新高考数学二轮复习高分突破训练第33讲 统计（2份，原卷版+解析版）

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一、线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法。
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归方程的求法为
其中，，，(,)称为样本点的中心。
步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，直线斜率k>0，称两个变量正相关；k10.828，有99.9%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若10.828K2>6.635，有99%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若6.635K2>3.841，有95%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若K23.841，没有把握称A与B相关。
典型例题：
例1．（2022·全国·模拟预测）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.
(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数与方差；
(2)在调查的300名学生中按每周运动时间采用分层抽样法抽取20人参加校园“我运动我快乐”活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“每周运动时间超过8小时”的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)140人，分位数为，方差为6.16；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图及分层抽样，可求出样本数据中女生人数及样本数据的85%分位数与方差；
（2）利用分层抽样可计算出“每周运动时间超过8小时”的有4人，“每周运动时间不超过8小时”的有16人，所以的可能的取值为0，1，2，利用超几何分布可求得的分布列及数学期望.
(1)
依题意，样本数据中女生人数为.
因为样本数据中在8小时以下的学生人数所占比例为，
则85%分位数为.
平均数为，
所以样本数据的方差为
，
所以样本数据中女生人数为140，样本数据的85%分位数为，方差为6.16.
(2)
用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“每周运动时间超过8小时”的有4人，“每周运动时间不超过8小时”的有16人.
由题意知，的可能取值为0，1，2，
且；；，
所以的分布列为
所以.
例2．（2022·河北唐山·高三期末）某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．
(1)用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；
(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数的数值，部分结果如下表所示：
①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；
②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.
【答案】(1)，
(2)①0.996，②不吻合，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）观察两图，根据的范围，我们只需要确定哪个图像关联系数更高，即选择较大的那个相关系数；
（2）第一小问可根据第（1）问中确定的的值，通过来计算；第二小问可通过计算出来的数据跟已有的数据对比，选出最适合模拟最近的年份的回归模型，并且按照这个回归模型来模拟，预测2020年是否能够突破100万亿，并且根据回归模型的增长趋势来判断.
(1)
由散点图可知，图2拟合效果更好、相关系数较大，所以，．
(2)
①0.996
②由图2中的线性回归模型得到的相关指数为0.996，是所有回归模型的相关指数中数值最大的，而且2017年是最近的年份，因此选择图2中的线性回归模型来估计2017年的GDP，是比较精准的．
按照图2中的线性回归模型来估计（延长回归直线可发现），2020年不能突破100万亿元．
估计与事实不吻合．综合两张图来考虑，我国的GDP随年份的增长整体上呈现指数增长的趋势，而且2020年比2016年又多发展了4年，指数回归趋于明显，因此，按照线性回归模型得到的估计值与实际数据有偏差、不吻合，属于正常现象．
例3．（2022·重庆八中高三阶段练习）5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表：
根据以上数据绘制散点图，如图.
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；
(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考数据：
其中设，
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，，.
【答案】(1)
(2)回归方程为，8月份的5G经济收入百万元.
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据散点图判断可得答案；
（2）根据（1）的结果，然后根据参考数据求出方程，进而求得y关于x的回归方程，再将代入方程可得答案；
（3）求出X的可能取值及概率，可得分布列和数学期望.
(1)
，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y轴上差距是增大的趋势，故用表示更合适.
(2)
由得，设，所以，
因为，，，，
所以，，
，
所以，即，
则回归方程为，
预测该公司8月份的5G经济收入百万元.
(3)
月收入超过16百万的个数为的可能取值为1，2，3，
则，
，
，
则的分布列为
所以.
例4．（2022·河北·模拟预测）主播代言､优惠促销､限时“秒杀”……目前，各类直播带货激起人们的消费热情，但也存在不少问题.日前，中国消费者协会发布了网络直播销售侵害消费者权益案例分析，归纳出虚假宣传､退换货难､诱导交易等七大类问题.某相关部门为不断净化直播带货环境，保护消费者合法权益，进行了调查问卷，随机抽取了200人的样本进行分析，得到列联表如下：
(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为是否参加直播带货与性别有关？
(2)将频率视为概率，从样本的女性中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记抽取的3人中“未参加过直播带货”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和均值.
