中考数学——几何压轴突破（一）四边形压轴(18种题型汇总+专题训练)(含答案)

这是一份中考数学——几何压轴突破（一）四边形压轴(18种题型汇总+专题训练)(含答案)，共267页。
【题型汇总】
【命题预测】四边形在中考数学中是占比较大 考察内容主要有各个特殊四边形的性质 判定、以及其应用:考察题型上从选择到填空再到解答题都有 题型变化也比较多样,并且考察难度也都是中等和中等偏上 难度较大,综合性比较强 所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准确掌握其性质与判定并且会在不同的结合问题上注意和其他考点的融合.
题型01 选/填压轴题之动态函数图像问题
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ−DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（ ）
A．423B．83C．734D．114
2．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M、作PN⊥BC于点N，连接MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ）

A．5，5B．6,245C．325,245D．325,5
3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm，∠E=60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积Scm2与运动时间ts之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
题型02 选/填压轴题之多结论问题
5．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①CFBF=32；②tan∠H=3−1；③BE平分∠CBD；④2AB2=DE⋅DH．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP:PF=2:3；④cs∠DCQ=34．其中正确结论是 ．（填序号）
7．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S△MPE=9625；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．

8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（ ）

A．①②③B．②④C．①③④D．①②③④
9．（2023·湖北·中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其中所有正确结论的序号是 ．
题型03 选/填压轴题之规律探究问题
10．（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）

A．（22）5B．（22）6C．（2）5D．（2）6
11．（2022·辽宁·中考真题）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1与射线OM交于点B2，得△C1B1B2；延长B2D1交射线ON于点A2，以B2A2为边在其右侧作菱形A2B2C2D2，且∠B2A2D2=60°,C2D2与射线OM交于点B3，得△C2B2B3；延长B3D2交射线ON于点A3，以B3A3为边在其右侧作菱形A3B3C3D3，且∠B3A3D3=60°,C3D3与射线OM交于点B4，得△C3B3B4；…，按此规律进行下去，则△C2022B2022B2023的面积 ．
12．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则B2的坐标是 ；B2024的坐标是 ．
13．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在△ABC中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，⋯，按这样的规律下去，△A2024B2024C2024的周长为 ．
题型04 四边形与翻折问题综合
14．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．
(1)求证：△EDP∽△PCH．
(2)若P为CD中点，且AB=2,BC=3，求GH长．
(3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
15．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B3,0两点，与y轴交于点C0,−3，P是直线BC下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式；
(2)如图2，连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，当四边形POP'C为菱形时，求出点P的坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段BP的长．
16．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题背景】折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
操作过程及内容如下（如图①）
操作1：将正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；
操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E与AB交于点P.则P即为AB的三等分点，即AP：PB=2：1.
【解决问题】
（1）在图①中，若EF与MN交于点Q，连接CQ求证：四边形EQCM是菱形．
（2）请在图①中证明AP：PB=2：1.
【发现感悟】若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：
（3）如图②，若AD=3AE时，则APAB=______；若AD=nAE时，则APAB=_____（用含n的式子表示）
17．（2024·山东聊城·三模）【实践探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，DE⊥AC交AB于点E，则DEAC的值是________；
【变式探究】
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，∠DBC=90°，BD=8，BC=6，DE⊥AC交AB于点E，求DEAC的值；
【灵活应用】
（3）如图3，在矩形ABCD中，AD=8，点E，F分别在AD，BC上，以EF为折痕，将四边形ABFE翻折，使得AB的对应边A'B'恰好经过点D，B'F交CD于点I，过点D作DP⊥EF交AB于点P．若A'D=4，且△ADP与△BPF的面积比为16:24，求DPEF的值．

