江苏省泰州市兴化市2024-2025学年七年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省泰州市兴化市2024-2025学年七年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了例如等内容，欢迎下载使用。
（考试用时：120分钟 满分：150分）
说明：
1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上．
2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效．
一、选择原（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1. 下列各式中，一元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，能判断的条件是（ ）
A. B.
C D.
4. 钟面上，3点整时，时针与分针的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列等式变形中，错误是（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
6. 小慧在月历上圈出四个数，并计算出它们的和为36，这四个数所在位置可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7. 若∠α＝40°，则∠α的余角等于_____°．
8. 数据用科学记数法表示为______．
9. 若单项式与是同类项，则______．
10. 弯曲的公路改直后就能缩短路程，可以用数学知识的基本事实来解释为______．
11. 某商店第一天售出n件吉祥物，第二天销售量比第一天的3 倍少6件，则吉祥物第二天的销售量是_________件．
12. 在研究幻方的综合实践中，小华填入如图的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则______．
13. 如图，点A、O、B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为______度
14. 已知，则代数式______．
15. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则______．（用a的代数式表示）
16. A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则______．
三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 解方程：
（1）
（2）
19. 先化简再求值，其中．
20. 如图，点A、B、C在正方形网格点上，每个小正方形边长为1个单位长度．根据要求完成下列问题：
（1）画线段、、；
（2）在线段上画一点D，使得最短（仅用无刻度的直尺画图，保留必要的画图痕迹并标明相应字母）；
（3）图中面积等于______．
21. 已知，
（1）求代数式；
（2）若a，b满足，求的值．
22. 如图，点P在中，交于点M．
（1）过点P作的平行线交于点N．（利用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，若，试说明是的角平分线．
23. 定义一种新运算，规定(、有理数)．例如：
（1）计算；
（2）若，求的值；
（3）比较与的大小．
24. 为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批篮球和排球供学生兴趣课使用．每个排球比篮球便宜30元，4只篮球与6只排球的费用一样．
（1）求出篮球和排球的单价；
（2）经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买10只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超过50只，则购买排球打八折．若该校购买100只篮球和a只排球（其中且为整数），则当购买的排球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样．
25. 阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式．
理解应用：
（1）若，经过小魔方后的多项式______．
（2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值；
拓展应用：
（3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值．
26. 综合实践：
【知识发现】古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
（1）已知：如图1，在中，
求证：
证明：延长线段至点，并过点作．
∵，
∴______，______．
∵（______）
∴；
【结论运用】（2）如图2，已知，点H、Q分别在、上，连接，作的角平分线交于点M，过点M作交于点N．若，，求的度数．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，若绕点O逆时针旋转，交直线于点E，作的角平分线交射线于点D，则在旋转的过程中，的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
2024年秋学期初中学生阶段性评价
七年级数学试卷
（考试用时：120分钟 满分：150分）
说明：
1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上．
2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效．
一、选择原（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1. 下列各式中，一元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查判断一元一次方程，熟记一元一次方程定义中的三点要求是解题的关键．一元一次方程是含有一个未知数，未知数的指数为1的整式方程，根据定义判断即可．
【详解】A. ，未知数的最高次为2，不是一元一次方程；
B. 符合一元一次方程的定义，是一元一次方程；
C. 含有2个未知数，不是一元一次方程；
D. 是不是整式方程，所以不是一元一次方程；
故选：B．
2. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，根据含有相同字母并且相同的字母的指数也相同的项称为同类项，不是同类项不能进行合并，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、不是同类项，不能合并，故不符合题意；
C、不是同类项，不能合并，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D
3. 如图，能判断的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行等内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，故A选项符合题意；
∵，