附：，其中.
【答案】(1)有的把握认为是否参加直播带货与性别有关
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】
（1）直接根据列联表计算观测值，再根据独立性检验思想判断即可；
（2）由题意，可得，再根据二项分布概率公式求解即可.
(1)
解：根据以上数据，得观测值，
所以有的把握认为是否参加直播带货与性别有关.
(2)
解：由题意，女生未参加过直播带货的频率为，
所以频率视为概率，每个女生未参加过直播带货的概率为，
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以，
所以，，
所以，，，.
所以随机变量X的分布列为
所以随机变量的均值.
例5．（2022·全国·高三专题练习）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好，
【答案】(1)模型②拟合精度更高、更可靠，亿
(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小
【解析】
【分析】
（1）根据公式计算相关指数，再根据大小选择合适的模型，根据所得模型可求直接受益.
（2）根据（1）中的公式结合利润计算方法可求公司收益，从而可得两者的大小关系.
(1)
对于模型①，
对应的，
故对应的，
故对应的相关指数，
对于模型②，同理对应的相关指数，
故模型②拟合精度更高、更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.
(2)
当时，
后五组的，，
由最小二乘法可得，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
例6．（2022·陕西·高新一中高三阶段练习（文））2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜､刘伯明､汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下表：建立了y与x的两个回归模型：模型①：，
模型②：；
(1)根据表格中的数据，比较模型①，②的相关指数的大小；
(2)据（2）选择拟合精度更高､更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益.
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好..
【答案】(1)
(2)收益为
【解析】
【分析】
（1）对于模型①模型②，计算出， ，对应的相关指数，可得答案；
（2）故模型②拟合精度更高､更可靠，可计算出对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益.
(1)
对于模型①，
对应的，
故对应的，
故对应的相关指数，对于模型②，
同理对应的相关指数，.
(2)
故模型②拟合精度更高､更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.
过关练习：
1．（2022·四川泸州·二模（理））某县种植的脆红李在2021年获得大丰收，依据扶贫政策，所有脆红李由经销商统一收购.为了更好的实现效益，质监部门从今年收获的脆红李中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.下表是脆红李的分级标准，其中一级品､二级品统称为优质品.
经销商与某农户签订了脆红李收购协议，规定如下：从一箱脆红李中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱脆红李定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱脆红李也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则该箱脆红李定为C类；其他情况均定为B类.已知每箱脆红李重量为10千克，A类､B类､C类的脆红李价格分别为每千克10元､8元､6元.现有两种装箱方案：方案一：将脆红李采用随机混装的方式装箱；方案二：将脆红李按一､二､三､四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元.以频率代替概率解决下面的问题.
(1)如果该农户采用方案一装箱，求一箱脆红李被定为A类的概率；
(2)根据统计学知识判断，该农户采用哪种方案装箱收入更多，并说明理由.
【答案】(1)
(2)采用方案二时收入更多，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图可得任取一只脆红李，其为优质品的概率，利用二项分布可求概率.
（2）利用独立事件和二项分布可求该农户采用方案一时每箱收入为的分布列和期望，再算出该农户采用方案二时每箱的平均收入后可得最优方案.
(1)
由频率分布直方图可得任取一只脆红李，其为优质品的概率为，
设事件为“该农户采用方案一装箱，一箱脆红李被定为A类”，
则.
(2)
设该农户采用方案一时每箱收入为，则可取，
而，，
，
故（元）
该农户采用方案二时，每箱的平均收入为，
因为，故采用方案二时收入更多.
2．（2022·山西·临县第一中学高三开学考试（文））某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：
(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；
(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据（2）的线性回归方程，预测日存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？
参考公式及数据：①，，②，．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)利率需上升0.8个百分
【解析】
【分析】
（1）进行数据分析，作出散点图；
（2）由表格数据可得，，套公式求出和，即可求出回归方程；
（3）根据回归方程列方程，即可求解.
(1)
如图所示；
(2)
由表格数据可得，，
所以，
，
故．
(3)
利率需上升x个百分点，由（2）得：
，
解得，
所以利率需上升0.8个百分．
3．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.
