2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高二（上）期中数学试卷（B卷）（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高二（上）期中数学试卷（B卷）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.满足条件{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4}的集合A的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.在四面体OABC中，OA+AB+BC−AC=( )
A. OCB. OAC. ABD. AC
3.已知向量a=(csθ,13)，b=( 7,tanθ)，且a//b，则cs2θ=( )
A. −59B. 59C. − 73D. 73
4.棣莫佛定理：若复数z=r(csθ+isinθ)，则zn=rn(csnθ+isinnθ)，计算(12+ 32i)3=( )
A. −1B. −12+ 32iC. −12− 32iD. 12− 32i
5.已知a=(12)12，b=(13)13，c=(12)13，d=(13)12，则( )
A. a>b>c>dB. c>a>b>dC. a>c>b>dD. c>a>d>b
6.已知平面α经过点A(0,1,2)，且法向量为(−2,1,−1)，P(x,y,z)是平面α内任意一点，则( )
A. x+y−z=0B. x+y−z=−1C. 2x−y+z=0D. 2x−y+z=1
7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的表面积为( )
A. 100π
B. 500π3
C. 50π
D. 200π
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积S=a24，则b2+c2bc的取值范围是( )
A. [2, 5]B. [2, 6]C. [2,2 2]D. [2,3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，则下列说法正确的是( )
A. |AC|= 6
B. AB与BC是共线向量
C. AB和AC夹角的余弦值是1
D. 与BC同向的单位向量是(−3 1111, 1111, 1111)
10.若圆x2+y2−2x−6y+a=0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x+4y+5=0的距离为2，则实数a可能为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数f(x)=1,x∈Q,0,x∈∁RQ,被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，以下命题正确的是( )
A. 对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1
B. 函数f(x)是偶函数，且函数f(x)的值域是[0,1]
C. 若T≠0且T为有理数，则f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立
D. 在f(x)图象上存在不同的三个点A，B，C，使得△ABC为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为16，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的标准差为______．
13.若a,b,c为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则|a+2b−3c|= ______．
14.直线(m+2)x+(m−1)y−5m−1=0与圆x2+y2=16交于A，B两点，则OA⋅OB(O为坐标原点)的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA−sinBc−b=sin(A+B)a+b．
(1)求角A；
(2)求sinB+sinC的取值范围．
16.(本小题15分)
某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第1次拨号接通电话；
(2)第3次拨号才接通电话；
(3)拨号不超过3次而接通电话．
17.(本小题15分)
2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示．
(1)根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；
(2)现在从年龄属于[25,30)和[40,45)的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．
18.(本小题17分)
已知圆心为C的圆经过点A(3,−1)和B(2,6)且圆心C在直线x+y−1=0上．
(Ⅰ)求圆C的标准方程；
(Ⅱ)过点M(4,1)作圆的切线，求切线方程；
(Ⅲ)求直线上y=2x−1被圆C所截得的弦长|MN|．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，AD⊥平面PAB，PA=PB=AB=AD，E为PB的中点，AE//平面PCD．
(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；
(2)求平面PCD与平面PAB所成的角的正弦值．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.B
6.D
7.A
8.C
9.AD
10.BC
11.ACD
12.8
13. 21
14.[−16,10]
15.解：(1)由题意，sinA−sinBc−b=sin(A+B)a+b=sinCa+b，
由正弦定理得：a−bc−b=ca+b，
即b2+c2−a2=bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=12，
又A∈(0,π)，
所以A=π3；
(2)由A=π3，可得C=2π3−B，
所以sinB+sinC=sinB+sin(2π3−B)=32sinB+ 32csB= 3sin(B+π6)，
因为0