2025年上海市宝山区中考数学一模试卷

这是一份2025年上海市宝山区中考数学一模试卷，共33页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在比例尺为1：500的图纸上，量得一座塔的高是2.2厘米，那么它实际的高度是（ ）
A．11米B．110米C．22米D．220米
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA=12，那么csB的值是（ ）
A．32B．12C．33D．3
3．（4分）下列图形，相似的一组是（ ）
A．两个直角三角形
B．两个等腰三角形
C．有一个内角为80°的两个菱形
D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形
4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，如果点(13，a)、(32，b)、(2，c)都在抛物线y=23x2上，那么（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c
5．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，∠B＝60°，设AB→=a→，AD→=b→，用向量a→、b→的线性组合表示向量DC→，结果正确的是（ ）
A．DC→=a→−b→B．DC→=a→+b→C．DC=a⃐−12b→D．DC→=a→+12b→
6．（4分）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝2AC，延长AC至点D，使AD＝AB，以CD为边作正方形CDEF，联结BD、BE，BD交EF于点G．某同学得到以下两个结论：
①G是线段EF的黄金分割点；②S△BGES△BDE=S△BGFS△DEG．
关于结论①和②，下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确
C．①和②都错误D．①和②都正确
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）已知a3=b4=c5，那么2a+bc的值是 ．
8．（4分）计算：a→+13(b→−a→)= ．
9．（4分）计算：sin245°−2sin60°ct30°+sin30°= ．
10．（4分）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+m的图象开口向下，那么m的取值范围是 ．
11．（4分）如图，O是四边形ABCD内一点，点E、F、G、H分别在线段AO、BO、CO、DO上，如果EF∥AB，FG∥BC，GH∥CD，且EF＝2，AB＝5，AD＝6，那么EH的长是 ．
12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣1）2+2关于y轴对称的抛物线的表达式为 ．
13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝a（x﹣m）2+k先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是x＝﹣1，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AB、AC的中点，如果BC＝4，△ADE的面积是5，那么∠ACD的正切值是 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，tanB=34，D是斜边AB上任意一点，联结CD，点E、F分别是△ACD、△BCD的重心，那么四边形CEDF的面积是 ．
16．（4分）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（△ABC），已知∠ACB＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm．裁剪出的正方形CDEF的一个顶点是直角顶点C，其余三个顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，那么正方形的边长是 cm．
17．（4分）一个二次函数的图象经过点（t，0），则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数y＝a（x﹣3）（x+2）（a≠0），无论a取何值，这个函数的图象总经过点（3，0）和点（﹣2，0），所以3和﹣2是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”﹣1，那么这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可）
18．（4分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝4，∠B＝30°，D是边BC的中点，线段AB绕点D顺时针旋转得到对应线段A′B′，线段A′B′与边AC、BC分别交于点E、F．如果△EFC是直角三角形，那么AE的长是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含30°角的直角三角形，另一块是含45°角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形ABCD（如图），设AB＝a．
（1）用含a的代数式直接表示：AD＝ ．
（2）求∠BDC的正切值．
20．（10分）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形ABCD（如图1），AB＝4米，AD＝2米，斜坡AB的坡角为30°．计划将斜坡AB改造成坡比为1：2.5的斜坡AE（如图2所示），坡面的宽度AD不变．
