新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题64 二项分布与超几何分布、正态分布（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
【考点预测】
1.伯努利试验与二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
3.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
4.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))·eeq \f(－（x－μ）2,2σ2)，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称.
②曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)).
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
【常用结论】
1.二项分布当n＝1时就是两点分布.
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.
3.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.
【方法技巧】
1.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
3.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
4.解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴x＝μ；
(2)标准差σ；
(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
二、【题型归类】
【题型一】二项分布
【典例1】（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）若随机变量，下列说法中正确的是（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
【解析】【答案】BCD
【分析】根据二项分布有关知识，，，可得.
【详解】A选项：因，所以，故A错误.
B选项：，故B正确.
C选项：，故C正确.
D选项：，，故D正确.
故选：BCD.
【典例2】（多选）（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布N(2,)且，则
B．已知随机变量(n,p)，若，，则
C．已知，，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，(10,0.8)，则当时概率最大
【解析】【答案】ACD
【分析】由正态分布对称性求概率判断A；由二项分布期望、方差公式列方程求参数判断B；应用全概率、条件概率公式求判断C；应用不等式法解决二项分布概率最大问题判断D.
【详解】A：由对称性知：，对；
B：，则，错；
C：由，则，对；
D：由，
，即，为正整数，则，对.
故选：ACD
【典例3】（多选）（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当时，
【解析】【答案】BC
【分析】确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D.
【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，
则，则，，
故A错误，B正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为，
星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，
设，则，
令，则（舍去）或或，
当时，，当时，，
故时，取得最大值，即，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，
此时，故C正确；
对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为，
遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一天遇到红灯次数的数学期望为，
所以，故D错误，
故选：BC
【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数，求导，利用导数解决问题.
【题型二】超几何分布的概率
【典例1】（多选）（2022·全国·模拟预测）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布B．随机变量Y服从超几何分布
C．D．
【解析】【答案】ABD
【分析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断.
【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
【典例2】（多选）（2022·全国·模拟预测）一批电子产品共100件，其中正品有98件，次品有2件，从中不放回地依次抽取10件产品进行检测（每次抽取1件），甲表示事件“第一次取出的是正品”，乙表示事件“第二次取出的是次品”，记取出的次品件数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与乙不互斥C．D．
【解析】【答案】BD
【分析】根据相互独立事件和互斥事件的定义判断甲、乙事件既不相互独立也不互斥；由条件知随机变量X服从超几何分布且，从而得正确的结果.
【详解】对于选项A，事件甲发生与否影响事件乙发生的概率，故事件甲与乙不相互独立，故选项A错误；
对于选项B，事件甲发生后，事件乙既可能发生，也可能不发生，同样，事件甲没有发生，事件乙既可能发生，也可能不发生，故事件甲与事件乙不是互斥事件，故选项B正确；
对于选项C与选项D，由条件知随机变量X服从超几何分布且，由此可见，选项C错误，选项D正确.
故选：BD.
【典例3】（2023·河北·模拟预测）为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为 .
【解析】【答案】
【分析】根据题意讨论先抽取2道题有几道多选题，结合超几何分布分析运算.
【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为，则的可能取值为：0，1，2，
可得：，
所以最后抽取到的题为多选题的概率为.
故答案为：.
【题型三】超几何分布的分布列
【典例1】（2023·全国·模拟预测）课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有盒子中随机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3次．
(1)若老师选择了第3个盒子，，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列以及数学期望；
(2)若，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．
【解析】【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）利用超几何分布的知识表示出分布列，计算期望即可;
（2）当时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件，结合古典概型，分别计算其对应的概率，即可得到答案，
【详解】（1）当时，老师选择第3个盒子，则有3张“巨额奖励”的卡片和4张“谢谢惠顾”的卡片，则X的所有可能取值为，
则，，
，．
X的分布列为
数学期望．
（2）当时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件．
，，，，．
故该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．
【典例2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
【解析】【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式即可求解概率，进而可求解分布列.
【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；
（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
【典例3】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
【解析】【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由频率分布直方图概率之和为求出，再由频率直方图中位数的计算方法求解即可；
（2）求出的可能取值，及其对应的概率，即可求出分布列，再由数学期望公式即可得出答案.
