2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高二（上）期末数学试卷（A卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高二（上）期末数学试卷（A卷）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x| xan(n∈N∗).
(1)求△OC2C3的周长；
(2)证明：{ 2+an 2−an}为等比数列；
(3)证明：对任意正整数n(n≥2)，i=12n−11ai+1> 2n−1an+1．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.B
5.D
6.C
7.C
8.B
9.BCD
10.ACD
11.BD
12.−23
13.4
14.8
15.解：(1)若选①：因为数列{an}是等比数列，设公比为q，
因为S2=6，且4a2，2a3，a4成等差数列，
所以a1+a1q=64a1q+a1q3=4a1q2，解得a1=2，q=2，
所以an=2×2n−1=2n；
若选②：因为数列{an}是递增的等比数列，且a1a4=32，a2+a3=12，
所以a1a4=a2a3=32a2+a3=12，所以a2=4,a3=8,q=a3a2=2，
所以an=a2qn−2=4×2n−2=2n；
若选③：因为Sn=2an−2，所以Sn−1=2an−1−2(n≥2)，
两式相减可得：an=2an−2an−1，即an=2an−1，
又n=1时，a1=2，所以anan−1=2(n≥2)，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an=2×2n−1=2n；
(2)因为bn=1024an=10242n=210−n，
Tn=b1b2b3⋯bn=29⋅28⋅27⋯210−n=2(9+10−n)n2=2n(19−n)2，
由复合函数单调性可知，当n≤9且n∈N∗时，Tn单调递增；
当n≥10且n∈N∗时，Tn单调递减；
故当n=9或n=10时，Tn最大，Tn(max)=T9=T10=245．
16.解：(1)由题意，f(x)= 34sin2x−12cs2x，
则f(x)= 34sin2x−12cs2x+12=12(sin2xcsπ6−cs2xsinπ6)−14=12sin(2x−π6)−14，
在△ABC中，由f(A2)=0，得12sin(A−π6)=14，
则sin(A−π6)=12，
由0an(n∈N∗).
(1)因为圆C2，圆C3与x轴均相切，且圆Cn的圆心坐标为Cn(an,bn)，
所以圆C2的半径为b2，圆C3的半径为b3，
又圆C2，圆C3均与半圆O相内切，圆C2与圆C3相外切，
所以|OC2|= 2−b2，|OC3|= 2−b3，|C2C3|=b2+b3，
所以△OC2C3的周长为|OC1|+|OC2|+|OC|=2 2；
(2)证明：依题意，有|OCn|= 2−bn，|OCn+1|= 2−nn+1，|CnCn+1|=bn+bn+1，
可得 an2+bn2= 2−bn an+12+bn+12= 2−bn+1 (an−an+1)2+(bn−bn+1)2=bn+bn+1，
上面各式两边平方，消去bn，bn+1得(an−an+1)2=(2−an2)(2−an+12)2，
整理，得4(an2+an+12)=(2+anan+1)2，
两边同时减去8anan+1，得4(an+1−an)2=(2−anan+1)2，
依题意，易得0≤an≤ 2，所以2(an+1−an)=2−anan+1，
即an+1=2an+2an+2，
所以 2+an+1 2−an+1= 2+2an+2an+2 2−2an+2an+2=(3+2 2)⋅ 2+an 2−an，
所以{ 2+an 2−an}为等比数列，首项为1，公比为3+2 2；
(3)证明：由等比数列的通项公式得， 2+an 2−an=(3+2 2)n−1,an= 2⋅(3+2 2)n−1−1(3+2 2)n−1+1，
令q=3+2 2，则当n≥2时，1an=qn−1+1qn−1−1⋅1 2，
要证i=12n−11ai+1> 2n−1an+1(n≥2)，
即证(1a2+1a2n)+(1a3+1a2n−1)+⋯+(1an+1+1an+1)>n⋅ 2an+1，
当k≥2时，1ak+1a2n−k+2=(qk−1+1qk−1−1+q2n−k+1+1q2n−k+1−1)⋅1 2
≥ 2 (qk−1+1)⋅(q2n−k+1+1)(qk−1−1)⋅(q2n−k+1−1)(当且仅当k=n+1时，等号成立)
= 2 q2n+(qk−1+q2n−k+1)+1q2n−(qk−1+q2n−k+1)+1
≥ 2 q2n+2 qk−1⋅q2n−k+1+1q2n−2 qk−1⋅q2n−k+1+1(当且仅当k=n+1时，等号成立)
= 2 q2n+2qn+1q2n−2qn+1= 2qn+1qn−1= 2an+1，
所以(1a2+1a2n)+(1a3+1a2n−1)+⋯+(1an+1+1an+1)>n⋅ 2an+1，
i=12n−11ai+1> 2n−1an+1(n≥2)得证．