新高考数学二轮复习强化讲与练专题14 空间几何体的结构、面积与体积（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 SKIPIF 1 < 0 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23B．24C．26D．27
【答案】D
【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
【详解】该几何体由直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 及直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 组成，作 SKIPIF 1 < 0 于M，如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为重叠后的底面为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
在直棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面BHC，则 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
设重叠后的EG与 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
则该几何体的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 SKIPIF 1 < 0
又设四棱锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，底面所在圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以该四棱锥的高 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
(当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，底面所在圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以该四棱锥的高 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C.
【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
3.（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，E为AC的中点．
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面ACD；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，点F在BD上，当 SKIPIF 1 < 0 的面积最小时，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【答案】(1)证明详见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）通过证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 来证得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）首先判断出三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积最小时 SKIPIF 1 < 0 点的位置，然后求得 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，从而求得三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【详解】（1）由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，三角形 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以三角形 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 最短时，三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积最小
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
[方法二]：等体积转换
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形，
SKIPIF 1 < 0
连接 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
（1）以几何体的结构特征为基础，考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.
（2）与立体几何相关的“数学文化”、实际问题等相结合，考查数学应用.
（3）几何体的表面积与体积是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．
（4）以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属于基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第（1）问，第（2）问则考查几何体面积、体积的计算.
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 几何体的面积计算
【核心知识】
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
【典例分析】
典例1.（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 SKIPIF 1 < 0 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，设球心到上下底面的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ，球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 符合题意，所以球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
典例2.（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知正四棱台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若该四棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，求这个四棱台的表面积为（ ）
A．24B．44C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】结合图形，利用四棱台的体积公式求得该四棱台的高 SKIPIF 1 < 0 ，进而在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 与等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中依次求得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得该四棱台的侧面积，进而求得其表面积.
【详解】过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是正四棱台 SKIPIF 1 < 0 的高，
因为正四棱台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为该四棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为其他三个侧面与侧面 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，
所以该四棱台的侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该四棱台的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
.
典例3.（2021·全国·高考真题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 SKIPIF 1 < 0 则该圆锥的侧面积为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【规律方法】
1.几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
2.计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.
考向二 几何体的体积计算
【核心知识】
圆柱的体积
圆锥的体积
圆台的体积
球体的体积
正方体的体积
正方体的体积
【典例分析】
典例4.（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 SKIPIF 1 < 0 上升到 SKIPIF 1 < 0 时，增加的水量约为（ SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为 SKIPIF 1 < 0 (m)，所以增加的水量即为棱台的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
棱台上底面积 SKIPIF 1 < 0 ，下底面积 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
典例5.（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，两个圆锥的高之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 SKIPIF 1 < 0 ，
设圆锥 SKIPIF 1 < 0 和圆锥 SKIPIF 1 < 0 的高之比为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，这两个圆锥的体积之和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
典例6.（多选题）（2022秋·河北张家口·高三统考期末）正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2, SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
D．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【分析】取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,通过求三角形 SKIPIF 1 < 0 各个边长,可得 SKIPIF 1 < 0 不相互垂直,即可证明 SKIPIF 1 < 0 不垂直,即可判断选项A的正误;连接 SKIPIF 1 < 0 ,根据面面平行的判定定理即可证明平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,再根据面面平行的性质定理即可证明选项B的正误; 取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,根据一条线与一个平面平行,则这条线上任一点到该平面距离相等,通过等体积转换即可得 SKIPIF 1 < 0 即可求出结果;分别取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,将三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球转化为长方体 SKIPIF 1 < 0 的外接球,求出半径及表面积即可.
【详解】解:由题知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2,
关于选项A:
取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 如图所示:
SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,
SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 ,
由于正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 不相互垂直,
即 SKIPIF 1 < 0 不相互垂直,
若直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,与上面结论矛盾,
故选项A错误;
关于选项B:
连接 SKIPIF 1 < 0 ,如图所示:
SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项B正确;
关于选项C:
取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,如图所示:
SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项C正确;
关于选项D:
分别取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 如图所示:
由图可知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球即长方体 SKIPIF 1 < 0 的外接球,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 长方体 SKIPIF 1 < 0 的外接球半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以此外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选项D正确.
故选:BCD
【总结提升】
求空间几何体体积的常用方法
（1）公式法:对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解.
（2）割补法: 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.
（3）等体积法:一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.当一个几何体的底面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化法或等积变形法，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
考向三 多面体与球相关面积、体积计算
【核心知识】
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则 SKIPIF 1 < 0 ；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则 SKIPIF 1 < 0 .
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 SKIPIF 1 < 0 .
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【典例分析】
典例7.（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由题可得 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，得出 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径，则可求得 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，进而求得体积.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，又球的半径为1，
设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.