【详解】（1）由直方图可知，
解得．
因为，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为，则，
解得．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在内的有4名，在内的有8名．
由题意可知的所有可能取值为．
，，
，，
，
则的分布列为
【题型四】正态分布指定区间概率
【典例1】（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）下列说法中，正确的命题的是（ ）
A．一台晩会有个节目，其中有个小品，如果个小品不连续演出，共有不同的演出顺序种
B．已知随机变量服从正态分布，，则
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则、的值分别是和
D．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为
【解析】【答案】C
【分析】利用插空法可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用对数的运算可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，一台晩会有个节目，其中有个小品，如果个小品不连续演出，
只需先将其余个节目全排，然后将个小品插入另外个节目形成的个空位中的两个即可，
因此，不同的演出顺序种数为，A错；
对于B选项，已知随机变量服从正态分布，，
则，B错；
对于C选项，以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，
则，
所以，，解得，C对；
对于D选项，因为样本数据、、、的方差为，
则数据、、、的方差为，D错.
故选：C.
【典例2】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）若随机变量，则有如下结论：（，，）,高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A．19B．12C．6D．5
【解析】【答案】C
【分析】由正态曲线的对称性求出理论上说在130分以上的概率，即可求出理论上说在130分以上人数.
【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布，，
∴，
根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为，
∴理论上说在130分以上人数约为.
故选：C．
【典例3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）Lgistie分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，则（ ）
A．满足二项分布的随机变量也是连续随机变量
B．若连续随机变量满足，则服从Lgistic分布
C．若服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，则
D．若服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，则
【解析】【答案】C
【分析】根据二项分布为离散型随机变量的分布可判断A选项；利用Lgistic分布的定义可判断B选项；根据Lgistic分布的概率公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，满足二项分布的随机变量是离散型随机变量，A错；
对于B选项，根据Lgistic分布的定义可知，
若连续随机变量满足，则不服从Lgistic分布，B错；
对于C选项，若服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，
则，
所以，，，
故，C对；
对于D选项，若服从位置参数为，形状参数为的Lgistic分布，
则，，
所以，，
因为，所以，，D错.
故选：C.
【题型五】正态分布特殊区间概率
【典例1】（2023·广东·统考模拟预测）研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收入情况，记被调查的职工的收入为X，统计分析可知，则（ ）
参考数据：若，则，，.
A．0.8186B．0.9759C．0.74D．0.84
【解析】【答案】D
【分析】根据正态分布的性质结合条件即得.
【详解】依题意，，
所以
.
故选：D.
【典例2】（2023·吉林·统考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量，则
B．若随机变量服从两点分布，且，则
C．若随机变量的分布列为，则
D．若随机变量，则的分布列中最大的只有
【解析】【答案】D
【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到，A正确；B选项，根据服从两点分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程，求出；D选项，根据解出答案.
【详解】A选项，，由正态分布的对称性可知，A正确；
B选项，若随机变量服从两点分布，且，
即分布列为：
所以
故，则，B正确；
C选项，分布列中概率之和为1，即，解得，C正确；
D选项，随机变量，令，
即，解得，
因为，所以或3，
则的分布列中最大的有或，D错误.
故选：D
【典例3】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（ ）
（附：若随机变量服从正态分布，则，，）
A．1070B．2140C．4280D．6795
【解析】【答案】A
【分析】利用区间上的概率及正态分布的对称性求，进而估计区间人数.
【详解】由题设
，
所以数学单科分数在130～150分的学生人数约为人.
故选：A
【题型六】正态分布3σ原则
【典例1】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩（满分100分）分成共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.分析样本数据后，发现学生的竞赛分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，频率近似为样本方差.若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优胜奖杯的人数为（ ）（结果四舍五人保留到整数位）参考数据：若，则.
A．15B．16C．34D．35
【解析】【答案】B
【分析】首先根据频率直方图得到，，再根据正态分布求解即可.
【详解】由题意得各组的频率依次为，
则，，
所以.
因为，
所以此次竞赛获得优胜奖杯的人数约为.