【答案】(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望是；
(3)升级方案合理.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件求出抽一件是一级品的概率，再利用对立事件、独立事件的概率公式计算作答.
(2)求出10件产品中二级品的数目，再求出的可能值及各个取值的概率，列出分布列，计算期望.
(3)由给定数据求出今年的利润，明年预计的利润，再比较大小作答.
(1)
抽取的100件产品是一级品的频率是，则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，
设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，
所以至少有一件产品是一级品的概率是.
(2)
依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，的可能值是，
，，，
所以的分布列为：
.
(3)
今年利润为：(万元)，
明年预计利润为：(万元)，显然有，
所以该次升级方案合理.
4．（2022·湖北武汉·高三阶段练习）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这200名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为，成绩在区间内的人数为，记，比较与的大小关系.
【答案】(1)69.5
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根据频率分布直方图估计平均数即可；
（2）由题知，，进而可能的取值为，进而根据二项分布与独立事件的乘法原理求解即可.
(1)
解：平均成绩为：.
(2)
解：成绩落在区间内的概率为，故.
成绩落在区间内的概率为，故，
，
由题意，可能的取值为，
.
故有.
5．（2022·河南·高三阶段练习（文））某地随着经济的发展，农民收入逐年增长，下表是该地一农商行连续五年的储蓄存款（年底余额）：
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表：
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2024年年底，该地储蓄存款额可达多少?
附：对于线性回归方程，其中．
【答案】(1)
(2)
(3)14.4百亿元
【解析】
【分析】
（1）根据已知公式，结合已知数据计算即可得回归方程；
（2）结合（1），根据已知关系代入整理即可得答案；
（3）将代入（2）中方程即可得答案.
(1)
解：依题意，，
，
所以；
(2)
解：由（1）可知：，
因为，所以
整理得
(3)
解：当，有，
因此，预测到2024年底，该地储蓄存款额可达到14.4百亿元．
6．（2022·山东临沂·一模）2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：
(1)请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；
②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值.
附：
参考公式：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
(2)①应从销售额不少于30万元的企业抽取3家；从销售额不足30万元的企业抽取2家；②解答见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意分析数据，完成列联表，计算，对着参数判断下结论；
（2）①利用分层抽样即可求解；②判断出X的可能取值为0，1，2.，分别求概率，写出分布列，求出数学期望.
(1)
由题意分析可得：签约企业共45家，线上销售时间不少于8小时的企业有20家，那么线上销售时间少于8小时的企业有25家，每天的销售额不足30万元的企业占，共有.
完成列联表如下：
所以.
对应的参数为6.635.而，所以可判断赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
(2)
①由题意可知销售额不少于30万元有27家，销售额不足30万元有18家.
按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，抽样比为，
所以应从销售额不少于30万元的企业抽取（家）；
从销售额不足30万元的企业抽取（家）；
②由题意进行数据分析可知：每天的销售额不足30万元，每天线上销售时间不少于8小时的企业有3家，线上销售时间少于8小时的企业有15家.
由①可知，从销售额不足30万元的企业抽取2家.所以X的可能取值为0，1，2.
则;;
.
所以X的分布列如下：
所以.
所以X的期望值为.
