江西省南昌市东湖区南昌中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省南昌市东湖区南昌中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：高木珍
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 半径为2，圆心角为的扇形的面积为（ ）
A B. C. D. 2
2. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
3. 角的终边与的终边关于轴对称，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数（，且）的图象恒过定点A，点A在角终边上，则（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则（ ）
A. －3B. －1C. 1D. 2
6. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的大致图象是（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法不正确的有（ ）
A. 已知角终边经过点，则函数的值等于
B. 周长为8，面积为3的扇形所对的圆心角为
C. 函数的图象的对称中心为，
D. 函数是奇函数，则
10. 函数图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 将向左平移个单位长度，得到函数
D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是
11. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若，则________.
13. 已知函数，将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度.所得图象关于y轴对称，则___________.
14. 已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 在平面直角坐标系中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于点.
（1）求实数及的值；
（2）求的值.
16. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据如下：
（1）求，，；
（2）求函数在区间上的最值及取得最值时的值．
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若函数在区间上恰有5个零点，求实数的取值范围.
18. 已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
（1）当时，求函数的值域；
（2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
19. 对于定义在R上连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数．
（1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由；
（2）若是回旋函数，求实数ω的值；
（3）若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值．
2024~2025学年度第二学期南昌中学三经路校区3月份考试
高一数学
命题人：高木珍
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 半径为2，圆心角为的扇形的面积为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式即得.
【详解】由题可得.
故选：D．
2. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用周期公式求解
【详解】函数的最小正周期为.
故选：C.
3. 角的终边与的终边关于轴对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可.
【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称，
所以.
故选：D.
4. 函数（，且）的图象恒过定点A，点A在角终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点A坐标，进而求出角的三角函数值，利用诱导公式求出结果.
【详解】（，且）恒过点，因为点A在角终边上，所以，则
故选：C
5. 将函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则（ ）
A. －3B. －1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，进而可求，即得.
【详解】将函数的图象向左平移个单位可得，
，
∴，又，
∴，，
∴.
故选：D.
6. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点代入幂函数的解析式求出的值，进而可得在上单调递减，再结合对数函数的性质可知，从而比较出，，的大小．
【详解】点在幂函数的图象上，
，，
，在上单调递减，
，，，
，
，即
故选：D.
7. 设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记函数最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得.
【详解】记函数的最小正周期为，则，可得．
又，且，
又，所以函数的一个对称中心为，
函数的一条对称轴为，又，
，解得．
故选：B．
8. 函数的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可证明为偶函数，又易得时，可得结论.
【详解】由，解得，均能满足有意义，
故函数的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为偶函数，故排除B；
又，所以在上单调递增，
当时，，所以时，，
所以当时，，所以排除A，D；
故选：C.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法不正确的有（ ）
A. 已知角的终边经过点，则函数的值等于
B. 周长为8，面积为3的扇形所对的圆心角为
C. 函数的图象的对称中心为，
D. 函数是奇函数，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A：由三角函数的定义来计算判断；对于B：利用扇形的面积公式列方程组求出弧长和半径，进而可得圆心角；对于C：令可得对称中心；对于D：令可得.
【详解】对于A：角的终边经过点，则，
则，A错误；
对于B：设扇形的半径为，弧长为，则，解得或，
圆心角为或，B错误；
对于C：令，得，即函数的图象的对称中心为，，C错误；
对于D：函数是奇函数，则，
得，又，所以，D正确.
故选：ABC.
10. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 将向左平移个单位长度，得到函数
D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】由图象经过点列方程求，判断A，结合余弦函数性质验证B，根据函数图象变换法则，结合诱导公式判断C，令，可得在上有个不相等的实数根，结合正弦函数性质判断D.
【详解】观察可得函数的图象过点，
所以，
所以，，
所以，，又，
所以，A正确；
所以，
因为时，，
所以点不是函数的图象的对称中心，B错误；
函数向左平移个单位长度，可得函数的图象，
又，所以C正确；
因为，
由可得，，
令，由已知可得在上有个不相等的实数根，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且时，，时，，
时，，
所以，D错误.