故选：B
【典例2】（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）据研究，人的智力高低可以用智商来衡量，且，若定义称为智商低下，称为智商中下，称为智商正常，称为智商优秀，称为智商超常，则一般人群中智商优秀所占的比例约为（ ）
（参考数据：若，则，，．）
A．B．C．D．
【解析】【答案】A
【分析】分析可知，，利用原则可求得的值.
【详解】由已知可得，，则，，
所以，
.
因此，一般人群中智商优秀所占的比例约为.
故选：A.
【典例3】（2023·山东枣庄·统考二模）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ）
参考数据：，，．
A．455B．2718C．6346D．9545
【解析】【答案】B
【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.
【详解】由题意可知，，
则数学成绩位于[80，88]的人数约为.
故选：B
【题型七】正态分布的实际应用
【典例1】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：）情况，随机调查得到了1500个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若样本中耗电量不小于的汽车大约有600辆，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
【解析】【答案】A
【分析】由正态分布知识得到对应车辆数，即可得答案.
【详解】由题可得时，对应车辆数为，又时，对应车辆数为，则时，对应车辆数为900，
则时，对应车辆数为，又对应车辆数等于对应车辆数，则时，对应车辆数为.则.
故选：A
【典例2】（2022上·江苏南通·高三统考期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，Xn ~N(0，)，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ）
【附】随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974．
A．32B．64C．128D．256
【解析】【答案】C
【分析】根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案.
【详解】根据题意，，
而，则，所以.
故选：C.
【典例3】（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）近年来，网络消费新业态、新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为50万人，从该县随机选取5000人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下5组：、、 、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分X（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.则以下不正确的是（ ）

A．由直方图可估计样本的平均数约为74.5
B．由直方图可估计样本的中位数约为75
C．由正态分布估计全县的人数约为2.3万人
D．由正态分布估计全县的人数约为40.9万人
【解析】【答案】C
【分析】由频率分布直方图所给数据可计算出样本的平均数与中位数，即可判断AB选项；由由此即可判断C选项；由，可判断D选项.
【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为
，A对；
对于B选项，满意度得分在之间的频率为，
满意度得分在之间的频率为，
设样本的中位数为，则，
由中位数的定义可得，解得，B对；
对于C选项，因为，，，
所以，，
所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，C错；
对于D选项，因为，，
所以，
，
所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，D对.
故选：C
三、【培优训练】
【训练一】（2023·河北·统考模拟预测）为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10道题，编号为，，，，，，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得10分，答错得0分.团体赛以班级为单位，各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以下两种参赛方案中任选一种参赛：
方案一：将班级选派的名参赛选手每3人一组，分成组，电脑随机分配给同一组的3名选手一道相同的试题，3人均独立答题，若这3人中至少有2人回答正确，则该小组顺利出线；若这个小组都顺利出线，则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的名参赛选手每人一组，分成3组，电脑随机分配给同一组的名选手一道相同的试题，每人均独立答题，若这个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3个小组中至少有2个小组顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为，每次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
(2)在团体赛预赛中，假设A班每位参赛选手答对试题的概率均为常数，A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
【解析】【答案】(1)
(2)选择方案一，理由见解析
【分析】（1）设郭靖同学答对的题目数为X，得分为Y，由题意确定，根据二项分布的期望和方差的性质，即可求得答案.
（2）设A班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为，分别求出的表达式，作差并利用构造函数判断的大小，即可得到结论.
【详解】（1）设郭靖同学答对的题目数为X，得分为Y，则，
由题意可知,
则;
.
（2）设A班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为，
当选择方案一时，小组里3人中至少有2人回答正确的概率为，
故；
当选择方案二时，一个小组顺利出线的概率为，则小组没有出线的概率为，
故；
故，
令，
则
，
因为，所以，
故，
则，即，
故为单调增函数，
因为，
由于各班参赛人数必须为3的倍数，且不少于18人，即，
此时
故A班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择方案一参赛.
【点睛】关键点睛：本题为概率类综合题目，题目背景较为复杂，因而解答的关键是要明确题目含义，明确变量服从二项分布，从而作答，难点在于第二问求得方案一二的概率表达式，并进行大小比较.
【训练二】（2023·广东茂名·统考二模）春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为，在社交媒体平台复购的概率为.