7．（2022·全国·模拟预测）2021年4月份以来新冠病毒变种“德尔塔”在全球肆虐，该病毒特征是传染性更强、更快、发病率高，某传染病研究所为研究新冠疫苗对新冠病毒变种“德尔塔”的有效性，在某疫区随机抽取100名居民，对其新冠疫苗接种情况和新冠病毒“德尔塔”感染情况进行调查与检测，对调查数据进行统计与分析得到列联表如下．
(1)根据题意补充上述列联表，并判定是否有99%的把握认为完成新冠疫苗接种对应对新冠变种“德尔塔”有效；
(2)从样本中没有感染新冠德尔塔病毒样本中按是否完成疫苗接种分层，用分层抽样方法抽取10个样本，再从这10个样本中随机抽取3人，这3人没有完成疫苗接种的人数为，求的分布列与数学期望．
附：．
【答案】(1)表格见解析，有
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据题意补全列联表，根据公式计算的值，根据表中的数值，进行判断即可；
（2）求出随机变量的可能取值为0，1，2，3，根据概率的计算公式求出每个取值所对应的概率，列出分布列，求出数学期望值．
(1)
由题知，列联表为
∴．
∵，
∴有99%的把握认为完成新冠疫苗接种对应对新冠变种“德尔塔”有效．
(2)
由题知，从样本中没有感染新冠德尔塔病毒样本中按是否完成疫苗接种分层抽取的10人中，完成新冠疫苗接种的为7人，没有完成新冠疫苗接种的为3人，
∴的可能取值为0，1，2，3，
∴，，
，，
∴的分布列为
∴．
8．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））某中学对高一年级学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了120名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成如图所示的列联表．
(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了6人．若从这6人中随机抽取2人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．
附表及公式：
其中，．
【答案】(1)有
(2)
【解析】
【分析】
（1）按照独立检验的公式填入相应的数据即可；
（2）古典概率问题可以用计数原理，也可以用枚举的方法求出基本事件即可.
(1)
由题中的数据补充列联表可得：
，
故有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．
(2)
所抽取的6名学生中女生2人，记为，，男生4人，记为，，，．
从这6人中选取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个．
其中至少有一名女生的基本事件有9个．所以，抽到的2人中至少有1名女生的概率；
9．（2022·重庆·高三开学考试）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．数字人民币（试点版）App已上架各大安卓应用商店和苹果AppStre．在数字人民币APP（试点版）上线后，消费者体验的热情高涨．数据显示，数字人民币个人钱包开立速度明显加快．交易规模正在迅速扩大．为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构对数字人民币的体验者进行了满意度评分调查（满分为100分），最后该公司共收回400份评分表，然后从中随机抽取40份（男女各20份）作为样本，绘制了如下茎叶图：
(1)求40个样本数据的中位数，并说明男性与女性谁对数字人民币体验的满意度更高；
(2)如果评分不小于的为“满意”，评分小于的为“不满意”，根据所给数据，完成下面的列联表，判断是否有95%的把握认为“满意度”与“性别”有关？
(3)若从样本中的男性体验者中，按对数字人民币满意度用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中抽取3人进行进一步调查，求被选中的3人中至少有2人对数字人民币不满意的概率．
附：．
【答案】(1)中位数，女性满意度更高
(2)列联表见解析，有95%的把握认为“满意度”与“性别”有关
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据茎叶图求得中位数，并分析男性和女性的满意度.
（2）填写列联表，计算的值并作出判断.
（3）利用古典概型概率计算公式计算出所求概率.
(1)
根据茎叶图可知，中位数为.
根据茎叶图可知，女性评分大都在分，男性评分大都在分，所以女性满意度更高.
(2)
列联表如下：
所以，
所以有95%的把握认为“满意度”与“性别”有关.
(3)
抽取的人中，有人满意、人不满意，
所以从这10人中抽取3人中至少有2人对数字人民币不满意的概率为.
10．（2022·全国·高三专题练习（理））小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为单.若将频率视为概率，回答下列问题：
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.
【答案】(1)，
(2)①，②答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出所求的函数关系式；
（2）①根据频率直方图可求得派送量指标的平均数；
②先由频率直方图求出甲、乙两种方案的日薪的分布列，根据期望公式求得其数学期望，比较可得结论.
(1)
解：甲：，乙：，
故为 ，；
(2)
解：①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，
故平均数；
②甲方案：X的分布列为：
，
乙方案：X的分布列为：
，
乙的期望更高，故选择乙方案.
