新高考数学三轮冲刺解题技巧精讲精练技巧04 结构不良问题解题策略（2份，原卷版+解析版）

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结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注．
【核心考点目录】
核心考点一：三角函数与解三角形
核心考点二：数列
核心考点三：立体几何
核心考点四：函数与导数
核心考点五：圆锥曲线
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
2．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
4．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
5．（2021·全国·统考高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【方法技巧与总结】
1、灵活选用条件，“牵手”解题经验
对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系，尽量选择比较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中．因此，条件的初始判断分析还是比较重要的，良好的开端是成功的一半嘛！
2、正确辨析题设，开展合理验证
对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应从多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提出了新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程．
3、全面审视信息，“活”学结合“活”用
数学必备知识是学科理论的基本内容，是考查学生能力与素养 的有效途径和载体，更是今后生活和学习的基础．数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体．“活”的知识才是能力，“活”的能力才是素养．我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此基础上活学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题．
【核心考点】
核心考点一：三角函数与解三角形
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数.
(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期；
(2)若当时，关于x的不等式. 求实数m的取值范围.
请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2)，并求解.
注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.
例2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？
(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．
例3．（2022春·浙江·高二期中）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

(1)求角的大小；
(2)如图所示，当取得最大值时，若在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，求面积的最大值．
核心考点二：数列
【典型例题】
例4．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列前项和为，再从条件①､条件②､条件③选择一个作为已知，求：
(1)数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
条件①；条件②；条件③.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）设数列是等比数列，其前项和为
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求的通项公式；
①；②；
(2)在（1）的条件下，若，求数列的前项和
例6．（2022春·福建·高三校联考阶段练习）从①；②；③三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列，满足，且，，______，求数列的前项和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
核心考点三：立体几何
【典型例题】
例7．（2022春·云南楚雄·高三校考阶段练习）在四棱锥中，平面为棱中点，，，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①：；
条件②：平面．
(1).求证：；
(2).求直线与平面所成角的正弦值．
例8．（2022春·新疆伊犁·高二校考期中）从①AB⊥BC；②直线SC与平面ABCD所成的角为60°；③△ACD为锐角三角形且三棱锥S﹣ACD的体积为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
(1)求证：直线EF∥平面SAD；
(2)若，AD＝2，_______，求平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值．
例9．（2022春·四川遂宁·高二遂宁中学校考期中）从①，②G是的中点，③G是的内心.三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面，且，，，，分别为，的中点.
(1)判断EF与平面的位置关系，并证明你的结论；
(2)若G是侧面上的一点，且________，求三棱锥的体积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
核心考点四：函数与导数
【典型例题】
例10．（2022·浙江·模拟预测）已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．
①当时，；②当时，．
注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．
例11．（2022春·贵州铜仁·高三校考阶段练习）已知指数函数经过点.求：
(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；
(2)对于实数，，且，①；②.
在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）
例12．（2022春·广东东莞·高三东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知三个函数①，②，③．
(1)请从上述三个函数中选择一个函数，根据你选择的函数画出该函数的图象（不用写作图过程），并写出该函数的单调递减区间(不必说明理由)；
(2)把（1）中所选的函数记为函数，若关于x的方程有且仅有两个不同的根，求实数k的取值范围；
(3)（请从下面三个选项中选一个作答）
（i）若（1）中所选①的函数时，有，且，求的值；
（ii）若（1）中所选②的函数时，有，且，求的取值范围；
（iii）若（1）中所选③的函数时，有，且，求的值．
核心考点五：圆锥曲线
【典型例题】
例13．（2022春·辽宁大连·高二育明高中校考期中）①过且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3；②P为椭圆C上一点，面积最大值为.在上述两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
设椭圆左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，短轴长为，______.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与C交于不同的两点M，N，若，试求内切圆的面积.
例14．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）已知椭圆：，分别为椭圆的上下顶点，点为椭圆上异于点的任一点，若的最大值仅在点与点重合时取到，在下列三个条件中能满足要求的条件有____________.
条件①：过焦点且与长轴垂直的弦长为；
条件②：点与点不重合时，直线与的斜率之积为；
条件③：，分别是椭圆的左、右焦点，的最大值是120°.
(1)选出所有满足要求的条件，说明理由并求出此时的椭圆方程；
(2)若过原点作与平行的直线，与平行的直线，，的斜率存在且分别与椭圆交于四点，则四边形的面积是否为定值?若为定值，求出该值；若非定值，求其取值范围.
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．
①为定值；
②．
【新题速递】
1．（2022春·四川成都·高三成都七中阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①，，成等比数列；②；③．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．
(1)求的通项公式；
(2)若，且，设数列的前项和，求证．
2．（辽宁省大连市2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．
(1)求C的方程；
(2)直线与C交于A，B两点，求的值．
3．（四川省广安市2022-2023学年高三第一次诊断性考试数学（理）试题）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c从下列三个条件中选择一个并解答问题：
①；②；
③．
(1)求角A的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2022春·吉林·高三东北师大附中校考阶段练习）记数列的前n项和为.已知，且满足___________.
从①记，且有；②；③中选出一个能确定的条件，补充到上面横线处，并解答下面的问题.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
5．（2022春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围．
注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分．
6．（2022·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测）过原点O的直线与抛物线交于点A，线段OA的中点为M，又点，．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处，并解答下列问题：
①，②；③的面积为．
(1)已知_________，求抛物线C的方程；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
(2)已知点，设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于D，E两点，线段DE的垂直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．
7．（2022秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若为钝角三角形，______，求外接圆的半径R的取值范围．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①；②．
8．（2022·湖南衡阳·统考三模）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数；
(2)从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分．
①当时，，求实数．
②当时，，求实数．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)若函数，讨论的单调性；
(2)从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分.
①若函数，，且，证明：.②若函数，证明：.
10．（2022·山东泰安·统考模拟预测）如图1，已知等边的边长为，点分别是边上的点，且满足，如图2，将沿折起到的位置．
(1)求证：平面平面；
(2)给出三个条件：①；②平面平面；③四棱锥的体积为，从中任选一个，求平面和平面的夹角的余弦值．
11．（2022·山西吕梁·统考模拟预测）在①；②，；③这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．
已知正项数列的前n项和为， ，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记表示x除以3的余数，求．
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．
12．（2022秋·安徽阜阳·高一安徽省太和中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）