新高考数学二轮复习排列组合题型归纳练习专题16 分解与合成模型和最短路径问题（2份，原卷版+解析版）

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分解与合成策略是复杂的排列组合问题最基本的解题策略之一，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？
A．6B．8C．10D．12
例2．（2023·全国·高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（ ）条．
A．23B．24C．25D．26
例3．（2023秋·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．23 条B．24 条C．25条D．26 条
例4．（2023·全国·高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（ ）
A．20条B．21条C．22条D．23条
例6．（2023春·陕西延安·高二校考期末）某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（ ）
A．6种B．8种
C．9种D．10种
例7．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中的个指定交汇处. 今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发直到到达､处为止. 则下列说法正确的是（ ）
A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中个指定交汇处相遇的概率为
例9．（2023·高二课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ）
A．6种B．8种
C．36种D．48种
例10．（2023春·广东惠州·高二校考期中）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）
A．14条B．12条C．9条D．7条
例11．（2023·高二单元测试）如图为某旅游区各景点的分布图,图中一条带箭头的线段表示一段有方向的路,试计算顺着箭头方向,从A到H不同的旅游路线的条数,这个数是( )
A．15B．16C．17D．18
例12．（2023·全国·高三专题练习）如图为的网格图，甲、乙两人均从出发去地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置（网格交点处）时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（ ）
A．31条B．36条C．210条D．315条
例14．（多选题）（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，某城市两地之间有整齐的方格形道路网，某同学从处沿道路走到处，他随机地选择一条沿街的最短路径，则下列说法正确的是（ ）
A．他从处到达处有12种走法
B．他从处到达处有35种走法
C．他从处经过处到达处有18种走法
D．他从处经过处到达处有30种走法
例15．（多选题）（2023春·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网．甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地．下列结论正确的有（ ）
A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有61条
C．若甲途经C地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有9条
例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲､乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从M到达N处的走法种数为120
B．甲从M必须经过到达N处的走法种数为9
C．甲，两人能在处相遇的走法种数为36
D．甲，乙两人能相遇的走法种数为164
例17．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则（ ）
A．甲从M到达N处的走法有70种
B．甲从M必须经过到达N处的走法有12种
C．若甲、乙两人途中在处相遇，则共有144种走法
D．若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法
甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在处相遇，他们在处相遇的走法有种，
则，故D正确．
故选：AD．
例18．（2023·高二课时练习） 5400的正约数有______个
例19．（2023秋·上海嘉定·高二校考期中）正整数2022有______个不同的正约数．
例20．（2023秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达B点的最短路径有___________种.
例21．（2023·高二课时练习）图中的连线是四地之间可走通的不同路径，若每段路只能经过一次，则从地到地不同的走法种数为______．
例22．（2023春·湖北·高二校联考期中）如图为某地街道路线简图，甲从街道的A处出发，先到达B处与乙会和，再一起去到C处，可以选择的最短路径条数为___________．
例23．（2023春·河北石家庄·高二统考阶段练习）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、、是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止．若甲、乙两人途中在处相遇，则共有______种走法（用数字作答）．
例24．（2023·全国·高三专题练习）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）
例25．（2023春·上海宝山·高二统考期末）640的不同正约数共有______个
例26．（2023秋·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）动点从正方体的顶点出发，沿着棱运动到顶点后再到，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为__________．（用数字作答）
例27．（2023·全国·高三专题练习）如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对. （用数字作答）
例28．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．
例29．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）30030能被______个不同正偶数整除．
例30．（2023春·高二课时练习）如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线共有多少条？
例31．（2023秋·湖北武汉·高二武汉二中校考期末）用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：
(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？
(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？
(3)求即144的所有正约数的和.（注：每小题结果都写成数据形式）
例32．（2023·高二课时练习）某城市由条东西方向的街道和条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从处走到处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
例33．（2023·高二课时练习）如图，某地有南北街道5条、东西街道6条．一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，且途经C地，要求所走路程最短，共有多少种不同的走法？
例34．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）（1）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？
（2）如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？
（3）如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条（注意有一段不通），一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法？
（4）如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知地（十字路口）在修路，无法通行，且有一段路程无法通行，一邮递员该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法？
例35．（2023春·湖北·高二石首市第一中学校联考阶段练习）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，则不同的路径共有__________条，其中途径C地的不同路径共有__________条．