新高考数学一轮复习方法技巧与题型归纳训练 专题36 直线与圆、圆与圆的位置关系（2份，原卷版+解析版）

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一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二．直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
三．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【方法技巧与总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
【题型归纳目录】
题型一：直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题）
题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题
题型三：直线与圆的相离关系
题型四：圆与圆的位置关系
题型五：两圆的公共弦问题
【典例例题】
题型一：直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题）
例1．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（ ）
A．－2B．2C．D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A．B．C．D．
例3．（多选题）（2022·山东青岛·二模）已知，则下述正确的是（ ）
A．圆C的半径B．点在圆C的内部
C．直线与圆C相切D．圆与圆C相交
例4．（多选题）（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与圆相离
B．若直线是圆的一条对称轴，则
C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为
D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为
例5．（多选题）（2022·江苏·高二单元测试）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）
A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上
B．存在圆经过点（3，0）
C．存在定直线始终与圆相切
D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则
例6．（多选题）（2022·河北沧州·二模）已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则直线恒过定点
B．若，则圆可能过点
C．若，则圆关于直线对称
D．若，则直线与圆相交所得的弦长为2
例7．（多选题）（2022·河北·高三阶段练习）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形面积的最小值为4
B．当直线的方程为时，最小
C．已知圆上有且仅有两点到直线l的距离相等且为d，则
D．若动直线，且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线纵截距的取值范围为
例8．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知圆的方程为，则（ ）
A．若过点的直线被圆截得的弦长为，则该直线方程为
B．圆上的点到直线的最大距离为
C．在圆上存在点，使得到点的距离为
D．圆上的任一点到两个定点、的距离之比为
例9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）（多选）已知圆，直线．则以下几个命题正确的有（ ）
A．直线恒过定点B．圆被轴截得的弦长为
C．直线与圆恒相交D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为
例10．（多选题）（2022·辽宁·一模）已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AE、BF．则下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程为：
B．弦AE的长度的最大值为
C．四边形ABEF面积的最大值为
D．该线段AE、BF的中点分别为M、N，直线MN恒过定点
例11．（2022·全国·高二专题练习）若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则的取值范围__．
例12．（2022·山东烟台·三模）已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________．
例13．（2022·河南·高三阶段练习（文））直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
例14．（2022·天津·高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则_____．
例15．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为__________．
例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_____．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知直线：和圆：．
（1）求圆的圆心、半径
（2）求证：无论为何值，直线总与圆有交点；
（3）为何值时，直线被圆截得的弦最短？求出此时的弦长．
例18．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______．
【方法技巧与总结】
（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长、弦心距和半径之间形成的数量关系．
（2）弦长问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：．
题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题
例19．（2022·湖北·模拟预测）已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________．
例20．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）过点与圆相切的直线是_________．
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________．
例22．（2022·广东·高三开学考试）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______．
例23．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知直线，若P为l上的动点，过点P作的切线，切点为A、B，当最小时，直线的方程为__________．
例25．（2022·全国·高三专题练习）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________．
例26．（多选题）（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点到的最大距离为
B．若被圆所截得的弦长最大，则
C．若为圆的切线，则的取值范围为
D．若点也在圆上，则到的距离的最大值为
例27．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（ ）．
A．B．C．D．2
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知是半径为1的动圆上一点，为圆上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，，则当取最大值时，△的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例29．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知直线，过直线上任意一点M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．四边形MACB面积的最小值为B．最大度数为60°
C．直线AB过定点D．的最小值为
【方法技巧与总结】
（1）圆的切线方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
题型三：直线与圆的相离关系
例30．（2022•荔湾区校级模拟）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
