河南省信阳市商城县丰集高级中学2024-2025学年高三下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省信阳市商城县丰集高级中学2024-2025学年高三下学期开学数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了100，024，635，879等内容，欢迎下载使用。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，或，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的图象在区间上的对称轴方程为（ ）
A B. C. D.
3. 在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（ ）
A. 平面B. 平面
C. 平面D. 平面
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数，若，则（ ）
A. 或B. 或C. D.
7. 古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（ ）

A. B. 1C. D. 2
8. 已知复数满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 工厂质检科从标准质量为的一批奶粉中，随机抽查了100袋，测得的质量数据如下表（单位：）：（ ）
A. 这100袋产品质量的中位数为
B. 这100袋产品质量极差介于到之间
C. 这100袋产品质量的75%分位数为
D. 这100袋产品质量的平均数大于
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
11. 记的内角，，的对边分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，满足，，，则_____．
13. 已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为_____．（用数字作答）
14. 已知为坐标原点，椭圆方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知双曲线的离心率为，点在上，为的左顶点，为的右焦点．
（1）求的方程并求点到直线的距离；
（2）把直线绕点顺时针旋转得到直线，求的方程．
16. 如图，在圆台中，，分别是上、下底面的直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，．

（1）证明：平面；
（2）若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
17. 生物工程科研小组为研究某显性基因与患疾病之间的关系，从某地区基因信息库中随机抽取了2000份，得到如下数据：
（1）依据小概率值独立性检验，能否认为患有疾病与携带显性基因有关？请说明理由；
（2）用频率估计概率，在所有参加调查者中按是否携带显性基因进行分层抽样，并随机抽取了20份基因样本，再从这20份样本中随机抽取2份样本进行家族患病史分析，记2份基因样本中来自于携带显性基因且患疾病的份数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的一个极大值点．
（i）证明：；
（ii）设，，是的3个极值点，若存在，使得，，，成递增的等差数列，求该等差数列的公差．
19. 已知为不小于3的整数，数列和为两个不同的数列．若和满足，，，且，则称和关于相伴．
（1）若，写出一组，，，使得和关于3相伴；
（2）是否存在和关于相伴，且关于相伴？并说明理由；
（3）证明：若和关于相伴，则存正整数，使得对任意，．
2025届高三检测数学
本试卷4页．总分150分．考试时间120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，或，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式可求得集合，再由交集和并集、补集的运算可判断结果.
【详解】由题意可得，，所以A错误；
又或，可得或，所以B错误；
因为，所以或，所以C错误；
因为，所以，所以D正确．
故选：D
2. 函数的图象在区间上的对称轴方程为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用整体思想，结合正弦函数的对称轴，建立方程，可得答案.
【详解】令，解得，当时，，
故函数在区间上的对称轴方程为．
故选：D.
3. 在正四棱锥中，E，F，G分别是棱，，的中点，是底面的中心，则（ ）
A. 平面B. 平面
C. 平面D. 平面
【答案】C
【解析】
【分析】令，利用线面平行的判定推理判断CD；证明与相交不垂直判断AB.
【详解】在正四棱锥中，，令，连接，
在中，由E，F分别是边的中点，得，是线段的中点，
而为的中点，则，又平面，平面，
因此平面，C正确，D错误；
由平面，平面，得，与相交不垂直，
又，且平面，因此与相交不垂直，AB错误.
故选：C
4. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的解，再利用充分条件与必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】因为，
当时，，充分性成立；
由，得或，，
即或，，显然不一定成立，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
5. 已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得每个选项中函数的解析式，利用奇函数的定义一一判断，即可确定答案.
【详解】对于A，，定义域为R，
则，即不是奇函数；
对于B，，定义域为R，
则，即不是奇函数；
对于C，，定义域为R，
，即为奇函数，C正确；
对于D，，定义域为R，
，即不是奇函数，
故选：C
6. 设函数，若，则（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析分段函数的单调性，结合单调性化简，求出，由此可求结论.
【详解】当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
又，若，此时，不合题设，
所以，即，
由，可得，
整理得，解得或（舍去），
所以．
故选：C.
7. 古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（ ）