典例8.（2022秋·吉林·高三校联考阶段练习）如图，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将△ACD沿边AC翻折，使点D翻折到P点，且 SKIPIF 1 < 0 则三棱锥P—ABC外接球的表面积是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，首先易证 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，故证得平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线,过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，则确定三棱锥外接球球心 SKIPIF 1 < 0 的位置，再求出半径长，则得到外接球表面积.
【详解】在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，则易得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，易知其位于斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
等腰 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，易知其位于 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，
过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线,过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，设两垂线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，因此四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
SKIPIF 1 < 0 为顶角为 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【点睛】方法点睛：确定几何体外接球球心的依据主要有:（1）球的截面的性质,球心与截面圆圆心的连线与截面垂直，所以球心在过裁面圆圆心且与截面垂直的直线上；（2）球心在几何体的棱的垂直平分线上，因为球心到几何体的顶点的距离都等于球的半径，所以球心与棱中点的连线与棱垂直.
典例9.（2023·全国·模拟预测）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，ABCD是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为（ ）
A．4πB．8πC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可.
【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，
如图①所示：
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
则在等腰 SKIPIF 1 < 0 中有： SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD= SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
由底面为正方形 SKIPIF 1 < 0 ，
所以它的外接圆的圆心为对角线的交点 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 外接圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 上，
过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别作平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线，
则两垂线必交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 即为四棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心，
且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形.
如图②连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在图①中连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
即四棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为：
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【规律方法】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
3.几何体的外接球
一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
4.几何体的内切球
求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.
考向四 面积、体积计算的最值、范围问题
【核心知识】
图形中的最大（小）位置、基本不等式、函数单调性、导数．
【典例分析】
典例10.（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，所以球的半径 SKIPIF 1 < 0 ,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以正四棱锥的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，正四棱锥的体积 SKIPIF 1 < 0 取最大值，最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ,
所以正四棱锥的体积 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取到 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，球心在正四棱锥高线上，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，正四棱锥体积 SKIPIF 1 < 0 ，故该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
典例11.（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，可求得此四棱锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，根据外接球与正四棱锥的关系，利用勾股定理可求出外接球半径，再利用导数求得半径的最小值即可.
【详解】如图所示，设围成的四棱柱为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心在它的高 SKIPIF 1 < 0 上，
记球心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该四棱锥外接球的表面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
典例12.（2020·全国·统考高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，其体积： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
考向五 根据几何体的面积、体积确定其它几何量
【核心知识】
几何体结构特征、面积公式、体积公式．
【典例分析】
典例13.（2020·全国·统考高考真题）已知△ABC是面积为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据球 SKIPIF 1 < 0 的表面积和 SKIPIF 1 < 0 的面积可求得球 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径 SKIPIF 1 < 0 ，由球的性质可知所求距离 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
设球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是面积为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 球心 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
典例14.（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知A，B，C是球O球面上的三个点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则A，B两点测地线长为（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】易得 SKIPIF 1 < 0 截面圆的圆心在 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 处，则求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，球 SKIPIF 1 < 0 半径为 SKIPIF 1 < 0 ，利用三棱锥体积公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出测地线长.
【详解】由题意知， SKIPIF 1 < 0 截面圆的圆心在 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 处，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设球 SKIPIF 1 < 0 半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而易知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 两点测地线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
典例15.（2022·四川达州·统考一模）把一个三边均为有理数的直角三角形面积的数值称为同余数，如果正整数 SKIPIF 1 < 0 为同余数，则称 SKIPIF 1 < 0 为整同余数. SKIPIF 1 < 0 年 SKIPIF 1 < 0 月 SKIPIF 1 < 0 日， SKIPIF 1 < 0 年度国家科学奖励大会在人民大会堂隆重召开，中国科学院研究员田刚以“同余数问题与 SKIPIF 1 < 0 函数的算术”项目荣获 SKIPIF 1 < 0 年度国家自然科学奖二等奖，在同余数这个具有千年历史数学中最重要的古老问题上取得突破性进展.在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 旋转一周，所成几何体的侧面积和体积的数值之比为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 为整同余数，则 SKIPIF 1 < 0 的值可以为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】用直角三角形的一条直角边长 SKIPIF 1 < 0 和面积 SKIPIF 1 < 0 ，表示出另一条直角边长 SKIPIF 1 < 0 和斜边长 SKIPIF 1 < 0 ，以旋转形成的圆锥的侧面积和体积的数值之比建立方程，将选项中 SKIPIF 1 < 0 的值代入方程，判断解出的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是否为有理数即可.