（1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度；
（2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，n），B（5，n）是抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a＞0）上的两点．
（1）m＝ ；
（2）如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且CD＝4，四边形ABCD的面积是25，求这个抛物线的表达式．
22．（10分）如图，正方形ABCD的边长是3，点E、F分别在边AD、CD上，∠EBF＝45°，BE、BF分别与对角线AC交于点G、H．
（1）当∠ABE＝ °时，AG＝CH，先补全条件，再说明理由；
（2）如果CH=2，求BG的长．
23．（12分）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比，叫做这两个四边形的相似比．
【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如：
①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似；
②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似；
③相似四边形的面积的比等于相似比的平方．
……
【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明．
【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，已知矩形ABCD，E、F分别是边AD、AB上的点，AE=12AB，AF=12AD，联结BE、DF交于点G，试求S四边形AEGFS四边形CDGB的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m、m+1．
（1）联结AD、BD，求ct∠ODA﹣ct∠ODB的值（结果用含a的代数式表示）；
（2）如果y轴上存在点C，使得AC⊥BC，且AC＝BC，
①求抛物线的表达式；
②若AB=10，点E在y轴上，且△ADE与△ABC相似，求点E的坐标．
25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，点E、F分别在边AC、AB上（不与端点重合），BE⊥CF，垂足为点D．
（1）当CE＝1时，求AF的长；
（2）当BE＝CF时，求tan∠CBE值；
（3）联结EF，如果△AEF是直角三角形，求这时四边形BCEF的面积．
2025年上海市宝山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）在比例尺为1：500的图纸上，量得一座塔的高是2.2厘米，那么它实际的高度是（ ）
A．11米B．110米C．22米D．220米
【分析】比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可求解．
【解答】解：∵比例尺=图上距离实际距离，∴实际距离=图上距离比例尺=2.2×500＝1100（厘米），
1100厘米＝11米．
故选：A．
【点评】本题主要考查比例尺的应用，关键是根据比例尺的公式计算．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA=12，那么csB的值是（ ）
A．32B．12C．33D．3
【分析】根据互余两角三角函数的关系得出csB＝sinA即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴csB＝sinA=12．
故选：B．
【点评】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及互余两角三角函数的关系是正确解答的前提．
3．（4分）下列图形，相似的一组是（ ）
A．两个直角三角形
B．两个等腰三角形
C．有一个内角为80°的两个菱形
D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形
【分析】根据相似图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意；
B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；
C、有一个内角为80°的两个菱形对应边成比例，对应角相等，相似，符合题意；
D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的图形相似．
4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，如果点(13，a)、(32，b)、(2，c)都在抛物线y=23x2上，那么（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c
【分析】求出抛物线y=23x2的开口向上，对称轴为y轴，然后根据二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵抛物线y=23x2的开口向上，对称轴为y轴，
∴x＞0时，y随x的增大而增大，
∵点(13，a)、(32，b)、(2，c)都在抛物线y=23x2上，且13＜32＜2，
∴a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
