新高考数学二轮复习考点专题突破练习第27讲 隐圆问题（2份，原卷版+解析版）

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例1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为
A．B．C．D．
【解析】解：设，，所以，由，
所以，因为且，所以，
整理可得，又动点的轨迹是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因为，所以的最小值，
当在位置或时等号成立．
故选：．
例2．中，所在平面内存在点使得，则面积最大值为
A．B．C．D．
【解析】解：以的中点为坐标原点，所在直线为轴，
建立直角坐标系，
设，，，
则，
设，由，可得
，
可得，，
即有点既在为圆心，半径为的圆上，
也在为圆心，1为半径的圆上，
可得，
由两边平方化简可得，
则的面积为，
由，可得，取得最大值，且为．
故选：．
例3．已知平面向量，，，满足，，，，，则的最小值为
A．1B．C．3D．
【解析】解：，，，，
，，，
对任意都恒成立，
，，
，．
不妨设，，则，．
又，，．
当时，设，
，，，
，
，
对应的点的轨迹是以，为圆心，以2为半径的圆，
可以看成是到的距离，
的最小值为，
当时，同理可得的最小值为1．
故选：．
例4．已知，是圆上的动点，，是直线上的动点，则的最小值为 ．
【解析】解：根据题意，圆的圆心为，半径，
，是圆上的动点且，则，即，
设的中点为，则，，
则有，
分析可得，
当最小时，最小，即取得最小值，
又由的最小值为到直线的距离，则的最小时为，
则；
故答案为：．
例5．已知是边长为3的等边三角形，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则的最小值是 ．
【解析】解：如图建立平面直角坐标系，设，则，，，，；
．
则．
故答案为：
例6．如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．
（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；
（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．
【解析】解：（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为2．
因为，，，所以直线的斜率为，
设直线的方程为，
则圆心到直线的距离为．
因为，
而，所以，
解得或，
故直线的方程为或．
（2）假设圆上存在点，设，则，
，
即，即，
因为，
所以圆与圆相交，
所以点的个数为2．
例7．如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，
（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；
（2）若圆上存在两个点，使得，求的取值范围．
【解析】解：（1）根据题意，圆的标准方程为，所以圆心，半径为2．
因为，，，直线的方程为，且，
设直线的方程为，
又由，圆心到直线的距离
则有，即，解可得或，
故直线的方程为或；
（2）根据题意，设，
若，则，
变形可得：，即，
则的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
若圆上存在两个点，使得，则圆与圆相交，
两圆的圆心距，
则有，
解可得：，
故的取值范围为，
【同步练习】
一．选择题
1．已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是
A．1B．C．D．2
【解析】解：根据题意，设，即的坐标为，
则，，
若，则，变形可得，
则点在圆上，其圆心为，，半径为，
则点到原点距离的最大值为，
故选：．
2．已知，为圆上的两动点，，点是圆上的一点，则的最大值是
A．10B．12C．14D．16
【解析】解：设是的中点，则，于是．
由于，则由垂径定理：，
于是在以为圆心，1为半径的圆上，
又，
故，因此．
故选：．
3．已知向量，，为平面向量，，且使得与所成夹角为，则的最大值为
A．B．C．1D．
【解析】解：设，，，
平面向量，，满足，
，，
，，
设，，
，，，
与的夹角为，即为与的夹角为，
可得，
则四点、、、共圆，
设圆心为，在圆上运动，
可得的横坐标为，
由，可得，
解得，由，可得，，
即有，
则的最大值为．
故选：．
4．已知圆，，为圆上的两个动点，且，为弦的中点，，，，．当，在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的取值范围为
A．B．，，
C．D．，，
【解析】解：连接，由题意可得，所以点在以原点为圆心，以2为半径的圆上，设的中点为，则，，
由题意可得，因为当，在圆上运动时，始终有为锐角，
所以以原点为圆心，以2为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相离，即，解得：或，
故选：．
5．已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，，且对任意的，2及，2，，，，，则最大值为
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：设，，，
对任意的，2及，2，，，，，
或，
或，
的最大值为四个圆的交点个数总和，如图所示，共有6个．
故选：．
二．多选题
6．已知是平面内两两不相等的向量，满足，且（其中，2，，2，，，则实数的值可能为
A．2B．4C．8D．16
【解析】解：根据题意，如图，设，，
由于，且，
分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的的最大值为6．
故选：．
三．填空题
7．已知，是圆上的动点，，是圆上的动点，则的取值范围是 ．
