2023-2024学年山东省淄博市高青县七年级（下）期中数学试卷（五四学制） (含解析)

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高青县七年级（下）期中数学试卷（五四学制） (含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列命题中，是假命题的是
A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补
C．等角的补角相等D．垂线段最短
2．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是
A．B．C．D．
3．已知二元一次方程组，则的值是
A．9B．3C．D．
4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为
A．B．C．D．
5．将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线上，其中一个锐角顶点在直线上．若，，则的度数为
A．B．C．D．
6．在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则的值约为
A．12B．15C．18D．20
7．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是
A．B．C．D．
8．如图，，的直角顶点在直线上．若，，则等于
A．B．C．D．
9．我国古典数学文献《增删算法统宗六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列方程组正确的为
A．B．
C．D．
10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是
①的面积的面积；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．已知二元一次方程组，则的值为 ．
12．如图，在中，是的平分线，过点的射线与平行，若，，则 ．
13．已知一组数据有50个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是 ．
14．如图所示的折线图形中， ．
15．在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共8小题，共90分）
16．解方程：
（1）
（2）
17．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
19．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
20．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．
（1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”： ．
（2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值．
21．阅读并填空．将三角尺放置在上（点在内），如图①所示，三角尺的两边，恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：若，则 度； 度；
（2）类比探索：求，，的关系，并说明理由；
（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边，仍恰好经过点和点，求，，的关系，并说明理由．
22．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水杯、大球和小球进行了如下操作．请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入1个小球水面升高 ，放入1个大球水面升高 ；
（2）如果小明想在水杯中放入大球、小球共10个，并限定水面高不超过，则至少放入多少个小球？
23．【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】（1）如图1，，，，试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，试说明．
参考答案
一、选择题（有10小题，每小题4分，共40分）
1．下列命题中，是假命题的是
A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补
C．等角的补角相等D．垂线段最短
解：、两点之间，线段最短，是真命题；
、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
、等角的补角相等，是真命题；
、垂线段最短，是真命题；
故选：．
2．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是
A．B．C．D．
解：一次解锁该手机密码的概率是．
故选：．
3．已知二元一次方程组，则的值是
A．9B．3C．D．
解：，
②①得：．
故选：．
4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于，的方程组的解为
A．B．C．D．
解：把代入得：，
解得：，
，，
则关于，的方程组的解为．
故选：．
5．将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线上，其中一个锐角顶点在直线上．若，，则的度数为
A．B．C．D．
解：如图：
，
，
，
，
，
，
故选：．
6．在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则的值约为
A．12B．15C．18D．20
解：根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：的值约为15；
故选：．
7．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于，的二元一次方程组的解是
A．B．C．D．
解：当时，，
解得，则点的坐标为，
所以关于，的二元一次方程组中的解为．
故选：．
8．如图，，的直角顶点在直线上．若，，则等于
A．B．C．D．
解：如图，过点作，
，
，
在中，．
，
，
．
，
．
故选：．
9．我国古典数学文献《增删算法统宗六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊只，乙有羊只，根据题意列方程组正确的为
A．B．
C．D．
解：如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
；
如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
10．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是
①的面积的面积；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
解：是中线，
，
的面积的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
是角平分线，
，
为高，
，
，
，，
，
，，
，故②正确；
为高，
，
，
，，
，
是的平分线，
，
，
即，故③正确；
根据已知条件不能推出，即不能推出，故④错误；
故选：．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11．已知二元一次方程组，则的值为 1 ．
解：解法一：由可得：
，
代入第二个方程中，可得：
，
解得：，
将代入第一个方程中，可得
，
解得：，
，
故答案为：1；
解法二：，
由②①可得：
，
故答案为：1．
12．如图，在中，是的平分线，过点的射线与平行，若，，则 45 ．
解：，，
，
是的平分线，
，
，
．
故答案为：45．
13．已知一组数据有50个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是 0.24 ．
解：第五组的频数为，
第六组的频数为，
第六组的频率是；
故答案为：0.24．
14．如图所示的折线图形中， ．
解：如图，连接．
在中，，
在四边形中，，
，
，
故答案为．
15．在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 79 ．
解：设小长方形的长为，宽为，根据题意得
，
解得，
．
故答案为：79．
三、解答题（共8小题，共90分）
16．解方程：
（1）
（2）
解：（1），
②①，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
所以方程组的解为；
（2），
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
所以方程组的解为．
17．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
解：（1）证明：，
，
又，
，
；
（2），
，
平分，
，
在中，
，
．
答：的度数为．
18．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（2）小明从盒子里取出个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出的值．
解：（1）红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
盒子中球的总数为：（个，
故盒子中黑球的个数为：（个；
任意摸出一个球是黑球的概率为：；
（2）任意摸出一个球是红球的概率为，
盒子中球的总量为：，
可以将盒子中的白球拿出3个，
．
19．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是人，原计划租用辆45座客车．
根据题意，得，
解得．
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；
（2）租45座客车：（辆，所以需租14辆，租金为（元，
租60座客车：（辆，所以需租10辆，租金为（元，
，
租用14辆45座客车更合算．
20．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．
（1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”： ．
（2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值．
解：（1）由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
故答案为：．
（2）二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
，
解得，
，．
21．阅读并填空．将三角尺放置在上（点在内），如图①所示，三角尺的两边，恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：若，则 90 度； 度；
（2）类比探索：求，，的关系，并说明理由；
（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边，仍恰好经过点和点，求，，的关系，并说明理由．
解：（1），
，
，
，
，
故答案为：90，40；
（2）结论：．
证明：，
，
，
．
故答案为：；
（3）结论：，
理由是：设交于，如图
，
，即，
，
故答案为：．
22．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水杯、大球和小球进行了如下操作．请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入1个小球水面升高 2 ，放入1个大球水面升高 ；
（2）如果小明想在水杯中放入大球、小球共10个，并限定水面高不超过，则至少放入多少个小球？
解：（1）
；
．
故答案为：2；3．
（2）设放入大球个，
由题意得：，
解得．
答：至少放入6个小球，
23．【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】（1）如图1，，，，试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，试说明．
【解答】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
．
（2）解：，
，
，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
（3）证明：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
即．
甲型客车
乙型客车
载客量（人辆）
45
60
租金（元辆）
200
300
甲型客车
乙型客车
载客量（人辆）
45
60
租金（元辆）
200
300