新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题55 直线与圆锥曲线（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.能利用弦长公式解决相关问题.
2.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.
【考点预测】
1.直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))
消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程
2.椭圆弦长问题
弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)或
|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2).
3.直线与双曲线的位置关系
(1)直线与双曲线位置关系的判断
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②
将①代入②，
得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
a.当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点.
b.当b2－a2k2≠0，即k≠±eq \f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)，
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；
Δb>0)，则k＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
(2)若双曲线E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则k＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝eq \f(p,y0).
2.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2).
3.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1；双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).
【方法技巧】
1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.
2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
3.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
4.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；
②|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).
5.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求的方法.
6.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为x＝ty＋m避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为y＝kx＋b的形式；若包含平行于坐标轴的直线，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.
二、【题型归类】
【题型一】直线与椭圆的位置关系
【典例1】（2023·河南·校联考模拟预测）过椭圆上任意一点作直线
(1)证明:;
(2)若为坐标原点，线段的中点为，过作的平行线与交于两点，求面积的最大值.
【典例2】（2021·北京·统考高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
【典例3】（2022·北京·统考高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【题型二】椭圆的弦长、焦点弦
【典例1】（2023·天津·统考高考真题）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【典例2】（2021上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知椭圆，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A､B两点，求△ABF1的面积的最大值．
【典例3】（2023·北京顺义·统考一模）已知椭圆过点和，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值．
【题型三】椭圆的中点弦
【典例1】（2022·辽宁·东北育才学校校联考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；
(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.
【典例2】（2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【典例3】（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知椭圆的离心率为e，且过，两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
【题型四】直线与双曲线的位置关系
【典例1】（2023·江苏·统考一模）已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线的方程
(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.
【典例2】（2023·全国·校联考三模）已知双曲线上的所有点构成集合和集合，坐标平面内任意点，直线称为点关于双曲线的“相关直线”．
(1)若，判断直线与双曲线的位置关系，并说明理由；
(2)若直线与双曲线的一支有2个交点，求证：；
(3)若点，点在直线上，直线交双曲线于，，求证：．
【典例3】（2022·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.
(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.
【题型五】双曲线的弦长、焦点弦
【典例1】（2022·全国·统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【典例2】（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且.
(1)求双曲线及其渐近线的方程；
(2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求.
【典例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线E实轴长为2，过点且斜率为的直线交双曲线C的右支不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
【题型六】双曲线的中点弦
【典例1】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
【典例2】（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）双曲线具有这样的性质：若为双曲线上任意一点，则双曲线在点P处的切线方程为.已知双曲线的离心率为，并且经过.
(1)求双曲线E的方程；
(2)若直线l经过点，与双曲线右支交于P，Q两点（其中点P在第一象限），点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N.证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN.
【典例3】（2021上·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；
(2)若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
【题型七】直线与抛物线的位置关系
【典例1】（2023·四川广安·统考模拟预测）已知抛物线，点在抛物线C上，过点M作抛物线C的切线，交x轴于点P，点O为坐标原点．
(1)求P点的坐标；
(2)点E的坐标为，经过点的直线交抛物线于A，B两点，交线段OM于点Q，记EA，EB，EQ的斜率分别为，，，是否存在常数使得．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【典例2】（2023·广东广州·统考一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛物线的焦点重合.
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点和点.且，证明：点在一条定曲线上.
【题型八】抛物线的弦长与焦点弦
【典例1】（2023·全国·统考高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【典例2】（2023·浙江·校考模拟预测）已知抛物线：，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．
(1)求抛物线方程；
(2)是否存在直线，使得是与的等比中项，若存在，请求出AB的方程及；若不存在，请说明理由．
【典例3】（2023·甘肃·三模）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，当直线过点时，点到的准线的距离之和为，线段的中点到轴的距离是4.
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，设抛物线在点处的切线交于点，求证：.