A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先设点的坐标，再联立抛物线计算求解点，最后应用平行线距离计算求解.
【详解】由题意得，，，，
设点D，E的坐标分别为，，
直线AD：，联立抛物线方程得，
得，解得，，所以，
同理直线BD：，联立抛物线方程得，
得，解得，，可得，
所以两条反射光线，之间的距离．
故选：B.
8. 已知复数满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将代入化简得，可得复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，则可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率，结合图形可求得答案.
【详解】因为，所以，整理得，
故复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．
又可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率，
如图，直线与单位圆分别切于点，，
因为和都为锐角，
所以，
所以，即的最大值为．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 工厂质检科从标准质量为的一批奶粉中，随机抽查了100袋，测得的质量数据如下表（单位：）：（ ）
A. 这100袋产品质量的中位数为
B. 这100袋产品质量的极差介于到之间
C. 这100袋产品质量的75%分位数为
D. 这100袋产品质量的平均数大于
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据中位数、极差、百分位数、平均数的定义一一判断求解.
【详解】对于A，产品质量的中位数落在上，不可能为，故A错误；
对于B，极差最大为=，最小为=，故B正确；
对于C，75%分位数落在上，设为，则，解得，故C正确；
对于D，由频数分布表可得，平均数大于等于，所以D正确．
故选：BCD.
10. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用的单调性得出，再将作商法、指数函数的单调性相结合即可.
【详解】因为，所以，
对于A，所以，所以，故A正确；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，，因为，，所以，所以，故C正确；
对于D，因为，又因为，所以，故D错误．
故选：AC
11. 记的内角，，的对边分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用几何关系得，结合条件及正弦定理可得，即可求解；对于B，在边上取一点，使得，结合条件得，，在中，利用正弦定理，即可求解；对于C，利用选项A和B中结论，通过变形，即可求解；对于D，利用C中结果得，再结合，即可求解.
【详解】对于选项A，如图，易知，又，
由正弦定理可知，即，
故，故A错误，
对于选项B，在边上取一点，使得，
则，，，
故，，在中，由正弦定理可得，即，
故，即，故B正确；
对于选项C,由选项A知，
故，即，得到，
又由选项B知，，可得，
故，即，故C正确；
对于选项D，由选项C知，
故，即，得到，
又，可得，故D正确．

故选：BCD.
【点睛】关键点点晴，本题关键在于利用几可关系得到，再利用正、余弦定理来解决问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 已知向量，满足，，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算及已知可得，再由运算律求即可.
【详解】根据题意有，故，
所以，．
故答案为：.
13. 已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为_____．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】结合二项式定理展开式的通项公式求二项式的通项公式，由条件列方程求，再确定常数项的项数及常数项.
【详解】二项式的展开式的通项公式为
，，
所以的展开式中第三项和第四项的二项式系数分别为，，
由题意知，解得，
所以展开式的通项为，
令，得，所以常数项为．
故答案为：.
14. 已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____．
【答案】或2
【解析】
【分析】首先利用坐标表示，再坐标表示平行四边形的向量关系，利用点在椭圆上，结合离心率，即可求解.
【详解】设，，
因为，所以，设，
因为，所以所以，即，
因为，且，所以，
当，即时，表示焦点在轴上的椭圆，
此时，，，，此时由得或（舍去）；
当，即时，表示焦点在轴上的椭圆，
此时，，，，此时由得或（舍去）．
综上所述，或．
故答案为：或2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知双曲线的离心率为，点在上，为的左顶点，为的右焦点．
（1）求的方程并求点到直线的距离；
（2）把直线绕点顺时针旋转得到直线，求的方程．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出，再利用面积法求出距离.
（2）利用差角的正切公式求出直线的，再利用直线的点斜式方程求出的方程.
【小问1详解】
依题意，，即，由点在上，得，
解得，，即，，半焦距，因此双曲线的方程为，
点，，在中，设点到直线的距离为，
由，解得，
所以点到直线的距离为.
【小问2详解】
记直线，的倾斜角分别为和，由（1）得直线的斜率，
而，则直线的斜率，
所以直线的方程为.
16. 如图，在圆台中，，分别是上、下底面的直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，．

（1）证明：平面；
（2）若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明平面平面，即可证平面，结合证明，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设点S的坐标，利用空间角的向量求法，即可求出S点坐标，从而求得答案.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，
所以平面平面，
因为，，，
所以≌，
所以，
所以，
又因为平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
又因为，，所以四边形为菱形，
在直角梯形中，，
则，故，
所以为等边三角形，
又因为为中点，所以，
又因为平面平面，且平面，
所以平面．
【小问2详解】
解：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
结合（1）可知，

