山东省聊城市聊城联盟校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份山东省聊城市聊城联盟校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 分值：120分
一、选择题（满分36分，共12小题，每小题3分）
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①；②；③；④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键．
只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据以上定义判断即可．
【详解】①符合一元二次方程的定义，故选项符合题意；
②当时，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
③化简后，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
④不是整式方程，故选项不符合题意；
综上可知是一元二次方程共有1个
故选：A
2. 已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，过点O作于点C，根据垂径定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值．
【详解】如图，过点O作于点C，连接，则，更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
,
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，正确作辅助线，熟练利用勾股定理是解题的关键．
3. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB等于( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：设所对的边分别为，
，
不妨设，由勾股定理得到

，
故选：B.
4. 已知，在矩形中，于，设，且，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC．
【详解】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵csα=，
∴，
∴AC=×4=，
由勾股定理得，BC==，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．
5. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是连接判断是直角三角形是解题的关键．
【详解】连接，
则，，，
∴，
∴是直角三角形且，
∴，
故选D．
6. 如图，中，，内切于点，，，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理、切线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，连接、，，由切线长定理可得，，，证明四边形是正方形，设，则，，由勾股定理可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接、，，
，
由切线长定理可得，，，
，，
，，
，，，，
四边形是正方形，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
的半径为，
故选：D．
7. 如图，线段 AB 经过⊙O 的圆心， AC ， BD 分别与⊙O 相切于点 C ，D ．若 AC =BD = 4 ，∠A=45°，则弧CD的长度为（ ）
A. πB. 2πC. 2πD. 4π
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A=45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC=OD=4，∠COD=90°，根据弧长公式求得即可．
【详解】连接OC、OD，
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．
∴OC⊥AC，OD⊥BD，
∵∠A=45°，
∴∠AOC=45°，
∴AC=OC=4，
∵AC=BD=4，OC=OD=4，
∴OD=BD，
∴∠BOD=45°，
∴∠COD=180°-45°-45°=90°，
∴的长度为：=2π，
故选B．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键．
8. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】证明，则，设正方形零件的边长为x，则，根据相似三角形的性质得到，解方程即可．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为x，则，
∴，
解得：，
即这个正方形零件的边长为．
故选：A
9. 下列语句中，正确的是（ ）
A. 长度相等的两条弧相等
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
D. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理；圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等相关知识进行解答即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，选项说法错误，故本选项不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项说法错误，故本选项不符合题意；
C、由圆心角、弧、弦的关系定理知，选项说法正确，故本选项符合题意；
D、任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，选项说法错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
10. 2010年某市政府投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（ ）
A. 2（1+x）2=9.5B. 2（1+x）+2（1+x）2=9.5
C. 2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5D. 8+8（1+x）+8（1+x）2=9.5
【答案】C
【解析】
【分析】设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解
【详解】（1）设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．
故选C．
【点睛】由实际问题抽象出一元二次方程
11. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可.
【详解】设，是的两个实数根，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴或，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
12. 若为方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. B. 12C. 14D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义得到，即，则，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：为的实数根，
，即，
，
为方程的两个实数根，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，则，．
二、填空题（满分15分，共5小题，每小题3分）
13. 已知一元二次方程有一个根为1，则的值为__．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：一元二次方程有一个根为1，
把代入方程得，
解得．
故答案为：2．
14. 如图，在中，，是的外接圆，，则图中阴影部分的面积______（结果保留和根号）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂径定理、扇形面积公式，连接，，作于，由圆周角定理可得，从而得出，由含角的直角三角形的性质可得，由垂径定理可得，由勾股定计算出，，最后根据进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，作于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：．
15. 如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为，此时汽油桶内液面宽度，现在从进油孔处倒油，当液面时，液面上升了__________dm．
【答案】8或22
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及分类讨论的数学思想．实质是求两条平行线间的距离，根据勾股定理求弦心距，作差或作和分别求解．
【详解】连接．作于．则直角中，，
，根据勾股定理得到：，
当油面宽为时，连接．作于．
在直角中，，
，根据勾股定理得到：，即弦AB的弦心距是
，
当油面没超过圆心O时，如图
油上升了；
当油面超过圆心O时，如图
油上升了．
因而油上升了或．
故答案为8或22．
16. 若关于 x 的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0 有实数根，则 m 取值范围是____．
【答案】m≤2且m≠1
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0有实数根，
∴∆＝（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，且m-1≠0，
解得m≤2且m≠1．
故答案为m≤2且m≠1．
17. 对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____．
【答案】-3或4
【解析】
【分析】利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】根据题意得，，
，
，
或，
所以．
故答案为或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
三、解答题（满分69分，共8小题）
18. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先进行算式平方根、正切值、绝对值和负整数指数幂运算，再加减运算即可求解．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数、二次根式的混合运算、绝对值、负整数指数幂，熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
19. 解下列方程：
（1）5x+2=3x2；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．
【答案】（1）x1=﹣，x2=2；（2）x1=3，x2=9．
【解析】
【分析】（1）先移项化简，再用因式分解法即可解出；
（2）先移项化简，再用因式分解法即可解出.
【详解】（1）5x+2=3x2，
3x2﹣5x﹣2=0
（3x+1）（x﹣2）=0
所以x1=﹣，x2=2；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9，
2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]=0，
x﹣3=0或x﹣9=0，
所以x1=3，x2=9．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-因式分解法.
20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求取值范围；
（2）若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根．
【答案】（1）
（2），方程的另一根为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及方程的解，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
（1）由方程的根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围；
（2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
解得；
【小问2详解】
解：把代入方程可得，
解得，
∴方程为，
解得或，
即方程的另一根为．
21. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90º，E为AB的中点，求证：
（1）AC2=AB·AD；
（2）CE∥AD．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【详解】试题分析: (1)易证△ADC∽△ACB 得即,
(2)由E为AB中点得CE= AB=AE,∠EAC=∠ECA,又AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA, ∴CE∥AD.
试题解析:(1)∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB
又∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴即,
(2)∵E为AB的中点,
∴CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA,
∵AC平分∠DAB,
∴∠CAD=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD.
22. 某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中．如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m，在阳光下某一时刻测得l米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比，求树高AB．（结果保留整数，参考数据：≈1.7）
【答案】树高AB为16m
【解析】
【分析】点D作DE⊥AB，DF⊥AC，构建直角三角形，根据三角函数的计算和相似三角形的相似比求解．
【详解】解：过点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，如图，
∵斜坡CD的坡比，即tan∠DCF=，
∴∠DCF=30°，
而CD=3.2m，
∴DF=CD=1.6m，CF=DF=m，
∵DF⊥AC，DE⊥AB，AC⊥AB，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AE=DF，DE=AF，
∵AC=8.8m，
∴DE=AF=AC+CF=8.8+，
∴，
∴BE=，
∴AB=BE+AE=≈16（m）．
答：树高AB为16m．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了相似三角形的性质，解直角三角形，理解坡比，构造直角三角形是解题的关键．
23. 如图，在四边形中，，以为直径的交于点，交于点，连接，平分．