【题型九】抛物线的中点弦
【典例1】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
【典例2】（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．
(1)求线段中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【典例3】（2023·云南红河·校考模拟预测）已知抛物线，过点的直线l交C于M，N两点．
(1)当点A平分线段时，求直线l的方程；
(2)已知点，过点的直线交C于P，Q两点，证明：．
三、【培优训练】
【训练一】（多选）（2023·湖北·统考二模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点D，F为AD的中点，且，点M是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N，抛物线在A，B两点处的切线交于点T，则下列说法正确的有（ ）
A．抛物线焦点F的坐标为
B．过点N作抛物线的切线，则切点坐标为
C．在△FMN中，若，，则t的最小值为
D．若抛物线在点M处的切线分别交BT，AT于H，G两点，则
【训练二】（多选）（2023·浙江·统考二模）抛物线的焦点为，准线交轴于点，点为准线上异于的一点，直线上的两点，满足（为坐标原点），分别过，作轴平行线交抛物线于，两点，则（ ）
A．B．
C．直线过定点D．五边形的周长
【训练三】（2023下·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.
(1)若点M的坐标为，求的面积；
(2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；
(3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.
【训练四】（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.
【训练五】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围.
【训练六】（2022·浙江·模拟预测）已知直线l：为双曲线C：的一条渐近线，且双曲线C经过点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设A，B是双曲线右支上两点，若直线l上存在点P，使得为正三角形，求直线AB的斜率的取值范围.
四、【强化测试】
【单选题】
1. （2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上任意一点，点P到的距离与点P到直线的距离的比值为，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的标准方程为
B．直线l：与椭圆C相切
C．的内切圆面积的最大值为
D．的取值范围是
2. （2023·四川凉山·统考一模）已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为2，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3. （2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4. （2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ）
A．B．C．D．
5. （2023上·吉林四平·高二统考期中）已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A．B．2C．D．4
6. （2024·陕西宝鸡·校考一模）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A．B．
C．D．
7. （2023·海南·统考模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ）
A．2B．4C．5D．8
8. （2023·四川·校联考一模）双曲线C：的离心率为，直线与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则（ ）
A．或0B．－2C．或0D．3
【多选题】
9. （2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（ ）
A．直线的方程为B．
C．椭圆的标准方程为D．椭圆的离心率为
10. （2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（ ）
A．B．
C．D．
11. （2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）如图过抛物线：的焦点作两条互相垂直的直线，，与相交于，两点，与相交于，，、分别是弦和弦的中点，则下列说法中正确的是（ ）

A．若点，则周长的最小值为
B．的最小值为
C．最小时，
D．和面积之和的最小值为8
12. （2023·河北张家口·统考三模）已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线与椭圆相交
B．直线与圆相交
C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D．若两直线的斜率之积为，则
【填空题】
13. （2023·全国·模拟预测）已知曲线C，直线,点，，以曲线C上任意一点M为圆心、MF为半径的圆与直线l相切，过点的直线与曲线C交于A，B两点，则的最大值为 ．
14. （2023·河南开封·统考模拟预测）已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为 ．
15. （2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知椭圆，的上顶点为A，两个焦点分别为，离心率为，过且斜率为的直线与交于两点，四边形的面积为，则四边形的周长是 ．
16. （2023·浙江宁波·统考一模）已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线长度的最大值是 .
【解答题】
17. （2023·陕西西安·校联考模拟预测）椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.
18. （2023·吉林长春·东北师大附中校考二模）已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，设过点的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，当时，求直线的斜率.
19. （2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知点均在上，且，直线与的另一个交点分别为，且，求直线的斜率
20. （2022上·山东青岛·高三统考开学考试）在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)不过圆心且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B
（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
21. （2022·上海静安·统考一模）设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点．
（1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：；
（2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积．
22. （2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点．
从条件①：线段的中点为上任意一点都满足；
条件②：且；
条件③：的最小值为．
在这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，若抛物线上始终存在一点，使，求的坐标．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
专题55 直线与圆锥曲线
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：直线与椭圆的位置关系
题型二：椭圆的弦长、焦点弦
题型三：椭圆的中点弦
题型四：直线与双曲线的位置关系
题型五：双曲线的弦长、焦点弦
题型六：双曲线的中点弦
题型七：直线与抛物线的位置关系
题型八：抛物线的弦长与焦点弦
题型九：抛物线的中点弦
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