【解析】解：如图示：
设的中点为，的中点为，
则，
所以，
，，，
，故的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，
是圆上的动点，
，，
故．
故答案为：，．
8．为等边内一动点，且，则的最小值为 ．
【解析】解：如图所示，
不妨设等边的边长为2，
为内一动点，，
点在弦所对的弓形上，．
由图可知：当点取与轴的交点时，，
可得：，，，，．
点所在圆的方程为：．
设参数方程为：，
，
令，化为：，
解得，
，
故最小值为，
故答案为：．
9．若满足条件，，则面积的最大值为 ．
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，
设，由，
得，
化简可得；
则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
且去掉点，和，；
所以的面积的最大值为．
故答案为：．
10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点、的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若已知圆和点，，点，为圆上的动点，则的最小值为 ．
【解析】解：设，令，则有，
由题意可知，圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且，
设点，则有，
整理可得，
比较两个方程可得，，
故，，点，
所以当点位于图中，的位置时，的值最小为．
故答案为：．
11．在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围为 ．
【解析】解：在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，点，且，如图所示当时，取得最小值或最大值．由，可得，或，，
由，可得或
解得，
．
故答案为：，．
12．在平面直角坐标系中，已知，为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是 ．
【解析】解：设的中点为，因为，
所以，化简得，
即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
所以，
所以的取值范围是，
从而的取值范围是．
故答案为：．
13．在平面直角坐标系中，已知点，，，点满足，且点到直线的最小距离为，则实数的值是 ．
【解析】解：设，，，，，
，，，即，
，则点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
又点到直线的最小距离为，
即，
，解得：，
，．
故答案为：1．
14．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，，则的面积最大值为 ．
【解析】解：，，，即，
根据阿波罗尼斯圆的性质，点的轨迹为圆（去掉两个点），
建立如图所示的直角坐标系：
，
设，则，
化为：，
点的轨迹为以为圆心，4为半径的圆，
去掉两个点：，，
时，的面积最大，
故此时，
故答案为：18．
15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．
（1）若定点为，，写出的一个阿波罗尼斯圆的标准方程 （写对一个即可） ；
（2）中，，，则当面积的最大值为时， ．
【解析】解：（1）设，由题意可知，
即有，
，
整理得，
或，
即有，
，
整理得，
故其标准方程为或，即为点的轨迹方程；
（2）如图，不妨设，，，
则，可化为，
整理可得，
即，圆心，，
由图可知当点到轴）距离最大时，的面积最大，
即当点到的距离等于半径时，面积最大，
面积的最大值是，解得，
故有，解得舍去），
故答案为：（填一个即可），．
16．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点、，动点满足（其中是正常数，且，则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点、，是圆上的动点，则的最小值为 ．
【解析】解：如图，在轴上取点，
，，，，
（当且仅当为与圆交点时取等号），
．
故答案为：．
17．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点到两定点，的距离之满足且为常数，则点的轨迹为圆．已知圆和，若定点，和常数满足：对圆上任意一点，都有，则 2 ．
【解析】解：设点，由，得，整理得
，
所以解得，
如右图，当或时，．
故答案为：2；．
18．平面向量，，，满足，，，则的最小值为 ．
【解析】解：如图，，
，又，
，设，，则，
又，
，设，，，
，，
，，三点共线，
即点在直线上，
又，，，
是边长为2的等边三角形，
又，，
设，，则，
，，
在以为圆心，为半径的圆上，
，
而点在直线上，又在以为圆心，为半径的圆上，
的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，
过作，垂足点为，
又，，
圆心到直线的距离，
的最小值为，
故的最小值为．
故答案为：．
19．在平面直角坐标系中，已知圆及点，，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是 ．
【解析】解：设，，则，①
又，，且，
，
整理得：，②
若，存在，则圆①②有公共点，
则，解得．
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
四．解答题
20．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）向量，，且；
，
即；
由正弦定理得，，
即，
，
化简得，
即；
又，
；
（Ⅱ）中，，，
设外接圆的直径为，
由正弦定理得，
；
，
，
，
即的取值范围是，．