5．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，∠B＝60°，设AB→=a→，AD→=b→，用向量a→、b→的线性组合表示向量DC→，结果正确的是（ ）
A．DC→=a→−b→B．DC→=a→+b→C．DC=a⃐−12b→D．DC→=a→+12b→
【分析】如图，过点A作AH∥CD交BC于点H．证明BH＝AB＝AD﹣CH，求出BC→，再根据DC→=DA→+AB→+BC→求解．
【解答】解：如图，过点A作AH∥CD交BC于点H．
在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵AH∥CD，
∴∠AHB＝∠C＝60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴AB＝BH，
∵AD∥CH，AH∥CD，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∴AD＝CH＝BH，
∴BC→=2b→，
∴DC→=DA→+AB→+BC→=−b→+a→+2b→=a→+b→．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量，梯形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
6．（4分）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝2AC，延长AC至点D，使AD＝AB，以CD为边作正方形CDEF，联结BD、BE，BD交EF于点G．某同学得到以下两个结论：
①G是线段EF的黄金分割点；②S△BGES△BDE=S△BGFS△DEG．
关于结论①和②，下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误B．①错误②正确
C．①和②都错误D．①和②都正确
【分析】①设AC＝a，则BC＝2a，进而得AD＝AB=5a，CD＝DE＝EF＝CF=(5−1)a，证明△BFG和△DEG相似得FGEG=BFDE=(3−5)a(5−1)a=5−12，然后根据黄金分割的定义可对结论①进行判断；
②根据FGEG=5−12，EF=(5−1)a得FG=(25−4)a，EG=(3−5)a，再分别求出S△BGE=(7−35)a2，S△BDE=(3−5)a2，S△BGF=(55−11)a2，S△DEG=(25−4)a2，由此得S△BGES△BDE=3−52，S△BGFS△DEG=3−52，据此可对结论②进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵在△ABC，∠ACB＝90°，BC＝2AC，
∴设AC＝a，则BC＝2a，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=5a，
∴AD＝AB=5a，
∴CD＝AD﹣AC=(5−1)a，
∵四边形CDEF正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF=(5−1)a，BC∥DE，
∴BF＝BC﹣CF=2a−(5−1)a=(3−5)a，
∵BC∥DE，
∴△BFG∽△DEG，
∴FGEG=BFDE，
∴FGEG=(3−5)a(5−1)a=5−12，
∴G是线段EF的黄金分割点，
故结论①正确；
②∵FGEG=5−12，
∴设FG=(5−1)k，EG＝2k，
∵FG+EG＝EF=(5−1)a，
∴（(5−1)k+2k=(5−1)a，
解得：k=(3−5)a2，
∴FG=(5−1)k=(25−4)a，EG＝2k=(3−5)a，
∴S△BGE=12EG•BF=12(3−5)a×(3−5)a=(7−35)a2，
S△BDE=12DC•CD=12(5−1)a×(5−1)a=（(3−5)a2，
∴S△BGES△BDE=(7−35)a2(3−5)a2=3−52，
又∵S△BGF=12FG•BF=12(25−4)a×(3−5)a=(55−11)a2，
S△DEG=12DE•EG=12(5−1)a×(3−5)a=(25−4)a2，
∴S△BGFS△DEG=（(55−11)a2(25−4)a2=3−52，
∴S△BGES△BDE=S△BGFS△DEG．
故结论②正确，
综上所述：结论①和②都正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，黄金分割的定义，熟练掌握正方形的性质，黄金分割的定义是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）已知a3=b4=c5，那么2a+bc的值是 2 ．
【分析】根据比例的基本性质，可分别设出a，b，c，再代入进行计算即可得出结果．
【解答】解：∵a3=b4=c5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴2a+bc=6k+4k5k=10k5k=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了比例的性质，关键是已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分．
8．（4分）计算：a→+13(b→−a→)= 23a→+13b→ ．
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【解答】解：原式=a→+13b→−13a→=23a→+13b→．
故答案为：23a→+13b→．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则．
9．（4分）计算：sin245°−2sin60°ct30°+sin30°= 0 ．
【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝（22）2−2×323+12
