广东省江门市2024-2025学年九年级下学期2月月考 数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市2024-2025学年九年级下学期2月月考 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 方程x（x﹣1）＝2x的解是（ ）
A. x＝3B. x＝﹣3C. x1＝3，x2＝0D. x1＝﹣3，x2＝0
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得x1＝3，x2＝0，
故选：C
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
2. 气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（ ）
A. 本市明天将有80%的地区降水
B. 本市明天将有80%的时间降水
C. 明天肯定下雨
D. 明天降水的可能性比较大
【答案】D
【解析】
【详解】由概率意义可知，气象台预报“本市明天降水概率是”，是指明天下雨的可能性比较大.
故选D.
3. 如图，所给三视图的几何体是（ ）
A. 球B. 三棱锥C. 圆锥D. 圆柱
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解主视图和左视图的大致轮廓为等腰形的几何体为锥体．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为含圆心的圆，可得此几何体为圆锥．
故选C．
4. 由二次函数，可知（ ）
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线
C. 其最小值为1D. 当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】先确定顶点及对称轴，结合抛物线的开口方向逐一判断．
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：因为是抛物线的顶点式，顶点坐标为，
A．∵，∴图象的开口向上，故此选项错误；
B、对称轴为直线，故此选项错误；
C、∵二次函数顶点坐标为，∴其最小值为1, 故此选项正确；
D、∵，且对称轴为直线，∴当时，y随x增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
5. 如图，点P是△ABC的AC边上一点，连接BP，添加下列条件，不能判定△ABC∽△APB的是（ ）
A. ∠C＝∠ABPB. ∠ABC＝∠APBC. ＝D. ＝
【答案】D
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定条件求解即可．
【详解】解：添加条件∠C＝∠ABP，再由∠A=∠A，可以判断△ABC∽△APB，故A不符合题意；
添加条件∠ABC＝∠APB，再由∠A=∠A，可以判断△ABC∽△APB，故B不符合题意；
添加条件＝，再由∠A=∠A，可以判断△ABC∽△APB，故C不符合题意；
添加条件＝，再由∠A=∠A，不可以判断△ABC∽△APB，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
6. 如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是圆周上两点 ， 若∠ABD=65°，则∠BCD=（ ）
A. 55°B. 65°C. 25°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，即可得出∠A的度数，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=65°，
∴∠A=90°−∠ABD=90°−65°=25°，
∴∠BCD=∠A=25°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
7. 反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），这个反比例函数的图象一定经过（ ）
A. （﹣4，﹣3）B. （3，﹣4）C. （3，4）D. （﹣3，﹣4）
【答案】B
【解析】
【分析】先求出反比例函数解析式，然后逐一判断点是否在函数图象上即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，当时，，当时，，
∴只有点（3，-4）在反比例函数图像上，
故选B．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式和判断点是否在函数图象上，熟知相关知识是解题的关键．
8. 若x1 ，x2是一元二次方程x2﹣7x+6＝0的两个根，则x1+x2，x1x2的值分别是（ ）
A. 1和6B. 7和﹣6C. ﹣7和6D. 7和6
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得．
【详解】解：x1 ，x2是一元二次方程x2﹣7x+6＝0的两个根，
x1+x2=7，x1x2=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．
【详解】解：观察一次函数图像可知，
∴二次函数开口向下，
对称轴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=30cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D，E运动的时间是t（0< t ≤15）． 过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF，若四边形AEFD为菱形，则t值为（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】利用t分别表示出CD和AE的长，根据四边形AEFD为菱形可得AD=AE，列方程求出t值即可．
【详解】∵点D和点E的速度分别为4cm/s和2cm/s，
∴CD=4t，AE=2t，
∵四边形AEFD为菱形，
∴AD=AE，即30-4t=2t，
解得：t=5，
故选A．
【点睛】本题考查菱形的性质，用t分别表示出CD和AE的长并熟练掌握菱形的四条边都相等的性质是解题关键．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 将二次函数化为的形式，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解决本题的关键．
利用配方法整理即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 反比例函数的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数图象和性质．此题难度适中．
根据反比例函数所在的象限，判定的符号，即，然后通过解不等式即可求得的取值范围．
【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限内
，
解得，；
故答案为：．
13. 圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 _____．
【答案】4
【解析】
【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高．
【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3＝6，
设母线长为L，则有×6L＝15，
解得：L＝5，
∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，
∴在直角△AOC中高AO＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了圆锥体的侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般．
14. 已知，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用公式法解得，，进而求解即可．
详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴应舍去，
∴，
∴．
故答案为：．
15. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为_____m．