A．B．C．D．
例31．已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为 ．
例32．（2022•洛阳二模）已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为 ．
例33．（2022春•个旧市校级期末）已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足．
（1）求实数、间满足的等量关系；
（2）求线段长的最小值．
例34．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知点在圆上，点，，则（ ）
A．点到直线的距离最大值为
B．满足的点有3个
C．过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为
D．的最小值是
【方法技巧与总结】
关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．
题型四：圆与圆的位置关系
例35．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________．
例36．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
例37．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（文））若圆与圆外切，则实数的值是（ ）
A．B．C．24D．16
例38．（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．外切D．相离
例39．（2022·陕西·西安中学一模（理））在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
例40．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆至少有三条公切线，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例41．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知圆：，圆：（且），则圆与圆的公切线有（ ）
A．4条B．1条C．2条D．3条
例42．（2022·山东聊城·二模）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
例43．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例44．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例45．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（ ）
A．3B．8C．4D．9
例46．（2022·河南·模拟预测（文））下列方程中，圆与圆的公切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；
题型五：两圆的公共弦问题
例47．（2022·全国·高三专题练习）设点P为直线上的点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例48．（2022·河南·二模（文））已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
例49．（2022·浙江省普陀中学高三阶段练习）圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
例50．（2022·全国·高三专题练习）圆与圆公共弦所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
例51．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆交于不同的，两点，下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
例52．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆相交于点，，则四边形的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【方法技巧与总结】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【过关测试】
一、单选题
1．不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知圆O：，已知直线l：与圆O的交点分别M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ）
A．B．C．D．
3．过点的直线与圆：交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．若直线与圆交于不同的两点A、B，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．若点到直线的距离分别为1和4，则这样的直线共有（ ）条
A．4B．3C．2D．1
6．已知圆截直线所得的弦长为，则圆C与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．相交D．内切
7．设，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．点M为直线上一点，过点M作圆O：的切线MP，MQ，切点分别为P，Q，当四边形MPOQ的面积最小时，直线PQ的方程为（ ）
A．x＋y－2＝0B．
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
二、多选题
9．已知圆和直线，则（ ）
A．直线与圆的位置关系无法判定
B．当时，圆上的点到直线的最远距离为
C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，
D．如果直线与圆相交于两点，则弦的中点的轨迹是一个圆
10．已知圆C：，直线l过点，若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆，则下列说法正确的有（ ）
A．若直线l与圆C相切，则直线l的方程为3x＋4y－10＝0
B．若直线l与圆C交于A，B两点，且ABC的面积为2，则直线l的方程为x＋y－2＝0或
7x＋y＋10＝0
C．若过点的直线与圆C交于M，N两点，则当CMN面积最大时，直线的斜率为1或－1
D．若Q是x轴上的动点，QR，QS分别切圆于R，S两点，则直线RS恒过一个定点
11．已知点是圆上的任意一点，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与圆的位置关系只有相交和相切两种
B．圆的圆心到直线距离的最大值为
C．点到直线距离的最小值为
D．点可能在圆上
12．若实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．x的最小值是4
B．x的最大值是20
C．若关于y的方程有一解，则x的取值范围为
D．若关于y的方程有两解，则x的取值范围为
三、填空题
13．已知直线与圆O：相交于A，B两点（O为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数a的值为___________．
14．设与相交于两点，则________．
15．已知点，，动点满足，则点M到直线的距离可以是___________．（写出一个符合题意的整数值）
16．已知点为圆与圆公共点，圆+1，圆+1 ，若，则点与直线：上任意一点之间的距离的最小值为_________．
四、解答题
17．试运用数形结合解下列问题：求函数的值域．
18．已知圆C经过点，圆C的圆心在圆的内部，且直线被圆C所截得的弦长为．点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线与圆C交于A1，A2两点，求．
19．已知圆C：．
（1）求圆心C的坐标及半径长；
（2）求直线：被圆C所截得的弦AB的长．
20．已知动圆E过定点，且y轴被圆E所截得的弦长恒为4．
（1）求圆心E的轨迹方程．
（2）过点P的直线l与E的轨迹交于A，B两点，，证明：点P到直线AM，BM的距离相等．
21．已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
22．已知动圆M经过定点，且与圆相内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设点T在上，过点T的两条直线分别交轨迹C于A，B和P，Q两点，且，求直线AB的斜率和直线PQ的斜率之和．
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0