=12−1+12
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，熟练掌握该知识点是解题的关键．
10．（4分）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+m的图象开口向下，那么m的取值范围是 m＜1 ．
【分析】根据二次函数的图象，开口向下时，二次函数解析式的二次项系数小于0，得到结果．
【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2+m的图象开口向下，
∴m﹣1＜0，
∴m＜1．
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
11．（4分）如图，O是四边形ABCD内一点，点E、F、G、H分别在线段AO、BO、CO、DO上，如果EF∥AB，FG∥BC，GH∥CD，且EF＝2，AB＝5，AD＝6，那么EH的长是 125 ．
【分析】由EF∥AB，证明△OEF∽△OAB，得OEOA=OFOB=EFAB=25，由GH∥CD，FG∥BC，证明OHOD=OGOC=OFOB=OEOA=25，再证明△OEH∽△OAD，得EHAD=OEOA=25，求得EH=25AD=125，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵EF∥AB，且EF＝2，AB＝5，
∴△OEF∽△OAB，
∴OEOA=OFOB=EFAB=25，
∵GH∥CD，FG∥BC，
∴OHOD=OGOC=OFOB=OEOA=25，
∵OHOD=OEOA，且∠EOH＝∠AOD，AD＝6，
∴△OEH∽△OAD，
∴EHAD=OEOA=25，
∴EH=25AD=25×6=125，
∴故答案为：125．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，推导出OHOD=OEOA，进而证明△OEH∽△OAD是解题的关键．
12．（4分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣1）2+2关于y轴对称的抛物线的表达式为 y＝（x+1）2+2 ．
【分析】根据关于y轴对称的图象的特点即可得到结论．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点为（1，2），顶点关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，2），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝（x+1）2+2．
故答案为：y＝（x+1）2+2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟知关于y轴对称的图象的特点是解题的关键．
13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝a（x﹣m）2+k先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是x＝﹣1，那么原抛物线的顶点的横坐标是 2 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则求得新抛物线的解析式为y＝a（x﹣m+3）2+k+4，即可得出m﹣3＝﹣1，解得m＝2，从而求顶点的横坐标为2．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的原则，将抛物线y＝a（x﹣m）2+k先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的解析式为y＝a（x﹣m+3）2+k+4，
∵所得到的新抛物线的对称轴方程是x＝﹣1，
∴m﹣3＝﹣1，
∴m＝2，
∴抛物线y＝a（x﹣2）2+k的顶点的横坐标为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AB、AC的中点，如果BC＝4，△ADE的面积是5，那么∠ACD的正切值是 25 ．
【分析】根据三角形中位线定理得出DE的长，再结合△ADE的面积得出AE的长，进而得出AC的长，最后将∠ACD转化为∠A即可解决问题．
【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC．
又∵∠ACB＝90°，BC＝4，
∴∠AED＝90°，DE＝2，
∴DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠ACD＝∠A．
∵△ADE的面积是5，
∴12⋅AE⋅2=5，
则AE＝5，
∴AC＝2AE＝10．
在Rt△ABC中，
tanA=BCAC=410=25，
∴tan∠ACD＝tanA=25．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了解直角三角形、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线及三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理及正切的定义是解题的关键．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，tanB=34，D是斜边AB上任意一点，联结CD，点E、F分别是△ACD、△BCD的重心，那么四边形CEDF的面积是 8 ．
