新高考数学一轮复习题型归纳与强化测试专题51直线与圆、圆与圆的位置关系（2份，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【考点预测】
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)，
则圆心距d＝|C1C2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
则两圆C1，C2有以下位置关系：
【常用结论】
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（xM＋xN）2－4xM·xN).
【方法技巧】
1.判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2.弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
3.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
4.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
5.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
二、【题型归类】
【题型一】直线与圆的位置关系
【典例1】（多选）已知曲线C的方程为，圆，则（ ）
A．C表示一条直线
B．当时，C与圆M有3个公共点
C．当时，存在圆N，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点
D．当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是
【典例2】（多选）已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（ ）
A．与关于直线对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线或直线上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
【典例3】（多选）已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A．存在，使得直线与圆相切
B．若直线与圆交于两点，则的最小值为
C．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为
D．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
【题型二】圆的切线方程
【典例1】（多选）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【典例2】（多选）已知圆，点，点在圆上，为坐标原点，则（ ）
A．线段长的最大值为6B．当直线与圆相切时，
C．以线段为直径的圆不可能过原点D．的最大值为20
【典例3】（多选）已知圆，下列说法正确的有（ ）
A．对于，直线与圆都有两个公共点
B．圆与动圆有四条公切线的充要条件是
C．过直线上任意一点作圆的两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为4
D．圆上存在三点到直线距离均为1
【题型三】圆的弦长与弦心距
【典例1】（多选）若直线与圆C：相交于A，B两点，则的长度可能等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例2】（多选）已知圆M的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（ ）
A．过点P的任意直线与圆M都相交
B．若圆M与直线无交点，则
C．圆M面积最小时的圆与圆Q：有三条公切线
D．无论a为何值，圆M都有弦长为的弦，且被点P平分
【典例3】（多选）已知圆，直线，则（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆可能相离
C．圆被轴截得的弦长为
D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
【题型四】直线与圆的应用
【典例1】（多选）若圆：与圆：的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．直线AB的方程为
C．AB中点的轨迹方程为
D．圆与圆公共部分的面积为
【典例2】（多选）点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（ ）
A．存在，，，使得
B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为
C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点
D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是
【典例3】（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
【题型五】圆与圆的位置关系
【典例1】“”是“圆：与圆：有公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【典例2】在圆上总存在点，使得过点能作椭圆的两条相互垂直的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】已知点为圆上一点，点，，，若对任意的点，总存在点，，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】圆的公共弦
【典例1】过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例3】已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB距离的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【题型七】圆的公切线
【典例1】下列方程中，圆与圆的公切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2】在平面直角坐标系中，已知两点，到直线的距离分别是1与4，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【典例3】已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
三、【培优训练】
【训练一】已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当取到最小值时，点P坐标为 .
【训练二】已知A，B分别为圆与圆上的点，O为坐标原点，则面积的最大值为 .
【训练三】已知平面直角坐标系中两点、，为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为
【训练四】已知曲线的方程是，给出下列四个结论：
①曲线与两坐标轴有公共点；
②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点，在曲线上，则的最大值是；
④曲线围成图形的面积大小在区间内．
所有正确结论的序号是 ．
【训练五】过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，与相交于点A，B，与相交于点C，D．分别以为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦记为 l ，则点M到直线 l 的距离的最小值为 ．
【训练六】在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为
四、【强化测试】
一、单选题
1．已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
2．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
4．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（ ）
A．8x－6y－21＝0
B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0
D．6x－8y－21＝0
5．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（ ）
A．1B．5C．1或5D．不存在
6．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）
A．6.33平方寸B．6.35平方寸
C．6.37平方寸D．6.39平方寸
7．圆与圆的公共弦长为（ ）
A．6B．C．4D．
8．已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条B．2条C．1条D．0条
二、多选题
9．已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
10．已知圆与直线，则（ ）
A．直线与圆必相交B．直线与圆不一定相交
C．直线与圆相交所截的最短弦长为D．直线与圆可以相切
11．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若分别是圆上的动点，则
12．已知点圆：，圆：上，则（ ）
A．圆与圆相交
B．圆与圆有三条公切线
C．若为定值，点P的轨迹为一条直线
D．点P为圆上一点，点Q为圆一点，则为定值
三、填空题
13．过点且与圆：相切的直线方程为
14．已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 .
15．过作圆的两条切线，切点为，则过两点的直线方程为 ．
16．两圆和恰有三条公切线，则的值为 ．
四、解答题
17．已知圆.
(1)若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若圆与圆C相切，求实数m的值.
18．已知圆
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．
19．某风暴中心位于某海礁处，距离风暴中心正西方向的处有一艘轮船，正以北偏东（为锐角）角方向航行，速度.已知距离风暴中心以内的水域受其影响.
（1）若轮船不被风暴影响，求角的正切值的最大值？
（2）若轮船航行方向为北偏东，求轮船被风暴影响持续多少时间？
20．已知圆：和：
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
21．已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
22．已知两圆和.求：
(1)取何值时两圆外切？
(2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
(3)求时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
专题51直线与圆、圆与圆的位置关系
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：直线与圆的位置关系
题型二：圆的切线方程
题型三：圆的弦长与弦心距
题型四：直线与圆的应用
题型五：圆与圆的位置关系
题型六：圆的公共弦
题型七：圆的公切线
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
位置关系
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d＝r
dr1＋r2
d