(1)记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为，若，试求的分布列和期望；
(2)记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为，当取得最大值时，为何值？
(3)为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整.已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第（2）问所得值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额.
【解析】【答案】(1)分布列见解析；当时，期望为1；当时，期望为3；
(2)
(3)805500元
【分析】（1）复购的人数满足，故通过可求得或，然后分两种情况进行求分布列和期望即可；
（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为，由题得,，故可计算得，通过导数研究其单调性即可求得最大值，求得此时的值；
（3）根据题意，分两个平台进行计算净利润，最后进行求和即可
【详解】（1）由题意得,在短视频平台购票的人中,复购概率为，复购的人数满足二项分布，即，
故,故或.
又知的所有可能取值为0，1，2，3，4，
①当时,
的分布列为
此时期望为，
②时,
，
所以的分布列为
此时期望为
（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为，由题得,.
,
,
令,得或1，
所以时, ，函数单调递增,当时, ，函数单调递减.
故当取得最大值.
由可得，此时.
（3）短视频平台:(元),
社交媒体平台:(元),
净利润总额:(元).
故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805500元.
【点睛】方法点睛：这道题的信息量较多，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的
【训练三】（2022·福建泉州·统考模拟预测）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨询该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A，B两个等级（见下表）
视A，B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；
(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出A，B等级客服的询单转化率分别为，设A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，对应的询单转化率中位数分别为，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；
（2）将改革前的日均成交人数计算出为7200，进而表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，求出a的取值范围.
【详解】（1）依题意得：A，B等级客服的询单转化率分别为，
设事件C表示“这4人的询单转化率的中位数不低于70%”，
A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，
对应每种情况的询单转化率中位数分别为，
故；
（2）设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为Y，Z
改革前，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
因为A，B等级客服的询单转化率分别为，
所以改革前日均成交人数为，
改革后，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
故改革后日均成交人数为，
由得：，①
因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为，所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为，
则，解得：，②
由①②得：，所以a应该控制在
【训练四】（2022·北京·景山学校校考模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【解析】【答案】(1)0.20
(2)的分布列见解析，数学期望为
(3)5
【分析】（1）由频率分布直方图列出方程，能求出的值，进而估计出概率；
（2）先按比例抽取人数，由题意可知此分布列为超几何分布，即可求出分布列；
（3）求出的式子进行判断.
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望.
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
【训练五】（2023·河北·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图.
(1)求的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间服从正态分布，其中近似为，.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在范围内的平台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）
附：若服从正态分布，则，，.参考数据：.
【解析】【答案】(1)，，中位数为
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积为1可得，再根据平均数与中位数的算法求解即可；
（2）根据正态分布概率公式可得所以在时间大于分钟与小于分钟在平台内的数量，进而根据题意可得所需准备的资金表达式，再求导分析最值求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得.
故平均数.
设中位数为，因，，故，则，解得，即中位数为.
（2）由题意，，且，，
故，
所以在时间大于分钟的平台内约有件；，
所以在时间小于分钟的平台内约有件；
则“合格平台”约有件，
所以需要资金为 ，
由于，可令，则，令有，当时，递减；
当时，递增；
故有最小值，故至少需要准备元.
【训练六】（2023·重庆·统考二模）某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动．
(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；
(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励，
①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．
附：若随机变量，则；；．
【解析】【答案】(1)
(2)①能，理由见解析；②乙所说为假
【分析】（1）利用独立事件的概率公式，结合甲闯关的可能情况求解即可；
（2）①利用正态分布的对称性及法则，求得前名参赛者的最低得分即可判断；
②假设乙所说为真，利用正态分布的对称性及法则，证得丙的分数为分是小概率事件，从而得以判断.
【详解】（1）设：第次通过第一关，：第次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为，
由题意知
.
（2）设此次闯关活动的分数记为．
①由题意可知，
因为，且，
所以，则；
而，且，
所以前名参赛者的最低得分高于，
而甲的得分为分，所以甲能够获得奖励；
②假设乙所说为真，则，
，
而，所以，
从而，
而，
所以为小概率事件，即丙的分数为分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假．
四、【强化测试】
【单选题】
1. （2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）若，则当，1，2，…，100时（ ）
A．B．
C．D．
【解析】【答案】C
【分析】利用比大小的方法，即可求出k的值.