【分析】先求出BC的长，进而得出△ABC的面积，再分别连接AE，BF并延长，根据重心的性质得出它们与CD的交点为同一点，最后得出△CDE及△CDF的面积分别为△ACD和△BCD面积的13即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ACB中，
tanB=ACBC．
∵AC＝6，tanB=34，
∴BC＝8，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×6×8=24，
∴S△ACD+S△BCD＝24．
连接AE，BF并延长，与CD分别交于点M，N，
∵E，F分别为△ACD和△BCD的重心，
∴点M为CD中点，点N为CD中点，
∴M，N重合．
∵点E为△ACD的重心，
∴AE＝2EM，
∴S△ADE＝2S△DEM，S△ACE＝2S△CEM，
∴S△CDE=13S△ACD．
同理可得，S△CDF=13S△BCD，
∴S△CDE+S△CDF=13(S△ACD+S△BCD)=13×24=8，
即四边形CEDF的面积为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了三角形的重心、三角形的面积及解直角三角形，熟知三角形重心的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
16．（4分）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（△ABC），已知∠ACB＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm．裁剪出的正方形CDEF的一个顶点是直角顶点C，其余三个顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，那么正方形的边长是 1207 cm．
【分析】设正方形CDEF的边长为x cm，则CD＝DE＝x cm，证明△ADE∽△ACB，则利用相似三角形的性质得到ADAC=DEBC，即40−x40=x30，然后解方程即可．
【解答】解：设正方形CDEF的边长为x cm，则CD＝DE＝x cm，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=DEBC，即40−x40=x30，
解得x=1207，
即正方形的边长为1207cm．
故答案为：1207．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了正方形的性质．
17．（4分）一个二次函数的图象经过点（t，0），则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数y＝a（x﹣3）（x+2）（a≠0），无论a取何值，这个函数的图象总经过点（3，0）和点（﹣2，0），所以3和﹣2是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”﹣1，那么这个二次函数的解析式可以是 y＝（x+1）2，答案不唯一 ．（写出一个符合要求的函数解析式即可）
【分析】根据“零点”的定义可知二次函数的图象经过一个点（﹣1，0），据此写出一个函数的解析式即可．
【解答】解：∵一个二次函数有且只有一个“零点”﹣1，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝（x+1）2，答案不唯一．
故答案为：y＝（x+1）2，答案不唯一．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，明确题意是解题的关键．
18．（4分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝4，∠B＝30°，D是边BC的中点，线段AB绕点D顺时针旋转得到对应线段A′B′，线段A′B′与边AC、BC分别交于点E、F．如果△EFC是直角三角形，那么AE的长是 3+1或2 ．
【分析】由三线合一可得AD⊥BC，进而求出各边长，然后根据△EFC是直角三角形分类讨论，当∠FEC＝90°时或∠EFC＝90°时，画出图形，利用特殊角求解即可．
【解答】解：连接AD，
∵AB＝AC＝4，D是BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，BD＝CD，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝60°，AD=12AB=2，BD＝CD＝AB•cs30°＝23，
∵线段AB绕点D顺时针旋转得到对应线段A′B′，
∴△ABD≌△A'B'D，
∴∠BAD＝∠A'＝60°，∠B＝∠B'＝30°，A'D＝AD＝2，BD＝B'D＝23，
①当∠FEC＝90°时，
∵∠C＝30°，
∴∠EFC＝60°＝∠DFA'，
∴△A'DF是等边三角形，
∴DF＝A'D＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝23−2，
∴CE＝CF•cs30°＝3−3，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣（3−3）=3+1；
②当∠EFC＝90°时，
此时∠A'FD＝90°，
在Rt△A'FD中，A'D＝2，∠A'＝60°，
∴DF＝A'D•sin60°=3，
∴CF＝CD﹣FD=3，
在Rt△EFC中，∠C＝30°，
∴CE=CFcs30°=2，
∴AE＝AB﹣CE＝2．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含30°角的直角三角形，另一块是含45°角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形ABCD（如图），设AB＝a．
（1）用含a的代数式直接表示：AD＝ 263a ．
（2）求∠BDC的正切值．