11．（2022·北京八中高三开学考试）某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从以下两个条件中任选一个作答：当为何值时的值最大？（直接写出答案，不用写出解答过程.若选择多个条件作答，以第一个为准.）
①从所有参加考试的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数恰为3人的概率为；
②从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得等级的人数恰为人的概率为.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，；
(3)选①；选②；
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质计算可得；
（2）由题意可推得，所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列，再结合期望公式，即可求解．
（3）若选①则，当时直接求出概率，当时，由，解出不等式，即可求出的值；
若选②则，再根据得到不等式组，即可求出的值；
(1)
解：由频率分布直方图的性质可得，，解得；
(2)
解：，，的三组频率之比为，
从，，中分别抽取7人，3人，1人，
所有可能取值为0，1，2，3，则，，
，，
故的分布列为：
故．
(3)
解：依题意等级的概率为，
若选①，则，当时，
当时则，即，解得，因为，所以，即当时，取得最大值；
若选②，依题意，所以，所以，即，即，解得，因为，所以；
12．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作一一强基计划．现某机构对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表：
(1)由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩与数学成绩之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；
(2)在这次物理强基课程的测试中，剔除缺考考生的物理成绩后，剩余这10名学生物理成绩的统计数据如茎叶图所示．若采用分层抽样的方法从男生和女生中抽取5人，再从这5人中抽取3人参加学校组织的关于强基计划的访谈调查，求抽出的学生中恰好有一名女生的概率．
附：参考公式：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
参考数据：（剔除零分前）
上表中的表示样本中第名考生的数学成绩，表示样本中第名考生的物理成绩．
【答案】(1)；；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定数据求出剔除异常数据后的及，利用最小二乘法计算并求出回归直线方程，并估计物理成绩.
(2)利用分层抽样求出被抽6人中男女生人数，再用列举法求解概率作答.
(1)
令出现异常数据的考生为第11名，
剔除异常数据后的数学平均分为，
剔除异常数据后的物理平均分为，
又因为，，
设根据剔除后数据建立的关于的回归直线方程为，
则有，
因此所求回归直线方程为，又物理缺考考生的数学成绩为120，
所以估计其可能取得的物理成绩为．
(2)
由茎叶图可知，男生有6人，女生有4人，采用分层抽样的方法抽取5人，
则男生应抽取3人，记这3名男生为；女生应抽取2人，记这2名女生为，
从这5人中随机抽取3人一共有10种，它们为：
，，
其中抽出的学生中恰好有一名女生包括6种情况，
所以所求事件的概率为．
13．（2022·江西九江·一模（文））温度传感器（集成温度传感器）是一种采用大规模数字集成电路技术的温度传感器，集成了温度传感电路和信号处理电路，可检测芯片温度和环境温度，具有低成本、低功耗、高精度和线性度强的优点，广泛用于环境、医疗、制造业、化工、能源、气象、仓储、冷藏、冰柜、恒温恒湿生产车间、办工场所等领域.下表是通过对某型号高精度温度传感器的芯片温度与输出电压进行初步统计得出的相关数据：
(1)已知输出电压与芯片温度之间存在线性相关关系，求出其线性回归方程；（精确到小数点后两位）
(2)已知输出电压实际观察值为，估计值（拟合值）为，以上述数据和（1）中的线性回归方程为依据，.若满足，则可判断该高精度温度传感器IC工作正常；若不满足，则可判断工作不正常.现某该型号温度传感器在芯片温度为时，其输出电压为，判断该温度传感器工作是否正常.
参考数据：，.
附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】(1)；
(2)工作不正常，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出、的值，利用最小二乘法公式结合参考数据求出、的值，可得出回归直线方程；
（2）计算出的值，以及当温度为时，输出电压的估计值，结合题中条件进行验证即可得结论.
(1)
解：由表得，，
，，
所以，输出电压与芯片温度之间线性回归方程为.
(2)
解：由（1）可得：时，，,
时，，，
时，，，
时，，，
时，，，
所以，，
当时，，
，
因此，该温度传感器工作不正常.
14．（2022·安徽合肥·高三期末（理））某地积极响应“大众创业，万众创新”的号召，规划建设创新小镇，吸引人才投资兴业.下
表是自创新小镇建设以来，各年新增企业数量的有关数据：
(1)为了解这些企业在2021年被认定的企业类型，随机调查了10家企业，其中被认定为小微企业的有8家，试估计这些企业在2021年被认定为小微企业的数量；
(2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2022年这个创新小镇新增企业的数量.
参考公式：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，.
【答案】(1)家；
(2)，估计2022年这个创新小镇新增企业的数量约为54家.
【解析】
【分析】
（1）由题可知估计总体中被认定为小微企业的概率为0.8，即求；
（2）利用线性回归直线公式即求.