题型05 四边形与旋转问题综合
18．（2024·山东·中考真题）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°，∠EDF=30°，AC=DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．
(1)求证：BM=EN；
(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．
①当α=30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°AB，将矩形边AB翻折，使得点A的对应点落在BC上，将矩形边CD翻折，使得点D的对应点落在BC上，折痕交于点O，再将∠ABO对折，发现AB与BO恰好重合，求证：矩形ABCD是“白银矩形”．
（2）如图4，在（1）的条件下，矩形ABCD中，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的“白银分割点”．
（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要做法）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）由翻折知，∠OCB=∠OBC=45°，即BO=OC，从而BC=2BO；由对折知，BO=AB，即BC=2AB，由此即可证明结论成立；
（2）由（1）知，BF=2AB，则得△ABF是等腰直角三角形，进而易得△GFE为等腰直角三角形，GE=2EF；由折叠性质得EF=EC，则有GE=2EC，从而结论得证；
（3）过B作BH⊥AB，在BH上取BE=AB，连接AE，作∠AEB的平分线交AB于K，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=∠ABC=90°，
由翻折知，∠OCB=∠OBC=12×90°=45°，
∴BO=OC，∠BOC=90°，
∴BC=2BO；
由对折知，BO=AB，
即BC=2AB，
∴BCAB=2，
即矩形ABCD是“白银矩形”；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=∠A=90°，
由（1）知，BC=2AB；
由折叠得：BF=BC，∠BFE=∠FDE=∠C=90°，
∴BF=2AB，
由勾股定理得：AF=BF2-AB2=AB，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠AFB=∠GFD=45°；
∵∠FDE=∠FDG=90°，
∴∠G=90°-∠GFD=45°；
∵∠BFE=∠GFE=90°，
∴∠FEG=90°-∠G=45°，
∴EF=FG，
即△GFE为等腰直角三角形，
∴GE=2EF；
∵EF=EC，
∴GE=2EC，
即GEEC=2；
（3）过B作BH⊥AB，在BH上取BE=AB，连接AE，作∠AEB的平分线交AB于K，则K点是线段AB的一个“白银分割点”．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，尺规作图：作垂线及角平分线，理解题中新定义是关键．
题型12 四边形与阅读理解类问题
42．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

【答案】(1)三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
(2)答案不唯一，见解析
(3)平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和，见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的定义解答即可；
（2）作对角线互相垂直的四边形，再顺次连接这个四边形各边中点即可；
（3）根据三角形中位线定理得瓦里尼翁平行四边形一组对边和等于四边形的一条对角线，即可得妯结论．
【详解】（1）解：三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）
（2）解：答案不唯一，只要是对角线互相垂直的四边形，它的瓦里尼翁平行四边形即为矩形均可．例如：如图即为所求

（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的两条对角线AC与BD长度的和，
证明如下：∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，
∴EF=12AC,GH=12AC．
∴EF+GH=AC．
同理EH+FG=BD．
∴四边形EFGH的周长=EF+GH+EH+FG=AC+BD．
即瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，三角形中位线．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
43．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．
求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．
①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．
②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．
【答案】(1)钝角三角形；证明见详解
(2)①直角三角形；证明见详解；②S四边形ABCD=5
【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可；
（2）①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC=AG2+CG2=10，然后利用正方形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形，
∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，
∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，
∴∠EBA=∠DBC，
在△EBA和△DBC中，
EB=DB∠EBA=∠DBCAB=CB，
∴△EBA≌△DBC（SAS），
∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，
∴△ADC为钝角三角形，
∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．
（2）证明：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形．
连结CG，
∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，
∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，
∵EG为正方形的对角线，
∴∠BEA=∠BGE=45°，
∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，
∴∠EBA=∠GBC，
在△EBA和△GBC中，
EB=GB∠EBA=∠GBCAB=CB，
∴△EBA≌△GBC（SAS），
∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，
∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，
∴△AGC为直角三角形，
∴以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；
②连结BD，
∵△AGC为直角三角形，AE2+AG2=10，
由（2）可知，AE=CG，
∴AC=AG2+CG2=10，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC=BD=10，
∴S四边形ABCD=12AC⋅BD=12AC2=5．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．
44．（2020·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA、S△OBCS△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．
①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；
②若S△CME=1，求正方形ABCD的面积．
【答案】（1）33，3；（2）都是定值，ODOA=12，S△OBCS△ABC=13；（3）①EM=235；②12．
【分析】（1）连接DE，利用相似三角形证明ODAO=12，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）①证明△CME∽△ABM得EMBM=12，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；
②分别求出S△BMC和S△ABM 即可.
【详解】（1）连接DE，如图，

∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是BC，AC边上的中线，
∴D，E为BC，AC边上的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//AB，DE=12AB，
∴△ODE~△OAB，
∴ODOA=DEAB=12，
∴AB=2，BD=1
∴AD=3，OD=33，
∴S△OBC=12×BC×OD=12×2×33=33
S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×2×3=3；
（2）由（1）可知，ODOA=12是定值；
S△OBCSOABC=12BC⋅OD12BC⋅AD=ODAD=13是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，
∴ CD//AB，AB÷BC=CD=4，
∴△CME∼△AMB
∴EMBM=CEAB
∵E为CD的中点，
∴CE=12CD=2
∴BE=BC2+CE2=25
∴EMBM=12
∴EMBE=13，即EM=235；
②∴S△CME=1，且MEBM=12
∴S△BMC=2，
∵MEBM=12，
∴S△CMES△AMB=MEBM2=14，
∴S△AMB=4SΔCME=4，
∴S△ABC=S△BMC+S△ABM=2+4=6，
又S△ADC=S△ABC
∴S△ADC=6
∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．
【点睛】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活运用三角形重心的性质．
45．（2023·吉林白城·模拟预测）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上．
求证：以DE、CD、BD为边的三角形是钝角三角形．
【探究发现】小明通过探究发现：连接CE，根据已知条件，可以证明BD=CE，从而得出△DCE为钝角三角形，故以DE、CD、BD为边的三角形是钝角三角形，写出完整的证明过程．
【拓展迁移】如图②，四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，点E在BD上．
①猜想：以DE、EF、BE为边的三角形的形状是 ；
②当BE2+ED2=23时，直接写出正方形AEGF的面积．
【答案】【探究发现】证明过程见解答；【拓展迁移】①直角三角形；②正方形AEGF的面积为11.5
【分析】（1）连接CE，通过证明△BAD≌△CAE(SAS)即可求解；
（2）连接BF，通过证明△DAE≌△BAF(SAS)即可求解；
（3）由勾股定理得BE2+BF2=EF2，则AE2+AF2=EF2=23，再由正方形的性质和勾股定理得即可得出结论．
【详解】证明：如图1，连接CE，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B=120°，
∴△DCE为钝角三角形，
∴以DE、CD、BD为边的三角形的形状是钝角三角形；
①以DE、EF、BE为边的三角形的形状是直角三角形，理由如下：
如图2，连接BF，
∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，
∴AB=AD，AE=AF，∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠BAD-∠BAE=∠EAF-∠BAE，
∴∠DAE=∠BAF，
∴△DAE≌△BAF(SAS)，
∴DE=BF，∠ADE=∠ABF=45°，
∴∠EBF=∠EBA+∠ABF=45°+45°=90°，
∴△BEF是直角三角形，
即以以DE、EF、BE为边的三角形的形状是直角三角形；
②由①可知，DE=BF，
∴BE2+BF2=EF2，
∴BE2+DE2=EF2，
∵BE2+DE2=23，
∴EF2=23，
∵四边形AEGF是正方形，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴AE2+AF2=EF2=23，
∴AE2=11.5，
∴正方形AEGF的面积为11.5．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是关键．
题型13 与四边形有关的新考法问题