【详解】解：由题意得：
即，
化简得：，
又k为整数,可得,所以，
故选：C．
2. （2020上·西藏日喀则·高三校考阶段练习）《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】【答案】C
【解析】本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，
若任取个数中有个阳数，则，
若任取个数中有个阳数，则，
故这个数中至少有个阳数的概率，
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题.
3. （2023·福建·统考模拟预测）已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（ ）
A．45B．53C．54D．90
【解析】【答案】B
【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
又，
所以，，.
设，
则，
所以，，所以.
，
所以，，所以.
所以，以使得最大的N值作为N的估计值，则N为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得，得出，利用函数求出的最大值.
4. （2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（ ）
A．24B．25C．26D．27
【解析】【答案】A
【分析】由二项分布及其期望计算即可.
【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；
设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．
X所有可能的取值为0，1，2，，n，则，；
Y所有可能的取值为0，1，2，，32-n，则，，
所以获胜的业余棋手总人数的期望，解得．
故选：A．
5. （2023·四川成都·石室中学校考一模）下列说法正确的是（ ）
A．已知非零向量，，，若，则
B．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件
C．用秦九韶算法求这个多项式的值，当时，的值为14
D．若随机变量，，则
【解析】【答案】C
【分析】利用数量积的运算律可判定A，利用充分、必要条件的定义可判定B，利用秦九韶算法可判定C，利用正态分布曲线的性质可判定D.
【详解】对于A选项，若，则，所以，不能推出，
故A错误；
对于B选项，成立时，必有成立，
反之，取，则成立，但不成立，
因此“” 是“”的必要不充分条件，B错误；
对于选项C，因为，
所以可以把多项式写成如下形式：，
按照从内而外的顺序，依次计算一次多项式当的值：
，，，，故C正确；
对于选项D，，
所以，故D错误.
故选：C.
6. （2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）下列说法：
（1）分类变量与的随机变量越大，说明与相关的把握性越大；
（2）以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.7；
（3）若随机变量，且，则．
以上正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解析】【答案】D
【分析】根据独立性检验原理可判断（1）；由，两边取对数，根据对数的运算性质和线性方程可判断（2）；利用正态曲线的对称性求解可判断（3）.
【详解】根据独立性检验原理，分类变量与的随机变量越大，说明与相关的把握性越大，故（1）正确；
由，两边取对数得，即，
设，可得，又，
∴，即，故（2）正确；
若随机变量，则正态曲线关于对称，
则，故（3）正确，
所以正确的个数是3．
故选：D．
7. （2023下·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ）
A．1张B．2张C．3张D．4张
【解析】【答案】B
【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大.
【详解】设中奖的概率为，30天中奖的天数为，则
若盒子中的有奖券有1张，
则中奖的概率为，
，
若盒子中的有奖券有2张，
则中奖的概率为，
，
若盒子中的有奖券有3张，
则中奖的概率为，
，
若盒子中的有奖券有4张，
则中奖的概率为，
，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，
故选：B.
8. （2023·内蒙古包头·一模）为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ）
附：若，则，．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为85
C．该校学生体育成绩的及格率小于85%
D．该校学生体育成绩的优秀率大于3%
【解析】【答案】C
【分析】根据正态分布的特征可求A,B选项的正误，根据优秀和及格的标准可得C,D选项的正误.
【详解】因为，所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A,B均不正确；
因为60分及以上为及格，
所以，C正确；
因为90分及以上为优秀，所以，D不正确.
故选：C.
【多选题】
9. （2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）以下说法正确的有（ ）
A．经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点
B．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第三四分位数为9
C．已知，，，则
D．若随机变量，则取最大值的充分不必要条件是
【解析】【答案】BD
【分析】对于A，由回归直线的性质判断，对于B，由分位数的估计方法判断，对于C，由条件概率公式和独立事件的概率公式分析判断，对于D，由二项分布的概率公式，结合组合数性质确定参数，再由充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】对于A，回归直线不一定过样本点，但必过样本中心点，所以A错误，
对于B，将这8个数从小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，则，所以第三四分位数为，所以B正确，
对于C，因为，
所以
所以，
因为，，，
所以，解得，所以C错误，
对于D，因为，所以，
要使取得最大，只需取得最大，
所以当或时最大，
所以取最大值的充分不必要条件是，所以D正确，
故选：BD
10. （2023·江苏苏州·校联考模拟预测）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
【解析】【答案】AC
【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D.