∴，故B选项不符合题意；
∵，
无法证明或，故C选项不符合题意；
∵，
∴，故D选项不符合题意；
故选：A
4. 钟面上，3点整时，时针与分针的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查钟面角，关键是结合实际生活和角的含义进行解答．钟面上点整时，时针指着，分针指着，时针与分针的夹角是．
【详解】解：钟面上点整时，时针与分针的夹角是，
故选：D．
5. 下列等式变形中，错误的是（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，熟记等式的性质是解题的关键．根据等式的性质解答判断即可．
【详解】解：A、的两边都加上或减去m，得到，故该项不符合题意；
B、的两边都乘以m，得到，故该项不符合题意；
C、如果，在等式两边都除以，得到，当时，分式无意义，故该项符合题意；
D、如果，在等式两边都除以，得到，故该项不符合题意；
故选：C．
6. 小慧在月历上圈出四个数，并计算出它们的和为36，这四个数所在位置可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程在日历问题中的应用，明确日历中上下行及左右相邻数之间的关系是解题的关键．日历中的每个数都是整数且上下相邻是，左右相邻差，根据题意列方程可解．
【详解】解；A．设最小的数是x，则，
解得，不是正整数，故本选项不符合题意；
B．设最小的数是x，则，
解得，不是正整数，故本选项不符合题意；
C．设最小的数是x，则，
解得，故本选项符合题意；
D．设最小的数是x，则，
解得：，不是正整数，故本选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）
7. 若∠α＝40°，则∠α的余角等于_____°．
【答案】50
【解析】
【分析】根据互为余角的两角之和为90°，即可得出答案．
【详解】解：∵∠a＝40°，
∴∠a的余角＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了余角的定义，解题关键是明确两个角的和为90°，这两个角互为余角．
8. 数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是科学记数法，熟练掌握科学记数法表示方法是解题的关键；
指把一个大于(或者小于1)的整数记为“”的形式，其中，为整数；
根据科学记数法的表示方法即可得出答案．
详解】解：，
故答案为：．
9. 若单项式与是同类项，则______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的概念是解题的关键；因此此题可根据“如果两个单项式含有相同字母，并且相同字母的指数也相同，则称为同类项”进行求解即可．
【详解】解：由单项式与是同类项，可得：，
∴，
∴；
故答案为7．
10. 弯曲的公路改直后就能缩短路程，可以用数学知识的基本事实来解释为______．
【答案】两点之间，线段最短
【解析】
【分析】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质是解题的关键；
根据线段的性质：两点之间线段最短，解答即可；
【详解】解：由线段的性质可知：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
11. 某商店第一天售出n件吉祥物，第二天的销售量比第一天的3 倍少6件，则吉祥物第二天的销售量是_________件．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，根据题意列出代数式即可．
【详解】解：第一天售出n件吉祥物公仔，第二天的销售量比第一天的3 倍少6件，则第二天的销售量是件．
故答案为：．
12. 在研究幻方的综合实践中，小华填入如图的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程，根据题意列方程是解题的关键；
根据题意，可得，进而求解即可；
【详解】解：根据题意，可得；
解得；
故答案为：
13. 如图，点A、O、B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为______度
【答案】80
【解析】
【分析】先求出，再根据平角的定义求出，即可利用角平分线的定义，求出，即可作答．本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，求出是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
∴，
故答案：80
14. 已知，则代数式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入的思想是解题的关键；根据题意可知，整理，即可求解；
【详解】解：根据题意可得；
；
故答案为：．
15. 如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则______．（用a的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．先根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵长方形中，，
∴，
∵将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16. A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了数轴上动点问题，利用代数式表示数轴上的点，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解动点问题是解题的关键．设经过t秒后，利用点P，Q的运动方向和速度，可得到点，，表示的数，再根据数轴上两点的距离公式用代数式表示出，，进而可得，根据其值为常数，可得关于t的系数为0，然后解方程求出看k的值．
【详解】解：设运动时间为t，依题意得：
所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，
∴，
所表示的数为，所表示的数为，
∴，
∴，
若为常数，则，
解得：．
故答案为．
三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握含乘方有理数的混合运算是解题的关键；
（1）先算乘方，然后再进行有理数的四则运算即可；
（2）先算乘方，再算括号里，最后再进行有理数的运算即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式．
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；
（2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可．
【小问1详解】
解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为，得；
【小问2详解】
解：
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为，得．
19. 先化简再求值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键．
