2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二下学期2月开学联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省部分学校教学联盟高二下学期2月开学联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线l1:mx+y−4=0与l2:(m+2)x+my+4=0平行，则实数m的值为( )
A. −3或0B. −1C. −1或2D. 2
2.在数列an中，a1=2，an+1an−1=1(n≥2,n∈N∗)，则a2025=( )
A. −1B. 1C. 12D. 2
3.设函数fx满足limΔx→0fx0−2Δx−fx0Δx=2，则f′x0=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.已知直线l的斜率k∈−1, 3，则l的倾斜角的取值范围为( )
A. π3,3π4B. π6,3π4C. 0,π3∪3π4,πD. 0,π6∪3π4,π
5.下列关于空间向量的命题中，错误的是( )
A. 若向量a、b与空间任意向量都不能构成空间向量的一组基底，则a//b；
B. 若非零向量a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则有a//c；
C. 若OA、OB、OC是空间向量的一组基底，且OD=13OA+13OB+13OC，则A、B、C、D四点共面；
D. 若向量a+b、b+c、c+a是空间向量的一组基底，则a、b、c也是空间向量的一组基底．
6.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=3，点M满足AM=23AB，则点M到直线A1D的距离为( )
A. 22B. 32C. 3 22D. 3 32
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为F1,F2，点P,Q在C上，若PQ=3PF2，且∠PQF1=∠PF1Q，则椭圆C的离心率为( )
A. 13B. 33C. 12D. 32
8.斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设an为斐波那契数列，a1=1,a2=1,an=an−1+an−2(n⩾3,n∈N∗)，其通项公式为an=1 5[(1+ 52)n−(1− 52)n]，设n是lg2[(1+ 5)x−(1− 5)x]0,a50B. d>0
C. 当Sn>0时，n的最大值为9D. 当n=4时，Sn取得最大值
10.已知圆C：x2+y2+4x=0，P是直线l：4x+3y−7=0上的一动点，过点P作直线PA，PB分别与C相切于点A，B，则( )
A. 存在圆心在l上的圆与C相内切B. 四边形PACB面积的最小值为2 5
C. AB的最小值是2 3D. 点2,3关于l的对称点在C内
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，N是棱DD1上的动点(含端点)，则下列说法中正确的是( )
A. 三棱锥A1−AMN的体积为定值
B. 若N是棱DD1的中点，则过A、M、N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面图形的周长为7 52
C. 若CN与平面AB1C所成的角为θ，则sinθ∈ 33, 63
D. 若N是棱DD1的中点，则四面体D1−AMN的外接球的表面积为14π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘，AB=AD=AA1=2，若M为A1D1中点，则BM= ．
13.已知函数fx=x3−3x+1，则函数fx在区间−2,2上的最大值与最小值之差为
14.已知直线y=kx+b(k∈R,b≠0)是曲线f(x)=ex−1与g(x)=1+lnx的公切线，则k+b= ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在六面体ABCDEF中，DF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60∘，AD=DF=2，CE=1．
(1)证明：平面ADF//平面BCE；
(2)求直线AF与平面BEF所成角的正弦值．
16.(本小题12分)
已知Sn为数列an的前n项和，满足Sn=2an−1，n∈N∗.数列{bn}是等差数列，且b1=a1，b2+b4=6．
(1)求数列an和{bn}的通项公式;
(2)设cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,求数列{cn}的前20项和．
17.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点A1,32在椭圆E上，AF⊥x轴．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当△AMN的面积为9时，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知函数fx=−2lnx+ax+xa∈R．
(1)若a=0，求曲线y=fx在x=1处切线方程；
(2)讨论y=fx的单调性；
(3)若x≥1时，fx≥1x−x恒成立，求实数a的取值范围
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，点T到点F(2,0)的距离与到直线x=1的距离之比为 2，记T的轨迹为曲线E．
(1)求E的标准方程；
(2)若直线l1过点(2,0)交E右支于A，B两点，直线l2过点(8,0)且交E的右支于C、D两点，且l1//l2记AB，CD的中点分别为P，Q，过点Q作E两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，
(i)证明：O、P、Q三点共线；
(ii)求四边形PMQN面积的取值范围．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.C
5.B
6.C
7.B
8.A
9.AD
10.ABD
11.ACD
12. 5
13.4
14.e−1
15.解：(1)因为DF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，
所以DF//CE．
又DF⊂平面ADF，CE不在平面ADF内，
所以CE//平面ADF．
因为BC//AD，AD⊂平面ADF，BC不在平面ADF内，所以BC//平面ADF．
又CE∩BC=C，CE,BC⊂平面BCE，所以平面ADF//平面BCE；
(2)如图，连接AC，BD交于点O，取BF的中点G，
因为G、O分别为BF、BD的中点，所以OG//DF，
又DF⊥平面ABCD，所以OG⊥平面ABCD，
又因为ABCD为菱形，所以OB⊥OC，
故以O为坐标原点，OB，OC，OG所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,− 3,0，B1,0,0，E0, 3,1，F−1,0,2，
所以BF=−2,0,2，BE=−1, 3,1，AF=−1, 3,2．
设平面BEF的法向量为m=x,y,z，
则m⋅BF=0m⋅BE=0，即−2x+2z=0−x+ 3y+z=0，取m=1,0,1．
设直线AF与平面BEF所成的角为θ，
则sinθ=csAF,m=AF⋅mAFm=−1+2 8× 2=14，
即直线AF与平面BEF所成角的正弦值为14．

16.解：(1)因为Sn=2an−1，n∈N∗，①
所以有a1=1，Sn+1=2an+1−1.②
②−①得an+1=2ann∈N∗．
所以数列{an}成以1为首项，以2为公比的等比数列．
所以an=2n−1．
又数列{bn}是等差数列，且b1=a1，b2+b4=6．
所以b1=1，d=1．
所以bn=n．
(2)因为cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,
设数列{cn}的前2n项和为T2n，
所以T2n=a1+b2+a3+b4+⋯+a2n−1+b2n
=(a1+a3+⋯+a2n−1)+(b2+b4+⋯+b2n)
=20+22+⋅⋅⋅+22n−2+2+4+⋅⋅⋅+2n
=4n3+n2+n−13．
故T20=410−13+110

17.解：(1)∵AF⊥x轴，∴c=1，
又∵点A(1,32)在曲线上，
∴1a2+94b2=1
∴a=2，b= 3
∴椭圆E的方程为x24+y23=1
(2) ①当直线l的斜率不存在时，不符合题意；
②设直线l的方程为y=kx+2，B(x1,y1)，C(x2,y2)
直线l方程与椭圆方程联立得(3+4k2)x2+16kx+4=0，
Δ=(16k)2−16(3+4k2)=192k2−48，Δ>0，得k>12或k0，即a>−1时，则方程x2−2x−a=0有两个不相等的实根x1=1− 1+a，x2=1+ 1+a，
且x10，
若x1=1− 1+a≤0，即a≥0，令f′x>0，解得x>x2；f′x