(1)
在抽取的样本中，被认定为小微企业的频率为0.8，以此估计总体中被认定为小微企业的概率为0.8，
∵2016-2020年该创新小镇新增企业数共有120家，
∴估计2021年被认定为小微企业的共有家.
(2)
由表中数据计算得，，
，
，
，，
所以，
2022年，即当时，由线性回归方程可得，
所以，估计2022年这个创新小镇新增企业的数量约为54家.
15．（2022·全国·高三专题练习）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如表：
（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合与的回归模型，并用相关系数甲乙说明；
（Ⅲ）建立关于的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？．
附注：参考数据：，，．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，．
【答案】（1）见解析（2）可以用线性回归模型拟合与的关系．（3）第5年的销售量约为71万件．
【解析】
【详解】
【试题分析】（1）依据题设条件中的表格中的数据作为坐标在平面直角坐标系中将点画出即为散点图；（2）先借助问题（1）中的散点图推断这些点位于一条直线的周围，再运用平均数公式求纵横坐标的平均数，进而运用公式求相关系数；（3）先借助（2）的结论求出线性回归方程中的，得到回归方程，再运用回归方程进行分析求解：
解：（Ⅰ）作出散点图如图：
（Ⅱ）由（Ⅰ）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：
，，，，，，，
．
∵与的相关系数近似为0.9996，说明与的线性相关程度相当大，
∴可以用线性回归模型拟合与的关系．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，，，，，
，，
故关于的回归直线方程为，
当时，，
所以第5年的销售量约为71万件．
A1
A2
合计
B1
a
c
a+c
B2
b
d
b+d
合计
a+b
c+d
n=a+b+c+d
0
1
2
年份
1997-2016
2007-2016
线性回归模型
0.9306
指数回归模型
0.9899
0.978
时间（月份）
1
2
3
4
5
6
收入（百万元）
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
3.50
21.15
2.85
17.50
125.35
6.73
1
2
3
参加过直播带货
未参加过直播带货
总计
女性
90
30
120
男性
50
30
80
总计
140
60
200
0.15
0.10
0.05
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
X
0
1
2
3
P
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
15
22
27
40
48
54
60
68.5
68
67.5
66
65
回归模型
模型①
模型②
回归方程
79.13
20.2
序号
1
2
3
4
5
6
7
x
2
3
4
6
8
10
13
y
15
22
27
40
48
54
60
回归模型
模型①
模型②
79.31
20.2
等级
四级品
三级品
二级品
一级品
脆红李横径/mm
利率上升百分点
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
日均存款总额y（亿元）
0.2
0.35
0.5
0.65
0.8
0
1
2
年份x
2017
2018
2019
2020
2021
储蓄存款y（百亿元）
6
7.5
8
9.5
11
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1.5
2
3.5
5
销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
17
20
线上销售时间不足8小时
合计
45
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
销售额不少于30万元
销售额不足30万元
合计
线上销售时间不少于8小时
17
3
20
线上销售时间不足8小时
10
15
25
合计
27
18
45
X
0
1
2
P
没有感染德尔塔病毒
感染德尔塔病毒
合计
未完成疫苗接种
15
63
完成疫苗接种
2
合计
50
100
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
没有感染德尔塔病毒
感染德尔塔病毒
合计
未完成疫苗接种
15
48
63
完成疫苗接种
35
2
37
合计
50
50
100
0
1
2
3
良好以下
良好及以上
合计
男
40
女
10
合计
90
120
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
良好以下
良好及以上
合计
男
40
20
60
女
50
10
60
合计
90
30
120
是否满意
性别
满意
不满意
合计
女性
男性
合计
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
是否满意
性别
满意
不满意
合计
女性
男性
合计
X（日薪）
152
154
156
158
160
P(概率)
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
X（日薪）
140
140
180
220
260
P（概率）
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
0
1
2
3
数学成绩
46
79
89
99
109
116
120
123
134
140
物理成绩
50
54
60
63
66
68
70
0
73
76
80
1120
660
68586
122726
芯片温度
输出电压测量值
年份（年）
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码（）
1
2
3
4
5
新增企业数量（）
8
17
29
24
42
1
2
3
4
12
28
42
56