（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连，利用内错角相等两直线平行可得，进而得出，可知，为圆的半径，即可得出最后结论；
（2）连接，交于点，根据直径所对的圆周角为直角，得到，得出四边形为矩形，进而得出四边形为矩形，设，得出，，利用勾股定理，求出的值，进而求出最后结果
【小问1详解】
证明:如图（1），连，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
【小问2详解】
如图（2），连接，交于点，

为的直径，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍去），
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，中位线性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
24. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
【答案】该校共购买了80棵树苗
【解析】
【分析】由题意知该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：因60棵树苗售价为120元×60＝7200元＜8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120－0.5(x－60)]＝8800，
解得：x1＝220，x2＝80．
当x2＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，
∴x1＝220(不合题意，舍去)；
当x2＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100，
∴x＝80，
答：该校共购买了80棵树苗．
25. 如图，是上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形．
（1）计算的度数；
（2）连接，证明：；
（3）求证：．
【答案】(1)36°;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意可得∠COD=70°，由圆周角的定理可得∠CAD=36°；
（2）由圆周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°，可求∠AME=∠CAE=72°，可得AE=ME；
（3）通过证明△AEN∽△BEA，可得，可得ME2=BE•NE，通过证明BM=NE，即可得结论．
【详解】（1）∵是上的5等分点，
∴的度数
∴
∵
∴
（2）连接
∵是上的5等分点，
∴
∴
∴，且
∴
∴
∴
（3）连接
∵
∴，且
∴
∴
∴，且
∴
∵
∴
∴
∴，且
∴
∴
∴
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN∽△BEA是本题的关键．