广东省深圳市龙华区实验学校2024-2025学年九年级下学期2月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省深圳市龙华区实验学校2024-2025学年九年级下学期2月月考 数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球B．红球C．黄球D．白球
4．如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A．B．C．D．
6．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向上
B．函数图象的顶点坐标是
C．函数图象与轴的交点坐标是
D．当时，的值随的值的增大而减小
7．国产动画电影《舒克贝塔·五角飞碟》于2024元旦档上映．电影的点映及预售总票房破400万，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达4000万．设票房收入的增长率为x，则方程可列为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （ ）
A．B．
C．或D．或
二、填空题（本大题共1小题）
9．若，则 ．
三、单选题（本大题共1小题）
10．已知是关于x的方程的解，则m值为 ．
四、填空题（本大题共3小题）
11．如图所示，已知在梯形中，，，则 ．
12．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ．
13．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于 ．
五、解答题（本大题共7小题）
14．计算：．
15．数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”．
(1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________；
(2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
16．如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作的角平分线；
(2)在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
17．根据背景素材，探索解决问题．
18．如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且．
(1)求证：；
(2)求的度数．
19．二次函数的图象交x轴于原点O及点A．
【感知特例】
（1）当时，如图1，抛物线上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为、、、、，如表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
【形成概念】
我们发现形如（1）中的图像上的点和拋物线L上的点关于点A中心对称，则称是L的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线L的“孔像抛物线”．
【探究问题】
（2）①当时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为________；
②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是________（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像拋物线”与直线有且只有三个交点，求m的值．
20．问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：．
问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．

参考答案
1．【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A. 不是中心对称图形，不符合题意，
B.是中心对称图形，符合题意，
C.不是中心对称图形，不符合题意，
D不是中心对称图形，不符合题意，
故此题答案为B
2．【答案】D
【详解】解：如图，
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
、，原选项正确，符合题意；
故此题答案为．
3．【答案】C
【分析】先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解．
【详解】解：由题意可知，袋子上中有个球，则白球出现的概率为，红球出现的概率为，黄球出现的概率为，黑球出现的概率为，
试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右，
该种球的颜色最有可能是黄色，
故此题答案为C．
4．【答案】A
【分析】利用平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例求解．
【详解】解：∵，
∴．
故此题答案为A．
5．【答案】D
【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
半径互相垂直，
，
所对的圆心角为，
所对的圆周角，
又，
，
故此题答案为D．
6．【答案】D
【分析】从抛物线的顶点式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断．
【详解】解：∵二次函数中，
∴二次函数的图象开口向下，故A选项错误，不符合题意；
∴对称轴是直线，顶点坐标是2,3，故B选项错误，不符合题意；
∴函数有最高点2,3，当时，的值随的值的增大而减小，故D选项正确，符合题意；
令中的解得：，故函数图象与轴的交点坐标是，故C选项错误，不符合题意；
故此题答案为D．
7．【答案】D
【分析】根据每天票房按相同的增长率增长，可以列出方程，本题得以解决．
【详解】解：设票房收入的增长率为x，
则第二天的票房收入为，
第三天的票房收入为，
由题可知．
故此题答案为D．
8．【答案】D
【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为即，
∵直线与双曲线交于，两点，
∴直线与双曲线交于点，两点，
观察图象可知，
当或时，直线在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解为是或，
故此题答案为．
9．【答案】
【分析】由，设，，然后代入式子计算即可．
【详解】解：由，设，，
∴
10．【答案】
【分析】将代入原方程即可求解．
【详解】解：是关于的方程的解，
，
解得：
11．【答案】
【分析】过作于，过作于，由四边形是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到．
【详解】解：过作于，过作于，如图：
，，，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
，
12．【答案】
【分析】如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，则，
由题意知，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
13．【答案】．
【分析】据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
【详解】过点作，，垂足为、，
由折叠得：是正方形，，
，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，
，
解得：，
∵，，
∴∽，
∴，
设，则，，
∴，，
解得：，
∴，
∴
14．【答案】
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
．
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式解答即可．
（2）利用画树状图法解答即可．
【详解】（1）小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是，
故答案为：．
（2）根据题意，画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种，
∴小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是．
16．【答案】(1)作图见解析部分
(2)作图见解析部分
【分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可；
（2）取格点，过点和点作直线即可．
【详解】（1）解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位，
∵线段和是矩形的两条对角线且交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
∴射线即为所作；
（2）如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位，
∴，，
，，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，且，
∴直线即为所作．
17．【答案】任务1：；任务2：；任务3：当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元
【分析】任务1：设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程；
任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个列代数式；
任务3：利用二次函数的最值求解即可
【详解】解：任务1：设增长百分率为a，依题意列方程为：；
故答案为：；
任务2：该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为；
故答案为：；
任务3：设总利润为w元，销售量为y个
∴
，
∴当时，元，
∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元．
18．【答案】(1)见详解；(2)
【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出．
（2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，
（2）连接，如下图：
∵为直径，∴，
设，∴，
由（1）知，∴，
∵四边形是圆的内接四边形，∴，
即，解得，
.
19．【答案】（1）①；②见解析；（2）①；②；③
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象的顶点为 ，再根据题意即可求解．
【详解】解：（1）①∵点与点关于点A中心对称，
∴点的坐标为，即，
补全表格如下：
②描点，连线，得到的图象如图1所示．

（2）①当时，抛物线为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”的解析式为，对称轴为．
画出草图如图2所示：

∴抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x的增大而减小．
则x的取值范围为．
②画出草如图3所示．

由图象知，这条抛物线的解析式只能是．故答案为．
③，设顶点为，
过点作轴于点，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，

由题意，可知．得，
∴．
∵抛物线及“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，
∴或．
解得或0．
当时，与只有一个交点，不合题意，舍去．
∴．
20．【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：
【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证；
问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证；
问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】问题背景：∵四边形是矩形，
∴，
∵，分别是，的中点
∴，
即，
∴；
问题探究：如图所示，取的中点，连接，

∵是的中点，是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
又∵，是的中点，
∴
∴
∴，
∴；
问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，

∵，
∴，
设，则，
在中，，
∵，由（2）
∴，
又∵是的中点，
∴垂直平分
∴，，
在中，
∴
设，则
∴，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴．素材1
电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
素材2
若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1
为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________．
任务2
若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示）
任务3
当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
…
A（________，________）
…
…
…
…
…
…
…