【分析】（1）先用a表示出AC的长，再进一步表示出AD长即可．
（2）过点B作CD的垂线，垂足为M，用a分别表示出BM及CM的长，再结合CD的长及正切的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
cs∠BAC=ABAC=22．
∵AB＝a，
∴AC=2a．
在Rt△ACD中，
cs∠CAD=ACAD=32，
∴AD=233AC=263a．
故答案为：263a．
（2）过点B作CD的垂线，垂足为M，
∵AB＝a，且△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝a．
∵∠BCA＝45°，∠ACD＝90°，
∴∠BCM＝45°，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴BM＝CM=22a．
在Rt△ACD中，
tan∠CAD=CDAC=33，
∴CD=33AC=63a，
∴DM＝CM+CD=22a+63a．
在Rt△BDM中，
tan∠BDC=BMDM=22a22a+63a=23−3．
【点评】本题主要考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形及等腰直角三角形，熟知正切的定义及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
20．（10分）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形ABCD（如图1），AB＝4米，AD＝2米，斜坡AB的坡角为30°．计划将斜坡AB改造成坡比为1：2.5的斜坡AE（如图2所示），坡面的宽度AD不变．
（1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度；
（2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？
【分析】（1）过A作AH⊥EB交EB的延长线于H，根据直角三角形的性质得到AH=12AB=2（米），BH=32AB＝23（米），由AHEH=12.5，得到EH＝2.5AH＝2.5×2＝5（米），于是得到BE＝EH﹣BE＝（5﹣23）米；
（2）根据三角形的面积公式得到S△ABE=12BE•AH=12×（5﹣23）×2＝（5﹣23）平方米，于是得到结论．
【解答】解：（1）过A作AH⊥EB交EB的延长线于H，
∵∠ABH＝30°，AB＝4米，
∴AH=12AB=2（米），BH=32AB＝23（米），
在Rt△AEH中，∵AHEH=12.5，
∴EH＝2.5AH＝2.5×2＝5（米），
∴BE＝EH﹣BH＝（5﹣23）米，
答：改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度为（5﹣23）米；
（2）∵S△ABE=12BE•AH=12×（5﹣23）×2＝（5﹣23）平方米，
∴（5﹣23）×AD＝（5﹣23）×2＝（10﹣43）立方米，
答：改建这条斜坡需要（10﹣43）立方米的混凝土材料．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，n），B（5，n）是抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a＞0）上的两点．
（1）m＝ 2 ；
（2）如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且CD＝4，四边形ABCD的面积是25，求这个抛物线的表达式．
【分析】（1）结合抛物线的对称性可得m=−1+52=2．
（2）根据题意合抛物线的对称性可得D（0，0），C（4，0），由已知条件可得n＞0，AB＝6，AB∥CD，进而可得12×(4+6)×n=25，求得n＝5，即A（﹣1，5），再利用待定系数法求二次函数解析式即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，n），B（5，n）是抛物线y＝a（x﹣m）2+k上的两点，
∴m=−1+52=2．
故答案为：2．
（2）由（1）得，抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+k，对称轴为直线x＝2，
∵该抛物线与x轴交于点C、D，
∴点C，D关于直线x＝2对称，
∵CD＝4，
∴D（0，0），C（4，0）．
∵A（﹣1，n），B（5，n），
∴n＞0，AB＝6，AB∥CD．
∵四边形ABCD的面积是25，
∴12×(4+6)×n=25，
解得n＝5，
∴A（﹣1，5）．
将D（0，0），A（﹣1，5）代入y＝a（x﹣2）2+k，
得4a+k=09a+k=5，
解得a=1k=−4，
∴这个抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2﹣4．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）如图，正方形ABCD的边长是3，点E、F分别在边AD、CD上，∠EBF＝45°，BE、BF分别与对角线AC交于点G、H．
（1）当∠ABE＝ 22.5 °时，AG＝CH，先补全条件，再说明理由；
（2）如果CH=2，求BG的长．
【分析】（1）补充的条件是∠ABE＝22.5°，先证明∠ABE＝∠CBF＝22.5°，进而依据“ASA”判定△ABG和△CBH全等即可得出AG＝CH；
（2）连接GF，证明△BHG和△CHF相似得BHCH=GHFH，∠BGH＝∠CFH，则BHGH=CHFH，再根据∠BHC＝∠GHF得△BHC和△GHF相似，则∠CBH＝∠FGH，由此得∠BGH+∠FGH＝∠CFH+∠CBH＝90°，则△BGF是等腰直角三角形，由勾股定理得BG=22BF，然后求出AC=32，AH=22，证明△CHF和△AHB相似得CF=32，则BF=352，由此可得BG的长．