则，，，，
所以，
由（1）知平面，所以平面的一个法向量可取为，
设，则，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面与平面所成的角为，
因为，所以，
所以，
所以，所以，，
所以点的坐标为或，
此时．
17. 生物工程科研小组为研究某显性基因与患疾病之间的关系，从某地区基因信息库中随机抽取了2000份，得到如下数据：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为患有疾病与携带显性基因有关？请说明理由；
（2）用频率估计概率，在所有参加调查者中按是否携带显性基因进行分层抽样，并随机抽取了20份基因样本，再从这20份样本中随机抽取2份样本进行家族患病史分析，记2份基因样本中来自于携带显性基因且患疾病的份数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）有关，理由见解析
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据列联表中的数据代入公式计算求解即可；
（2）先根据分层抽样确定携带显性基因的样本有3份，不携带显性基因的样本有17份，再由频率估计概率知携带显性基因患病的概率为，不患病的概率为，进而确定可能的取值，再结合全概率公式求出分布列，进而求解期望.
【小问1详解】
零假设为：分类变量与相互独立，即患有疾病与携带显性基因无关，
根据列联表中的数据，可以计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为患有疾病与携带显性基因有关，此推断犯错误的概率不大于．
【小问2详解】
因为携带显性基因与不携带显性基因的比为，
所以由分层抽样知，随机抽取的20份样本中，
携带显性基因的样本有3份，不携带显性基因的样本有17份．
根据频率估计概率知，携带显性基因患病的概率为，不患病的概率为，
从选出的20份样本中随机抽取2份，则可能的取值为0，1，2．
“2份被抽取的基因样本中，恰好抽到份携带显性基因”记为事件，
则，
“抽取的2份基因样本中来自于携带显性基因且患疾病的样本恰好为份”记为事件，
则，，，，
，，
所以
，
，
，
故的分布列如下：
．
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的一个极大值点．
（i）证明：；
（ii）设，，是的3个极值点，若存在，使得，，，成递增的等差数列，求该等差数列的公差．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求得切线斜率，即可求解；
（2）（i）求导，构造函数，由是的一个极大值点，得到，即可求解；
（ii）由等差数列概念得到，求得，进而可求解；
【小问1详解】
解：当时，，则，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
【小问2详解】
（i）证明：由题意得，
记，，
当时，即恒成立，
易知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以是的一个极小值点，不合题意，舍去；
当时，得或，
所以有两个不同的根，，不妨设，
依题意：若是的一个极大值点，则必有，
此时，
即，所以，得证；
（ii）解：由（i）知，，
，
因为，，，成等差数列，
所以，
故，
此时，，，成等差数列，
所以，解得，
整理得，解得或，
又因为，或，所以，
又，即，
所以，
所以该数列的公差为．
19. 已知为不小于3的整数，数列和为两个不同的数列．若和满足，，，且，则称和关于相伴．
（1）若，写出一组，，，使得和关于3相伴；
（2）是否存在和关于相伴，且关于相伴？并说明理由；
（3）证明：若和关于相伴，则存在正整数，使得对任意，．
【答案】（1），，（答案不唯一）
（2）不存在，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，进而结合新定义可得，写出满足要求的答案即可；
（2）先假设存在，进而推导出矛盾，即可求证；
（3）结合新定义求证即可.
【小问1详解】
由，则，，，
则，要使和关于3相伴，则，
则，，（答案不唯一）
【小问2详解】
不存在，理由如下：
假设存在和关于相伴，且关于相伴，
则，，，，，
且，．
故，，，．
又，，故．
同理有，，这与和为两个不同的数列矛盾，所以假设不成立．
故不存在和关于相伴，且关于相伴.
【小问3详解】
证明：设，，集合．
记，，，
则，，
故．
所以当时，对任意，，
即，，，，
又
，
，，，，
故对上述的，存在，使得对任意，．
对任意，设，其中，且，
因为，，，且，
故对任意．
【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
质量
频数
11
25
28
20
12
4
患疾病
不患疾病
合计
携带显性基因
100
200
300
不携带显性基因
440
1260
1700
合计
540
1460
2000
0．100
0．050
0．025
0．010
0．005
0．001
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
质量
频数
11
25
28
20
12
4
患疾病
不患疾病
合计
携带显性基因
100
200
300
不携带显性基因
440
1260
1700
合计
540
1460
2000
0．100
0．050
0．025
0．010
0．005
0．001
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
0
1
2