故选：AC.
11. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，，结合条件化简可得结论.
【详解】函数的周期为，
由图象可得，令，可得：，
所以，即，又，
所以，，
又因为，所以，所以，
，为定值.
故选：B
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系对原式化简，再代值计算即可
【详解】由，得，
所以
，
故答案为：
13. 已知函数，将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度.所得图象关于y轴对称，则___________.
【答案】##1.5
【解析】
【分析】先通过平移变换得到函数，再根据为偶函数，求得，进而得到求解.
【详解】由题意得平移后的函数为，且为偶函数，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
故答案为：
14. 已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】研究函数的单调性，确定的关系及范围．
【详解】
由题意函数上递减，上递增，上递减，作出图像，如图．
设，则，不妨设，
，由，得，所以，所以.
故答案为：．
【点睛】本题考查方程根的分布与函数零点问题．解题方法是数形结合思想．作出函数图象，得出函数性质，看作是直线与函数的交点横坐标，性质易得．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 在平面直角坐标系中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于点.
（1）求实数及的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解；
（2）由结合诱导公式和齐次式弦化切即可计算得解.
【小问1详解】
由题意可得，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以.
16. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据如下：
（1）求，，；
（2）求函数在区间上的最值及取得最值时的值．
【答案】（1），，
（2）当时，取得最大值2，当时，取得最小值
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求解即可.
（2）由范围求得的范围，进而可求得函数最值.
【小问1详解】
由题表可知，，解得，，.
【小问2详解】
由（1）知，，
∵，∴．
令，得，令，得，
∴当时，取得最大值为2，当时，取得最小值为.
17. 已知函数部分图象如图所示.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若函数在区间上恰有5个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解；
（2）由，得到，根据题意，结合正弦函数的性质，得出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数的图象，可得，，
则，所以．
将点代入函数解析式可得，
解得，因为，所以，所以，
令，解得，
所以函数在上的单调递增区间为，．
【小问2详解】
解：因为，所以，
当无零点；
当时，有第一个零点，正弦函数周期为，每一个周期内有两个零点，
要满足有5个零点，则，解得，
所以实数的取值范围是．
18. 已知函数（，），若的图象的相邻两对称轴间的距离为，且过点．
（1）当时，求函数的值域；
（2）记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
【答案】（1）
（2），n=5
【解析】
【分析】（1）根据题设条件可求的值，再利用整体法可求函数的值域.
（2）结合图象特征可求的值．
【小问1详解】
的图象的相邻两对称轴间的距离为，故，故，故，
因为图象过点，故，
故，故.
当时，，，
故函数的值域为.
【小问2详解】
在上的图象如图所示：

因此与的图象在上共有5不同的交点，
这些交点的横坐标从小到大依次为，，…，, 故n=5.
令，则，
故的图象在内的对称轴分别为：
，，，，，
结合图象可得，，，
，
故.
19. 对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数．
（1）试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由；
（2）若是回旋函数，求实数ω的值；
（3）若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值．
【答案】（1）不是，理由见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）代入题目给的定义求解即可，
（2）求解分讨论即可，
（3）求解讨论得
【小问1详解】
因为，
所以，
所以不恒成立，
所以函数不是一个阶数为的回旋函数．
【小问2详解】
设是阶数为t的回旋函数，则，
若，上式对任意实数x均成立；
若，，
因为的值域为，所以，
当时，对任意实数x有，
则，，
所以，；
当时，对任意实数x有，
则，，所以，．
综上所述，，．
【小问3详解】
因为对任意的x都成立，
由（2）可知，，，
所以．
令，解得（）．
因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以．
又因为，所以，所以．
【点睛】新结构问题利用题目给的定义，结合已经掌握的知识求解，合理推理.
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