新高考数学一轮复习考点分类提升 第34讲 直线、平面平行的判定与性质（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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1.直线、平面平行的判定与性质
2.与垂直相关的平行的判定
(1)
(2)．
3.线线、线面、面面平行的转化示意图
4.常用结论
(1)中位线定理：在中，分别是的中点，则；
(2)平行四边形常见证明方法：一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对边对应相等；两组对边对应互相平行.
考点一：证明线线平行
例1．如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点.求证：；
【答案】证明见解析
【分析】由面面平行的性质可得平面，再由线面平行的性质即可证结论.
【详解】由长方体的性质知：平面平面，又面，
面，又平面平面，且面，
.
考点二：证明线面平行
例2．在长方体中，矩形和矩形的中心分别为M、N．求证：平面ABCD．
【答案】证明见解析
【分析】由线面平行的判定定理证明，证明后可得．
【详解】证明：如图，连接、、AC、MN．
∵矩形和矩形的中心分别为M、N，
∴，，∴．
又平面ABCD，平面ABCD，
∴平面ABCD．
考点三：证明面面平行
例3．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG．
【答案】证明见解析
【分析】证明，进而证明出平面BCHG，再证明，得到平面BCHG，从而证明面面平行.
【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴．
∵平面BCHG，平面BCHG，
∴平面BCHG．
∵，且
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵平面BCHG，平面BCHG，
∴平面BCHG．
∵，
∴平面平面BCHG．
一、解答题
1．如图，正方体中，分别为的中点，求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【分析】如图取中点，连接，，，由平行四边形的判定定理可证四边形、为平行四边形，则，，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，结合面面平行的判定定理即可证明.
【详解】
取中点，连接，，，
∵为正方体，，分别为，中点，
∴，，，，
∴四边形、为平行四边形，则，，
∵平面，平面，平面，平面，
∴平面，平面，
∵平面，平面，，
∴平面平面.
2．已知四棱锥的底面ABCD为矩形，底面ABCD，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图．
(1)求证：平面PBD；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用中位线得到的线线平行，证明线面平行，再证面面平行，由面面平行得证线面平行；
【详解】（1）证明：∵E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，∴，，
∵平面PBD，平面PBD，∴平面PBD，同理可证平面PBD，
∵，EF、平面EFG，∴平面平面PBD，
∵平面EFG，∴平面PBD．
3．如图，已知正方体的棱长为分别是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正方体的性质及线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即得；
（2）利用线面平行的判定定理即得.
【详解】（1）由正方体的性质可得，
∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，
∴平面，
同理可得平面，又平面，
∴平面平面；
（2）因为分别是的中点，
所以，又，
∴，又平面，平面，
∴平面.
4．如图，三棱柱中，，，，点M，F分别为BC，的中点，点E为AM的中点．
(2)证明：平面；
【答案】(2)证明见解析
【分析】（2）利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理即可求解.
【详解】
（2）取BM中点为G，连接EG、,
则，所以，
又，
所以四边形为平行四边形，所以，
而在平面内，EF在平面外，
故平面.
5．（山东省聊城市2023届高三二模数学试题）如图，平面平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，且，点G在线段上．
(1)若点G为线段的中点，求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接，交于H，连接，证明四边形为平行四边形，从而，即可根据线面平行的判定定理证明结论.
【详解】（1）连接，交于H，连接，则H为的中点，
因为G，H分别为的中点，
所以且．
又且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，从而，
又平面平面，
所以平面，
6．（2023·天津·校联考一模）已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）分别取、的中点、，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；
【详解】（1）证明：分别取、的中点、，连接、、，
由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，，
因为，所以，所以点、、、四点共面，
因为、分别为、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
7．（2023·甘肃·统考二模）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，若，，分别为，的重心．
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）延长交于，延长交于，根据等分点与三角形底边平行关系先证明线线平行，再证明线面平行；
【详解】（1）延长交于，延长交于，如图所示：
因为分别为和的重心，
所以分别为的中点，且，
又因为底面为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
8．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上的点，，，．
(1)证明：平面ACQ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用三角形相似得，结合，则有，利用线面平行的判定即可证明；
【详解】（1）如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，
∵，，则，
∴，，
∵，∴，
平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；
9．（2023·重庆九龙坡·统考二模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面，，M为PB的中点.
(1)求证：直线平面PCD；
【答案】(1)见解析
【分析】（1）取的中点为,连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可；
【详解】（1）取的中点为,连接，则,且,
∴四边形是平行四边形，，
平面,平面,
∴直线平面.
10．（2023·上海松江·统考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，，，平面ABCD，，M是PD的中点．
(1)证明：平面ACM
【答案】(1)见解析
【分析】（1）连接，通过中位线性质得到，从而根据线面平行的判定定理得到平面；
【详解】（1）连接，在平行四边形中，
因为为与的交点，
所以为的中点，
又为的中点,所以.
因为平面平面，
所以平面.
11．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，三角形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，，、分别为、的中点．
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，利用平行四边的判定及性质，结合线面平行的判定定理即可求解；
【详解】（1）连接，
因为、分别为、的中点，
所以且，
又因为，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
12．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．
(1)证明：平面ABE；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接交于点，取的中点，连接，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可；
【详解】（1）
证明：连接交于点，取的中点，连接，
因为四边形为平行四边形，所以为的中点，
所以，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，即，
因为平面，平面，所以平面ABE.
13．（2023·上海长宁·统考二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，分别为棱中点．
(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可证得结论；
【详解】（1）为中点，，，，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面；
分别为中点，，
平面，平面，平面；
，平面，平面平面.
14．（2023·陕西西安·统考二模）在如图所示的多面体中，平面，四边形为矩形.
(1)求证：平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由线面平行的判定证平面、平面，再由面面平行的判定证结论；
【详解】（1）由平面平面，
所以平面，
四边形为矩形，则，平面平面，
所以平面，
又平面平面，
平面平面.
15．（2023·青海西宁·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，分别是，，的中点，平面，，且．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用面面平行证明线面平行；
【详解】（1）在菱形中，因为，分别是，的中点，所以．
所以四边形为平行四边形，即有BG//DE，
因为平面，平面，所以BG//平面DEF.
又是的中点，所以．
平面DEF，平面DEF，所以平面DEF.
因为，平面PBG，所以平面平面．
因为平面，所以平面；
16．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，且是正三角形，分别是的中点.
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，易证平面，平面，再利用面面平行的判定定理证明；
【详解】（1）证明：如图所示：
取的中点，连接.
因为底面是等腰梯形，，
又分别是的中点，所以.
又因为平面平面，所以平面.
因为是的中点，所以.
又因为平面平面，所以平面.
因为平面平面，
所以平面平面.
因为平面，所以平面.定理
文字语言
符号语言
图形语言
作用
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
a⊄α,b⊂α,
且a∥b⇒a∥α
证明直线与平面平行
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行
a∥α,a⊂β,
α∩β=b⇒a∥b
证明或判断两条直线平行
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
a⊂β,b⊂β,a∩b=P,
a∥α,b∥α⇒β∥α
证明两个平面平行
平面与平面平行的性质定理
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
α∥β,α∩γ=a,
β∩γ=b⇒a∥b
证明或判断两条直线平行
考点一
证明线线平行
考点二
证明线面平行
考点三
证明面面平行