湖北省随州市部分高中2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 Word版含解析

这是一份湖北省随州市部分高中2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题 Word版含解析，共13页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交.等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 a，b 为不相等的实数，记 ，则 M 与 N 的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用作差法即可比较 M 与 N 的大小﹒
【详解】因为 ，
又 ，所以 ，即 ．
故选：A
2. 关于 的方程 的两个不等根 都在 之内，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据根的分布可得不等式组，解不等式组可得答案.
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【详解】∵方程有两个不相等的实数根且两个不等根 都在 之内，
又由二次方程根的判别式有，
且 .
故选：D.
3. 已知函数 的定义域为 ，设甲： 在 上单调递增，乙： 满足 ，则甲
是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用函数的单调性和函数的值的关系，利用充分条件和必要条件的应用求出结果．
【详解】由题意，函数 的定义域为 ，当 在 上单调递增，
则 满足 成立，当 满足 成立，
在 上不一定单调递增，
故甲是乙的充分不必要条件．
故选：A．
4. 若函数 （ ，且 ）满足 ，则 的单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间.
【详解】因为 ，
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所以 ，即 ，解得 或 （舍），
所以 ，
令 ，则 ，
由于 在 上单调递减，在 上单调递增，
由指数函数知， 在定义域上单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
故选：B.
5. 已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数研究函数单调性，作出函数 的图象，结合图象即可得解.
【详解】依题意可得， 的图象与直线 有 3 个公共点，
因为函数
所以
当 或 时， ；当 或 时， .
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所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
故 的极小值为 ，极大值为 .
作出 的大致图象，如图所示.
由图可知，实数 m 的取值范围是 .
故选：A.
6. 已知点 是角 终边上一点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦函数的定义，结合特殊角的余弦值进行求解即可.
【详解】依题意点 的坐标为 ，
故选：
7. 在 中， ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题得 ，代入已知条件化简即得解.
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【详解】由题得
所以 ,
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：解三角形时，遇到 ,要联想到和角的正切公式
求解.
8. 已知函数 为偶函数，则 （ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数为 上的偶函数，取 化简得 ，即得 的值.
【详解】因 的定义域为 ，且为偶函数，
则 ，即 ，可得 ，即得 .
因 则得 ，
当 时， 为偶函数，满足题意.
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知非空集合 满足：① ，②若 ，则 .则集合 可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系以及子集的定义求解即可.
【详解】由题意可知 且 ，而 或 2 与 4 同时出现，所以 且 ，所以满足条件的
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非空集合 有 ，
故选：AC
10. 下列函数中，值域为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据二次函数、反比例函数和指数函数的性质逐一判断可得.
【详解】对 A， 的值域为 ，A 错误；
对 B，y= 的值域为 ，B 错误；
对 C， 的值域为 ，C 正确；
对 D， 的值域为 ，D 正确.
故选：CD.
11. 下列函数中，以 为周期的函数有（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用三角函数的性质以及周期公式逐一计算判断即可.
【详解】对于 A，因为 ，所以最小正周期为 ， 故 A 正确；
对于 B，因为 ，所以函数的最小正周期为 ，故 B 不正确；
对于 C，因为 ，所以函数的最小周期函数为 ，
所以 也是函数 的周期，故 C 正确；
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对于 D，因为 ，所以函数的最小周期函数为 ，
所以 也是函数 的周期，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分.
12. 若命题“ 是假命题”，则实数 的取值范围是___________.
【答案】 ## ##
【解析】
【分析】等价于 ，解 即得解.
【详解】解：因为命题“ 是假命题”，
所以 ，
所以 .
故答案为：
13. 已知函数 及其导函数 定义域均为 R，记函数 ，若函数 的图象关于点
中心对称， 为偶函数，且 则 ______.
【答案】678
【解析】
【 分 析 】 由 的 图 象 关 于 点 中 心 对 称 结 合 导 数 可 知 ， 再 结 合
为偶函数可知 的一个周期为 3， .又注意到 即可得
答案.
【详解】因 的图象关于点 中心对称，则
.
因 为偶函数，根据函数的伸缩变化可知 也是偶函数，
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所以 .
则 ，即 的一个周期为 3.令 ，由 可得
.
注意到 ，则
.
故答案为：678
14. 函数 ， 的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】由 的范围求出 的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 75 分.
15. 已知 a，b，c 都是非负实数，求证: + + .
【答案】证明见解析
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【解析】
【分析】利用基本不等式证明.
【详解】因为 ,
所以 ,即 ≥ ,当且仅当 时取得等号,
则有 ，
同理得 ≥ ， ≥ ，
相加可得 + + ≥ + + ，当且仅
当 时等号成立.
16. 已知二次函数 ．
（1）若 在区间 上是减函数，求 a 的取值范围．
（2）若 ，设函数 在区间 的最小值为 ，求 的表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分 和 两种情况讨论，结合而二次函数性质分析求解；
（2）分 、 和 三种情况，结合二次函数性质分析求解.
【小问 1 详解】
由题意可知： ，且二次函数 的对称轴为 ，
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若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，符合题意；
综上所述：a 的取值范围 .
【小问 2 详解】
因为 ，则 开口向上，且 的对称轴为 ，
若 ，即 时，则 在区间 上单调递增，
可得 ；
若 ，即 时，则 在区间 上单调递减，
可得 ；
若 ，即 时，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
可得 ；
综上所述： .
17. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定
成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本为 万元．在年产量不足 8 万件时，
万元；在年产量不小于 8 万件时， 万元，每件产品售价为 5 元．通
过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
（1）写出年利润 万元关于年产量 x 万件 函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本
)
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
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【答案】（1）
（2）年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是 15 万元
【解析】
【分析】（1）根据已知，分 以及 ，分别求解，即可得出函数解析式；
（2）分为 以及 两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案.
【小问 1 详解】
因 每件产品售价为 5 元，则 x（万件）商品销售收入为 5x 万元，依题意得：
当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
【小问 2 详解】
当 时， ，
当 时， 取得最大值 9；
当 时， ，
此时，当 即 时， 取得最大值 .
综上所述，年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是 15 万元.
18. 已知扇形的圆心角是 ，半径为 ，弧长为 .
（1）若 ， ，求扇形的弧长 .
（2）若扇形的周长是 20 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
（3）若 ，求扇形的弧所在的弓形的面积.
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【答案】（1）
（2） 时，面积最大
（3） cm2.
【解析】
【分析】（1）直接利用弧长公式即可；
（2）由扇形的周长得 ，表示出扇形的面积，求最值即可；
（3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积.
小问 1 详解】
由 ，则扇形的弧长 (cm).
【小问 2 详解】
由已知得， ，则 ，
∴
当且仅当 ，即 时扇形的面积最大，
此时圆心角 .
【小问 3 详解】
设弓形面积为 ，由 ，得 ，
所以 .
19. 设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
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【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
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