湖南省常德市汉寿县第一中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
2．安徽省某市石斛企业2024年加入网络平台直播后，每天石斛的销售量（单位：盒），估计300天内石斛的销售量约在1950到2050盒的天数大约为（ ）
（附：若随机变量，则，，）
A．205B．246C．270D．286
3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．35B．36C．45D．54
4．抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
5．函数在内存在极值点，则（ ）
A．B．C．或D．或
6．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
7．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放置方式的种数有（ ）
A．66B．64C．48D．30
8．已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．的最大值为，最小值为
C．方程有无数个解
D．若恒成立，则
10．如图，在正方体 ，，是正方形 内部（含边界）的一个动点，则（ ）
A．存在唯一点，使得
B．当点在上移动时，直线与直线所成角不变
C．直线与平面所成角的最小值为
D．当时，点的轨迹为圆的一部分
11．若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知（a为常数）的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中的系数为 （用数字作答）
13．在一袋中有个大小相同的球，其中记上的有个，记上号的有个（＝，，，），现从袋中任取一球，表示所取球的标号，则 ，若，且，则 .
14．设函数的定义域为.对于，定义集合.已知函数.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
16．已知函数，其中，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，是的零点，过点作曲线的切线，试证明直线也是曲线的切线．
17．如图甲，在四边形中，，，是边长为4的正三角形．沿将折起到的位置，使得平面平面；如图乙所示，点分别是棱的中点．

（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
18．已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，已知N是直线上的动点且直线与椭圆相交于两点恰以N为中点，过N点作直线的垂线，求证垂线恒过定点.
19．国家对电器行业生产要求低碳、环保、节能，有利于回收．冰箱的生产质量用综合质量指标值来衡量，当时，产品为一级品，当时，产品为二级品，当时，产品为三级品．某冰箱生产厂家，为满足国家要求，根据市场需求，研究开发一种新款冰箱，试生产50台，并初步测量了每台冰箱的值，得到下面的结果：
将样本频率视为总体概率．
（1）若从这批产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中恰有一件三级品”为事件，求事件发生的概率．
（2）将这批产品报送主管部门进行质量检测，以取得产品生产许可证．主管部门的检测方案：先从这批产品中任取4件，若这4件产品都是一级品，再从这批产品中任取1件检测，若为一极品，则这批产品通过检测，并颁发生产许可证；若这4件产品有3件一级品，则再从这批产品中任取4件检测，若这4件产品都是一级品，则这批产品通过检测，并颁发生产许可证．其他情况下这批产品不能通过检测，且每件产品的检测相互独立．求该冰箱生产厂家取得生产许可证的概率．
（3）若该冰箱生产厂家取得生产许可证，厂家投入生产，且已知生产一台冰箱的成本为600元，一件一级品的售价1600元，一件二级品的售价1400元，一件三级品的售价200元，设一台冰箱的利润为元，求的分布列及数学期望．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由可得.
故选B.
2．【答案】A
【详解】由，所以，
所以销售量约在1950到2050盒的概率为，
所以由可知大约有205天．
故选A.
3．【答案】C
【详解】由等差数列的性质得：，则，
则.
故选C.
4．【答案】C
【详解】对于抛物线 ， ， 准线方程为，
点A到焦点的距离为；
故选C.
5．【答案】A
【详解】由题意知：在内存在变号零点，即在内有解，则，
易得在内单调递减，值域为，故.
故选A.
6．【答案】B
【详解】因为，故，
而为上的增函数，故即，故，
设，则，
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故，
故选B.
7．【答案】B
【详解】由题意，五张知识展板并排放在文化橱窗里共有种排法，
小雪站在首位或大雪站在末位有种排法，
小雪站在首位且大雪站在末位有种排法，
则小雪不站首位，大雪不站在末位的站法共有种，
而小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间的情况分两类，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪不站末位，有，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪站末位，有，
故小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至不在正中间的站法共有：种.
故选B.
8．【答案】B
【详解】因为，所以,
令,
因为，所以单调递减，
单调递减，
因为，所以为偶函数，
因为，所以，
当时，
单调递增，
单调递增，
所以.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】在单调递减，单调递增，
当x越大，分母越来越大，具有周期性故只可能在取到最大值错，B正确
C.当时，令 即，又，则，从而无解，错.
D. 令，
要使总成立，只需，
先考虑时，对求导，可得，
令，则
所以在，上为减函数，而，，所以，；
对分类讨论：
①当时，恒成立，所以在，上为增函数，
所以，即，
由，解得：，故，无解；
②当时，在上有实根，
因为在，上为减函数，所以当，时，，
所以，不符合题意；
③当时，恒成立，所以在，上为减函数，
则，故成立；综上，可得实数的取值范围是，．
当，