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于B, 当时，，故B错误；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：AC
11. （2023下·山东青岛·高二山东省青岛第十七中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
B．若随机变量，则
C．现安排，，三名同学到五个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种
D．从10名男生、5名女生中随机选取4人，则其中至少有一名女生的概率
【解析】【答案】AC
【分析】由残差的概念即可判断A；由二项分布的方差公式及方差的性质即可判断B；根据正难则反思想，求出满足条件的安排方法种数，即可判断C；求出至少有一名女生的对立事件的概率，即可得出至少有一名女生的概率，从而判断D．
【详解】对于A：由残差的概念知，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故A正确；
对于B：由随机变量得，
则，故B错误；
对于C：由题可知，所有可能的方法有种，工厂甲没有同学去的方法有种，
所有工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有种，故C正确；
对于D：从10名男生、5名女生中随机选取4人，没有女生的概率为，
故至少有一名女生的概率为，
又，故D错误，
故选：AC．
12. （2023·山东潍坊·统考模拟预测）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为xg，随机变量x服从正态密度函数，其中，则（ ）
附：随机变量，则，，．
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g的概率为0.15%
B．生产线乙的食盐质量
C．生产线乙产出的包装食盐一定比生产线甲产出的包装食盐质量重
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g，于是判断出该生产线出现异常是合理的
【解析】【答案】AD
【分析】根据正态分布的参数，以及结合原则的参考数据，即可判断选项.
【详解】由条件可知，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为，
其中，其中，，
则，故A正确；
B. 随机变量x服从正态密度函数，可知，，，
所以生产线乙的食盐质量，故B错误；
C.不一定，可能小概率事件发生，生产线乙产出的包装食盐比生产线甲产出的包装食盐质量轻，故C错误；
D. ，说明生产线甲抽到质量大于515g的可能性很低，所以随机抽取两包质量均大于515g，说明判断出该生产线出现异常是合理的，故D正确.
故选：AD
【填空题】
13. （2023·上海黄浦·统考二模）若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为 ．
【解析】【答案】
【分析】先判断价格比原来的升降情况，然后利用二项分布的知识求解，即得结果.
【详解】设物品原价格为1，因为，，
，，
故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，
5天升高1天降低和6天升高,则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为.
故答案为：.
14. （2023·天津河西·统考一模）某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ．
【解析】【答案】
【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）.
【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率，
至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率，
所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率.
故答案为：，
15. （2023·山西吕梁·统考二模）某种红糖的袋装质量服从正态分布，随机抽取5000袋，则袋装质量在区间的约有 袋．（质量单位：）
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【解析】【答案】4093
【分析】根据正态分布的对称性，结合求解即可.
【详解】由题意知，，
所以，，得
，
所以袋装质量在区间的约有袋．
故答案为：4093
16. （2023·云南·校联考模拟预测）某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是 .
【解析】【答案】
【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.
【详解】因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，
则所求概率为.
故答案为：
【解答题】
17. （2023·全国·模拟预测）2023年5月31日，习近平主席在学校考察时指出：“体育锻炼是增强少年儿童体质的最有效手段”．为提升学生身体素质，某班组织投篮比赛，比赛分为，两个项目．
（i）选手在每个项目中投篮5次，每个项目中投中3次及以上为合格；
（ii）第一个项目投完5次并且合格后可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；
（iii）选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛．若选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是．
(1)求选手甲参加项目合格的概率；
(2)已知选手甲参加项目合格的概率为．比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分．设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？并说明理由．
【解析】【答案】(1)0.5
(2)甲选择先进行项目比赛，理由见解析
【分析】（1）由二项分布的概率计算公式运算即可求解.
（2）分别求出选手甲参加两个项目累计得分的期望值，比较即可得解.