【解答】解：（1）当∠ABE＝22.5°时，AG＝CH，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为3，
∴AB＝BC＝3，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAG＝∠BCH＝∠ACD＝45°，AB∥CD，
∵∠EBF＝45°，∠ABE＝22.5°
∴∠CBH＝∠ABC﹣∠EBF﹣∠ABE＝90°﹣45°＝22.5°＝22.5°，
∴∠ABE＝∠CBF＝22.5°，
在△ABG和△CBH中，
∠BAG=∠BCHAB=BC∠ABE=∠CBF，
∴△ABG≌△CBH（ASA），
∴AG＝CH，
故答案为：22.5°；
（2）连接GF，如图所示：
∵∠EBF＝∠ACD＝45°，∠BHG＝∠CHF
∴△BHG∽△CHF，
∴BHCH=GHFH，∠BGH＝∠CFH，
∴BHGH=CHFH，
又∴∠BHC＝∠GHF，
∴△BHC∽△GHF，
∴∠CBH＝∠FGH，
∴∠BGH+∠FGH＝∠CFH+∠CBH，
∵∠BCD＝90°，
∴∠CBH+∠CFH＝90°，
∴∠BGH+∠FGH＝90°，
即∠BGF＝90°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG＝FG，
由勾股定理得：BF=BG2+FG2=2BG，
∴BG=22BF，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，
由勾股定理得：AC=AB2+BC2=32，
∵CH=2，
∴AH＝AC﹣CH=32−2=22，
∵AB∥CD，
∴△CHF∽△AHB，
∴CFAB=CHAH，
∴CF3222，
∴CF=32，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=BC2+CF2=32+(32)2=352，
∴BG=22BF=22×352=3104．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
23．（12分）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比，叫做这两个四边形的相似比．
【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如：
①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似；
②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似；
③相似四边形的面积的比等于相似比的平方．
……
【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明．
【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，已知矩形ABCD，E、F分别是边AD、AB上的点，AE=12AB，AF=12AD，联结BE、DF交于点G，试求S四边形AEGFS四边形CDGB的值．
【分析】【探究】连接AC，A'C'，证明△ABC∽△A′B′C′，△ACD∽△A′C′D′，得出S△ABCS△A′B′C′=(ABA′B′)2=k2，S△ACDS△A′C′D′=(ADA′D′)2=k2，则可得出答案；
【运用】由矩形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，证出AECD=AFBC=12，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形AEGF∽四边形CDGB，则可得出答案．
【解答】【探究】证明：连接AC，A'C'，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
∴ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′=ADA′D′，∠D＝∠D′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，△ACD∽△A′C′D′，
∴S△ABCS△A′B′C′=(ABA′B′)2=k2，S△ACDS△A′C′D′=(ADA′D′)2=k2，
∴S四边形ABCDS四边形A′B′C′D′=S△ABC+S△ACDS△A′B′C′+S△A′C′D′=k2；
【运用】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠AFG＝∠GDC，∠AEG＝∠CBG，
∵AE=12AB，AF=12AD，
∴AE=12CD，AF=12BC，
∴AECD=AFBC=12，
∵∠FGE＝∠BGD，
∴四边形AEGF∽四边形CDGB，
∴S四边形AEGFS四边形CDGB=(AECD)2=14．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m、m+1．
（1）联结AD、BD，求ct∠ODA﹣ct∠ODB的值（结果用含a的代数式表示）；
（2）如果y轴上存在点C，使得AC⊥BC，且AC＝BC，
①求抛物线的表达式；
②若AB=10，点E在y轴上，且△ADE与△ABC相似，求点E的坐标．
【分析】（1）由ct∠ODA﹣ct∠ODB=yD−yAxA−yD−yBxB，即可求解；
（2）①证明△CMA≌△BNC（AAS），得到MA＝CN，CM＝BN，即可求解；
②证明△BAC为等腰直角三角形，且△ADE与△ABC相似，则△ADE为等腰直角三角形，进而求解．
【解答】解：设点A、B的坐标分别为：（m，am2+4），（m+1，a（m+1）2+4），