【答案】
【解析】
【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长．
【详解】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴，
即，
∴OP＝m．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，计算零次幂，化简绝对值，计算乘方，再合并即可．
【详解】解：
；
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，3），C（2，1）．
（1）请在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为2：1；
（2）求出的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
(2)利用勾股定理即可求得三边的长，据此即可求得．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
解：，
，
，
故的周长为：
【点睛】本题主要考查作图−−位似变换，勾股定理，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质．
18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
【答案】（1）m＜；
（2）x1＝0，x2＝3．
【解析】
【分析】（1）利用判别式意义得到Δ＝（−3）2−4（m＋1）＞0，然后解关于m的不等式即可；
（2）当m＝−1时，方程变形为x2−3x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：根据题意得Δ＝（−3）2−4（m＋1）＞0，
解得m＜；
【小问2详解】
解：当m＝−1时，方程变形为x2−3x＝0，
x（x−3）＝0，
x＝0或x−3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 在一个密闭留有洞口的盒子里，装有个分别写有数字 -1、0、1的小球（形状、大小一样），先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．
（1）请用列表的方法，求两次取出小球上的数字相同的概率；
（2）求两次取出小球上的数字之积为非负数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)首先根据题意列出表，然后由表求得所有等可能的结果与两次取出小球上的数字相同的情况，再利用概率公式即可求得答案；
(2)由表求得所有等可能的结果与两次取出小球上的数字之积为非负数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次取出小球上的数字相同的有3种，
故两次取出小球上的数字相同的概率为：；
【小问2详解】
解：由(1)中的表可知，共有9种等可能的结果，其中两次取出小球上的数字之积为非负数的有7种，
故两次取出小球上的数字之积为非负数的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 某商场以每件210元的价格购进一批商品，当每件商品售价为270元时，每天可售出30件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）降价前商场每天销售该商品的利润是1800元
（2）每件商品应降价30元
【解析】
【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售数量解答；
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【小问1详解】
（270﹣210）×30＝1800 （元）．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
【小问2详解】
设每件商品应降价x元，
由题意，得 （270﹣x﹣210）（30+3x）＝3600，
解得 x1＝20，x2＝30．
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 如图，一次函数y＝x+m的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．
（1）求m及k的值；
（2）连接OA，OB，求△AOB中AB边上的高；
（3）结合图象直接写出不等式x+m≥的解集．
【答案】（1），
（2）
（3）或．
【解析】
【分析】（1）把A点的坐标代入一次函数和反比例函数解析式中进行计算求解；
（2）解出由两函数解析式组成的方程组，得到点B的坐标和点C的坐标，再利用三角形面积公式求解；
（3）求出点C的坐标，再结合图形解答．
小问1详解】
解： 在函数图象上，
，
解得．
在反比例函数图象上，
，
；
【小问2详解】
解：一次函数解析式为，
令得，
点C的坐标是，
，
解方程组得
或，
点B的坐标为，
；
设AB边上的高为h,
即
中AB边上的高为
【小问3详解】
解：∵，
∴一次函数的函数值大于或等于反比例函数的函数值，
观察图象可得：或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，两函数的交点问题和函数图象等知识，能求出两函数的解析式是解答关键．用了数形结合的思想．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22. 如图，在上有位于直径的两侧的定点和动点，，点在半圆弧上运动不与、两点重合，过点作直线的垂线，垂足为点．
（1）如图，求证：；
（2）类比（1）中的情况，当点运动到什么位置时，？请在图中画出，并说明理由．
（3）如图，当点运动到某一位置时，有时，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）当点运动到为直径时，，画图见解析，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定，解直角三角形等等：
（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，再由同弧所对的圆周角相等得到，据此可证明；
（2）由，要使得，则，故当为直径时，；
（3）先解直角三角形得到，由相似三角形的性质得到，再求出得度数即可得到答案．
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
，
，
∵，
，
；
【小问2详解】
解：如图所示，当点运动到为直径时，，
理由：，是的直径，
，，
，
在和中，
，
；
【小问3详解】
解：当点运动到某一位置时，有时，如图所示，
，，
∴
，
∴，
∽，
，
，
，，
．
23. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的最大值为
（3）存在，Q点坐标为或
【解析】
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为，将代入可得，则可求解析式；
（2）连接，设，分别求出，
所以，
当时，的最大值为；
（3）设D点的坐标为，过D作对称轴的垂线，垂足为G，则，在中，，所以，求出，所以，连接，在中，，在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，，设，为圆A的半径，，求出或，即可求Q．
【小问1详解】
抛物线顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
将代入可得，
∴；
【小问2详解】
连接，
由题意，，
设，
∴，
，
，
，
∴，
∴当时，的最大值为；
【小问3详解】
存在，设D点的坐标为，
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍）
∴，
∴，
连接，在中，
∴，
∴，
∴在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，，
设为圆A的半径，
，
∴，
∴，
∴或，
综上所述：Q点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．-1
0
1
-1
(-1，-1)
(-1，0)
(-1，1)
0
(0，-1)
(0，0)
(0，1)
1
(1，-1)
(1，0)
(1，1)