【详解】（1）由题意得选手甲参加项目合格的概率为．
（2）选手甲应选择先进行项目，理由如下：
由题意，若选手甲先参加项目，则的所有可能取值为，
则；；，
所以累计得分的期望；
若选手甲先参加项目，则的所有可能取值为，
则；；，
所以累计得分的期望，
所以为使累计得分的期望最大，选手甲选择先进行项目比赛．
18. （2023·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．
假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．
(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线；
(2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．
【解析】【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设获奖分数线为，分析可知，根据题意可得出关于的等式，解之即可；
（2）分析可知，，利用二项分布可得出的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值.
【详解】（1）解：由表格知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
设获奖分数线为，则，
所以，，解得．
（2）解：从全市成绩不低于分的学生中随机抽取一人参加省级党史知识竞赛，
成绩在的概率为，
由题意知，，则的可能取值有、、、、，
则，，
，，
，
所以的分布列为
故．
19. （2023·全国·模拟预测）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：
(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若，则①；②；③.
【解析】【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)
【分析】（1）根据分层抽样、超几何分布等知识求得分布列并求得数学期望.
（2）先求得，然后根据正态分布的对称性求得正确答案.
【详解】（1）因为，，所以，.
由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段，这两个区间内的车辆数为，
车辆数的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，，
所以X的分布列为
所以.
（2）这1000辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值，即9：04，
，
所以.
估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，
工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，
，
所以估计在这一时间段内通过的车辆数为.
20. （2023·全国·模拟预测）一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），设2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．
(1)已知可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司发布的2023年中国夜间经济城市发展指数排行榜前10名中，吸引力超过90分的有4个，从这10个城市中随机抽取5个，记吸引力超过90分的城市数量为X，求X的分布列与数学期望．
参考数据：
其中．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
【解析】【答案】(1)
(2)分布列见解析，2
【分析】（1）将的等号两边同时取对数，再结合回归直线的斜率和截距的最小二乘法求得结果；
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据超几何分布求出分布列以及数学期望.
【详解】（1）将的等号两边同时取对数得，
所以．，
．
所以，
．
所以，即，
所以．
（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，．
所以X的分布列为
．
21. （2023·四川宜宾·统考一模）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：
(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y，求随机变量Y的分布列及数学期望.
附参考数据：若随机变量X服从正态分布，则：
【解析】【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据题中所给的公式，结合正态分布的性质进行求解即可；（ⅱ）运用二项分布的性质进行求解即可.
【详解】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件，
则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
故抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率为.
（2）（ⅰ）因为，所以：，
所以参赛学生中成绩超过分的学生数约为人
（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中堕机抽取名学生，该生竞赛成绩在分以上的概率为，
所以随机变量服从二项分布，
所以，，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以期望为.
22. （2023·云南大理·统考一模）为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.

(1)用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的50%分位数；
(2)将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差S分别作为，的近似值），已知样本的平均数约为80.5，标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；
(3)从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.
参考数据：若，则，，.
【解析】【答案】(1)80；
(2)16；
(3).
【分析】（1）根据百分位数的概念求解即可；
（2）根据正态分布的对称性求解，然后根据二项分布的期望公式求解期望即可；
（3）根据分层抽样、条件概率公式求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：，故此次知识竞赛成绩的50%分位数为80分；
（2）由题意可知，因为，
即，故，
由题意知，抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布，
即，故X的数学期望.
所以抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为16人；
（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15，
按照分层抽样，抽取10份，其中分数在，应抽取份，
分数在应抽取，
记事件A：抽测的3份试卷来自于不同区间；
事件B：取出的试卷有2份来自区间，则，，
故.
所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为.
专题64 二项分布与超几何分布、正态分布
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：二项分布
题型二：超几何分布的概率
题型三：超几何分布的分布列
题型四：正态分布指定区间概率
题型五：正态分布特殊区间概率
题型六：正态分布3σ原则
题型七：正态分布的实际应用
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
0
1
2
3
4
0
1
0
2
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
等级
A
B
询单转化率
[70%，90%）
[50%，70%）
人数
6
4
0
1
2
3
成绩区间
频数
时间段
频数
100
300
m
n
年份代码x
1
2
3
4
5
6
中国夜间经济的市场发展规模y/万亿元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
3.366
73.282
17.25
1.16
X
0
1
2
3
4
P
成绩（分）
.
频数
6
12
18
24
18
12
10