（1）由抛物线的表达式知，点D（0，4），
则ct∠ODA﹣ct∠ODB=yD−yAxA−yD−yBxB=4−am2−4m−4−a(m+1)2−4a(m+1)=a；
（2）①AC⊥BC，且AC＝BC，则△ABC为等腰直角三角形，设点C（0，y），
过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N，
∵∠MCA+∠BCN＝90°，∠BCN+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
∵∠CMA＝∠BNC＝90°，
∴△CMA≌△BNC（AAS），
则MA＝CN，CM＝BN，
即m＝y﹣[a（m+1）2+4]且m+1＝am2+4﹣y，
整理得：2m+1＝a（2m+1）×（﹣1），则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4；
②由点A、B的坐标得：（m+1﹣m）2+[﹣（m+1）2+4﹣m2﹣4]2，
解得：m＝1，
则点A、B的坐标分别为：（1，3）、（2，0），
由m＝y﹣[a（m+1）2+4]得：y＝1，即点C（0，1）；
∵AC⊥BC，且AC＝BC，
则△BAC为等腰直角三角形，
∵△ADE与△ABC相似，则△ADE为等腰直角三角形，
过点A作AM⊥y轴于点M，则点M（0，3），
则MD＝4﹣3＝1＝AM，
故当点E和点M重合时，即点E（0，3）此时，符合题意；
如图，取ME′＝1，则△ADE′为等腰直角三角形，
即点E′（0，2）符合题意，
综上，E（0，3）或（0，2）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似和解直角三角形等，数据处理是解题的关键．
25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，点E、F分别在边AC、AB上（不与端点重合），BE⊥CF，垂足为点D．
（1）当CE＝1时，求AF的长；
（2）当BE＝CF时，求tan∠CBE值；
（3）联结EF，如果△AEF是直角三角形，求这时四边形BCEF的面积．
【分析】（1）过F作FH⊥AC，垂足为点H，利用等角的三角函数值相等可得FHCH=ECBC=12，BCAC=23=FHAH，设FH＝2x，则AH＝3x，CH＝4x，所以AC＝AH+CH＝7x＝3，求出x值，再利用勾股定理求出AF即可；
（2）同（1）思路，证△FHC≌△ECB（AAS），即可得解；
（3）分两种情况讨论，∠AEF为直角或∠AFE为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方程求解即可．
【解答】解：（1）过F作FH⊥AC，垂足为点H，则∠FHC＝90°＝∠BCE，
∵BF⊥CE，
∴∠CDB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴tan∠1＝tan∠2，即FHCH=ECBC=12，
tanA=BCAC=23=FHAH，
设FH＝2x，则AH＝3x，CH＝4x，
在Rt△AFH中，AF=AH2+FH2=13x，
∵AC＝AH+CH＝7x＝3，
∴x=37，
∴AF=13x=3137；
（2）过F作FH⊥AC，垂足为点H，
由（1）知，∠1＝∠2，
∵∠ECB＝∠FHC＝90°，CF＝BE，
∴△FHC≌△ECB（AAS），
∴BC＝CH＝2，FH＝CE，
∴AH＝AC﹣CH＝1，
∵tanA=BCAC=23=FHAH，
∴FH=23=CE，
∴tan∠CBE=CECB=232=13；
（3）①当∠AEF＝90°时，如图，
此时FE∥BC，
∵tanA=FEAE=BCAC=23，
∴设EF＝2x，则AE＝3x，
∴EC＝3﹣3x，
∵3﹣3x＞0，
∴x＜1，
∵∠1＝∠2，∠BCE＝∠CEF＝90°，
∴△CBE∽△ECF，
∴ECEF=CBEC，即3−3x2x=23−3x，
解得x=11±2109，
∵x＜1，
∴x=11−2109，
∴S四边形BCEF＝S△ABC﹣S△AFE
=12×2×3−12×2x⋅3x
＝3﹣3x2
=4410−8027；
②当∠AFE＝90°时，如图，
∵∠1＝∠2，∠BDC＝∠EDC，
∴△EDC∽△CDB，
∴CDBD=EDCD，即CD2＝BD•ED，
同理△DEF∽△DFB，得DF2＝DE•DB，
∴CD2＝DF2，即CD＝DF，
又∵ED⊥CF，
∴EF＝EC，
∵tanA=EFAF=BCAC=23，
∴设EF＝2x＝CE，则AF＝3x，
∴AE=13x，
∴AC＝AE+CE＝（13+2）x＝3，
解得x=13−23，
∴S四边形BCEF＝S△ABC﹣S△AFE
=12×2×3−12×2x⋅3x
＝3﹣3x2
=413−83；
综上，四边形BCEF的面积为4410−8027或413−83．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，最后一问识别射影定理是解题关键．已知：如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，点A、B、C、D分别与点A′、B′、C′、D′对应，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为k．
求证：S四边形ABCDS四边形A′B′C′D′=k2．
证明：
题号
1
2
3
4
5
6
答案
A
B
C
A
B
D
已知：如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，点A、B、C、D分别与点A′、B′、C′、D′对应，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为k．
求证：S四边形ABCDS四边形A′B′C′D′=k2．
证明：