先根据整式的加减运算法则化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 如图，点A、B、C在正方形网格点上，每个小正方形边长为1个单位长度．根据要求完成下列问题：
（1）画线段、、；
（2）在线段上画一点D，使得最短（仅用无刻度的直尺画图，保留必要的画图痕迹并标明相应字母）；
（3）图中的面积等于______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了画线段，作垂线，三角形的面积等知识，解题的关键是：
（1）直接连接、、即可；
（2）根据网格的特点，取格点E，连接交于点D即可；
（3）根据割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，线段、、即为所求，
；
【小问2详解】
解：如图，点D即为所求；
【小问3详解】
解：．
故答案为：．
21. 已知，
（1）求代数式；
（2）若a，b满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的加减，绝对值和乘方的非负性．（1）中需注意去括号时不要搞错符号；（2）中理解两个非负数（式）的和为0，那么这两个非负数（式）都为0是解题关键．
（1）直接利用整式的加减计算即可；
（2）根据绝对值和乘方的非负性求得a和b的值，再代入计算即可．
【小问1详解】
解：，，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
22. 如图，点P在中，交于点M．
（1）过点P作的平行线交于点N．（利用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，若，试说明是的角平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定和性质：
（1）作角，根据内错角相等，两直线平行，即可得到；
（2）根据平行线的性质结合等量代换，求出，即可
【小问1详解】
解，如图，即为所求；
【小问2详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
23. 定义一种新运算，规定(、是有理数)．例如：
（1）计算；
（2）若，求的值；
（3）比较与的大小．
【答案】（1）
（2）
（3）当大于时，大，当等于时，一样大，当小于时，小
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，整式的加减，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据给定的新运算，即可求出的值；
（2）根据，可列出关于的一元一次方程，求解即可；
（3）表示出，分类讨论即可．
【小问1详解】
解：，
；
【小问2详解】
，
解得，
的值为；
【小问3详解】
；
，
，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
综上，当时，；
当时，；
当时，即．
24. 为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批篮球和排球供学生兴趣课使用．每个排球比篮球便宜30元，4只篮球与6只排球的费用一样．
（1）求出篮球和排球的单价；
（2）经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买10只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超过50只，则购买排球打八折．若该校购买100只篮球和a只排球（其中且为整数），则当购买的排球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样．
【答案】（1）篮球的单价为90元，排球的单价为60元
（2）当购买的排球数为50的时候，费用一样
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设篮球的单价为x元，排球的单价为元，根据4只篮球与6只排球的费用一样，可列出关于的一元一次方程，即可求解；
（2）利用总价单价数量，结合在两家商场购买所需的费用一样，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：设篮球的单价为x元，排球的单价为元，
由题意得：
解之得：，
答：篮球的单价为90元，排球的单价为60元．
【小问2详解】
由题意得：，
解得：
答：当购买的排球数为50的时候，费用一样．
25. 阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式．
理解应用：
（1）若，经过小魔方后的多项式______．
（2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值；
拓展应用：
（3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值．
【答案】（1）；（2）；（3），
【解析】
【分析】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解题关键．
（1）根据已知处理方法求解即可；
（2）根据已知处理方法得到多项式B，然后根据的结果中不含一次项，得出关于m的方程，解方程即可；
（3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到，根据方程有无数个解可得出，，求解即可．
【详解】解：（1）若，经过小魔方后的多项式，
故答案为：；
（2）由题意得：，，
∵结果中不含一次项，
∴，
解得；
（3），，
又
∴，
∴，
∵方程有无数个解，
∴方程有无数个解，
∴，，
∴，．
26. 综合实践：
【知识发现】古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
（1）已知：如图1，在中，
求证：
证明：延长线段至点，并过点作．
∵，
∴______，______．
∵（______）
∴；
【结论运用】（2）如图2，已知，点H、Q分别在、上，连接，作的角平分线交于点M，过点M作交于点N．若，，求的度数．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，若绕点O逆时针旋转，交直线于点E，作的角平分线交射线于点D，则在旋转的过程中，的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）、、平角的定义；（2）；（3）不变，
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，平角的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键；
（1）根据平行线的性质可得，，再利用平角的定义即可求解；
（2）根据，可得，进而根据三角形的内角和求解即可；
（3）根据，可得，进而得到，根据，可得，进而得到，从而求解；
【详解】（1）证明：延长线段至点，并过点作．
∵，
∴，．
∵（平角的定义）
∴
故答案为：、、平角的定义
（2）因为，
所以，
又因为，
根据三角形内角和为，
（3）
因为，三角形内角和为，
所以，同理可得，
因为平分，所以，
又因为，
所以，
所以，
所以．
所以，
又因为平分，
所以．
所以，
所以．
又因为与对顶角，
所以，
根据三角形内角和为，
所以，
即，
所以；