆的半径为，根据切线长定理，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图，
则：四边形为正方形，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
17. 已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，将代入函数解析式求出的值，进而求解．解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
解得，，
，
当时，，
故答案为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点，点（为实数，且），则的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了两点间的距离公式，二次根式的除法法则，一元二次方程根的判别式，图象法解一元二次不等式等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先根据两点间距离公式求出，，然后求出，令，整理得，当时，原方程为，解得：，符合题意；当时，方程为一元二次方程，且有实数根，所以，即，解得，所以的最大值为，即可求解．
【详解】解：点，点（为实数，且），
，，
，
令，则，
整理得，
当时，原方程为，
解得：，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，且有实数根，
，
整理得，
即，
，
的最大值为，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）利用因式分解法解答即可；
（2）运用配方法解答即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，．
20. 已知抛物线经过点，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）
（2）抛物线的对称轴为直线；抛物线的顶点坐标为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将点，代入，求出，即可得到二次函数的解析式；
（2）将二次函数配成顶点式，求出对称轴和顶点坐标．
【小问1详解】
解：将点，代入，
得：，
，
；
小问2详解】
解：，
这条抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
21. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解这个直角三角形.
【答案】，，.
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以求得AB的长，根据锐角三角函数可以求得∠A的度数，进而求得∠B的度数，本题得以解决．
【详解】∵，，，
∴，.
∴，.
∴.
答：，，.
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和数形结合的思想解答．
22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．
（1）求的值；
（2）点为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，若的面积为4，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或或
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
（1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）设设点的横坐标为，则，，根据的面积可求出，解关于a的方程即可．
【小问1详解】
解：一次函数的图象过点，
，
点，
反比例函数的图象经过点，
；
【小问2详解】
解：设点的横坐标为，则，
∴
的面积为4
．
当时解得，
当时解得，
（不合题意，舍去）
综上所述点或或
23. 如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作，交于点，与边相切于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）连接，由切线的性质推导出，因为，所以，则，所以，又，所以，则，从而求证；
（）过点作，垂足为，则四边形四边形是矩形，则，设的半径为，则，然后由垂径定理和勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：如图，过点作，垂足为，
，
∴四边形是矩形，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落在距离池中心处（包含和）．
（1）选择适当的点为原点，画出平面直角坐标系．
（2）求水管长度的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是利用顶点式求出解析式．
（1）以喷水池中心为坐标原点，以水管所在直线为y轴，以垂直水管水平直线为x轴建立平面直角坐标系；
（2）设抛物线的解析式为，将顶点坐标为代入得，分别将，代入求得a值，再令时得的y值即为水管的长，然后求出d的取值范围．
【小问1详解】
解：以喷水池中心为坐标原点，以水管所在直线为y轴，以垂直水管的水平直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：
【小问2详解】
解：设抛物线的解析式为，
由题意可知抛物线的顶点坐标为，
所以抛物线解析式为，
当水柱落地点为时，，
抛物线的解析式为：，
当时，；
当水柱落地点为时，，
抛物线的解析式为：，
当时，；
的取值范围是：．
25. 如图，正方形的边长为4，是边的中点，点在射线上，过点作于点，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）设，是否存在实数，使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）存在实数，使得与相似，或5
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；
（2）由题意可分当点在线段上，当点在线段延长线上，然后根据相似三角形的性质可进行求解
【小问1详解】
解：在正方形中，，
，
，
；
【小问2详解】
解：存在实数，使得与相似．
理由如下：
如图，当点在线段上，连接，
若，则，
，
，
四边形为平行四边形，
，
是的中点，
，
，即．
如图，当点在线段延长线上，连接．
若，则，，
，
，
．
，
点为的中点．
，
．
，即，
，
，即．
综上所述，满足条件的的值为2或5．
26. 【动手操作】
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下作图步骤：
①连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为；
②在轴上多次改变点的位置，用①的方法得到相应的点．
线段与数量关系为________，其理由为：________；
【问题探究】
通过上述方法得到一系列的点，把这些点用平滑的曲线连接起来，记为曲线．对于曲线上的任意一点，试求出，满足的函数关系式；
【拓展延伸】
若点（为任意实数），点为曲线上任意一点，当的周长最小时，求点的坐标．
【答案】[动手操作]图见解析；，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；[问题探究]；[拓展延伸]
【解析】
【分析】本题考查了确定一次函数和二次函数的解析式，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
[动手操作]
①按要求作图；
②根据垂直平分的性质得出结果；
[问题探究]
根据列出，进而得出结果；
[拓展延伸]
由得出，从而得出点在该直线上运动，设点，可得出的长等于点到轴的距离，作点关于直线的对称点，点，点，点的横坐标相同时，此时的周长最小，进一步得出结果．
【详解】[动手操作]
解：如图1，
根据题意可得，理由是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，
故答案为：；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
[问题探究]
解：由可得，即，
可得，
；
[拓展延伸]解：如图，
由，
可得，即经过点的直线解析式为，
设其与轴，轴分别交于点，，
当时，，
当时，，
，
，，
，
，
设点，
，
，
作点关于直线的对称点，点，点与点的横坐标相同时，此时的周长最小，
作轴于点，连接，
点关于直线的对称点，
，，
，
，
，
，
当时，，
．