【详解】
如图， SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 旋转一周，形成一个底面半径 SKIPIF 1 < 0 ，高 SKIPIF 1 < 0 ，母线长 SKIPIF 1 < 0 的圆锥，
该圆锥的侧面积 SKIPIF 1 < 0 ，
该圆锥的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
侧面积和体积的数值之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无解，故选项A错误；
对于B，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为有理数，满足题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为有理数，满足题意，故选项B正确；
对于C，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无有理数解，故选项C错误；
对于D，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无有理数解，故选项D错误.
故选：B.
考向六 面积、体积计算中的实践与数学文化问题
【核心知识】
数学文化问题是近年来高考命题的亮点，此类问题把数学史、数学美、数学语言、数学思维及数学方法结合起来，可有效考查学生在新情境中对数学文化的鉴赏、对数学知识的理解、对数学方法的迁移，因此备受命题者青睐.在我国浩瀚的传统文化中，有丰富的与几何体有关的数学文化背景知识，故也成为近年高考命题的热点.
【典例分析】
典例16.（2023·全国·模拟预测）何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm，上口直径约为28cm，下端圆柱的直径约为18cm．经测量知圆柱的高约为24cm，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.
【详解】下端圆柱的体积为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
上端圆台的体积为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该何尊的体积估计为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 最接近 SKIPIF 1 < 0 ，
所以估计该何尊可以装酒 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
典例17.（2022·湖南湘西·高三统考竞赛）蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义，鞠最早系外包皮革､内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴､蹋､踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点 SKIPIF 1 < 0 ，且球心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则该鞠（球）的表面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】画出图形，作出辅助线，求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理求出球的半径，求出球的表面积.
【详解】
如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 并延长，交球 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的直径，
设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】本题是立体几何中外接球问题，要画图，找到球心的位置，结合解三角形等知识进行求出半径，再求解球的表面积，其中如何求出半径是难点；本题属于较难题.
典例18.（2022秋·广东东莞·高三统考期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，记能将该三角垛完全放入的四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】要使 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，则使 SKIPIF 1 < 0 取最小值，通过计算出球心在一面的投影点到该边的距离，可算出四面体 SKIPIF 1 < 0 的最小棱长
【详解】设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知四面体 SKIPIF 1 < 0 为正四面体，边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以四面体 SKIPIF 1 < 0 的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 取得最大值，则使 SKIPIF 1 < 0 取最小值，由题意可知此时该三角垛与四面体 SKIPIF 1 < 0 相切.
等边 SKIPIF 1 < 0 的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可算出正四面体 SKIPIF 1 < 0 任意两面二面角大小的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为位于三角垛顶的球与三面都相切，
取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，如图可得截面 SKIPIF 1 < 0 ，
若设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
已知球心 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面 SKIPIF 1 < 0 里过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以边上三个球的球心在该面的投影与该边和两个顶点形成等腰梯形，底角为 SKIPIF 1 < 0 ，上底为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以下底可计算得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点睛】关键点睛：这道题的关键是确定最小正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长，需要通过截面 SKIPIF 1 < 0 和在三角形 SKIPIF 1 < 0 利用几何关系进行确定，需要较强的空间想象能力
【规律方法】
对于数学文化、现实生活中所涉及的几何模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，利用立体几何的有关知识进行解答，最后对实际问题作出解释，必要时要进行检验.
考向7 几何体截面问题
【核心知识】
确定截面的主要依据有
(1)平面的四个公理及推论．
(2)直线和平面平行的判定和性质．
(3)两个平面平行的性质．
(4)球的截面的性质．
【典例分析】
典例19. (2018·全国Ⅰ) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.
典例20.（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中学）四面体 SKIPIF 1 < 0 的各个顶点都在球 SKIPIF 1 < 0 的表面上， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，且 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球 SKIPIF 1 < 0 的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】把四面体放到长方体中，根据球的几何性质进行求解即可.
【详解】设所得截面圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 两两垂直可将四面体 SKIPIF 1 < 0 放入长方体中，
如图所示，易得外接球半径 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作球 SKIPIF 1 < 0 的截面，所得截面圆的面积最大时为过球心的圆面， SKIPIF 1 < 0 ；
所得截面圆的面积最小时为与最大截面垂直的圆面.
在 SKIPIF 1 < 0 内， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选A.
【点睛】关键点睛：利用长方体和球的几何性质是解题的关键.
典例21.（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长都等于1的三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，过 SKIPIF 1 < 0 作平行于棱 SKIPIF 1 < 0 和棱 SKIPIF 1 < 0 的截面，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明截面 SKIPIF 1 < 0 是矩形；
(2) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的什么位置时，截面面积最大，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，截面面积最大
【分析】（1）先证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，然后证明平行四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形.
（2）求得截面面积的表达式，并利用二次函数的性质求得其取最大值时 SKIPIF 1 < 0 的位置.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，
SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形.
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时，截面面积最大.
【规律方法】
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键．