46．（2024·黑龙江绥化·一模）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：AM=1+32米；任务2： 93-56米，任务3：大于33-22米．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
任务1：过N作HN⊥AM于H， 解三角形即可求出AH=ANcs∠DAB=12，HM=HNtan∠AMN=32，进而可得AM=AH+HM=1+32，
任务2：过D作DG⊥AB于G，过B作DK⊥BC于K，得四边形BKDG为矩形，再解三角形求出DG=AGsin∠DAB=332米，AG=32米，进而求出BG=DK=52米，DG=BK=332米，根据13点时，太阳高度角α=∠DFK，由FK=DKtan∠DFK即可完成任务2，
任务3：由表格可知，在12时-15时，角α的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小，当14时，此时BE的长度就是龙舌兰摆放位置与墙壁的最大距离，求出此时EK=DKtanα=1米，即可完成任务3．
【详解】解：任务1：如图，过N作HN⊥AM于H，
，
∴∠NHA=∠NHM=90°，
又∵∠DAB=60°，∠AMN=45°，
∴HN=ANsin∠DAB=1×32=32（米），
AH=ANcs∠DAB=1×12=12（米），
HM=HNtan∠AMN=32÷tan45°=32（米），
∴AM=12+32=1+32（米），
任务2：如解图2，过D作DG⊥AB于G，过B作DK⊥BC于K，
，
则∠DGB=∠DKB=∠ABC=90°，
∴四边形BKDG为矩形，
∴BG=DK，DG=BK，
∵AD=3米，∠DAB=60°，
∴DG=AGsin∠DAB=3×32=332（米），
AG=ADcs∠DAB=3×12=32（米），
HM=HNtan∠AMN=32÷tan45°=32（米），
∵由题意可知：AB=4米，
∴BG=AB-AG=4-32=52（米）
∴BG=DK=52（米），DG=BK=332（米），
∵13点时，太阳高度角α=∠DFK，
∴tan∠DFK=tanα=3，
∴FK=DKtan∠DFK=52÷3=56（米）
∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度=BK-FK=332-56=93-56（米）
任务3： 由表格可知，在12时-15时，角α的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小，
∴当14时，此时BE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
如解图3，在Rt△DEK中，tan∠DEK=DKEK，
即EK=DKtanα=522.5=1（米），
∴BE=BK-EK=332-1=33-22（米），
答：龙舌兰能被太阳光照射到，此时摆放点离墙角距离的大于33-22米．
47．（2024·广东深圳·模拟预测）【问题提出】我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分…那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？
【查阅资料】古希腊数学家帕普斯结合反比例函数图象，实现尺规作图三等分任意角，方法如下：
①如图1，建立平面直角坐标系，将∠AOB的顶点O与原点重合，边OB与x轴的正半轴重合，OA在第一象限内；
②在平面直角坐标系中，画出函数y=1xx>0的图象，图象与OA交于点 D；
③以D为圆心、2OD长为半径作弧，交函数y=1xx>0的图象于点E；
④分别过点D、E作x轴、y轴的平行线，两线交于点 P，连接OP，此时有∠POB=13∠AOB．
【问题探究】小明在以上资料的启示下，进行了如下探究，用尺规三等分一个角．如图2，以线段AB中点O为原点，x轴的正方向与角的一边BC平行，建立平面直角坐标系，过点B作y轴的平行线，在平行线上取一点M，连接MA并延长，与射线BC交于点N，记MN中点为Px,y．
（1）∠PBN与∠PNB的数量关系为： ；
（2）在探究过程中，小明发现取点A坐标为1,3时，点P坐标与点M坐标满足下列表格关系：
①请将表格补充完整，并尝试在图2给出的网格图中描出点P的坐标，画出它的大致图象；
②根据图象猜想y关于x的关系式（不需要写出x的取值范围），并证明你的猜想；
（3）若点A坐标为a,b，直接写出y关于x的关系式： （不需要写出x的取值范围）．
【问题解决】在图2中，利用上述你画出的图象，用尺规作图将 ∠ABC三等分，叙述作法并说明理由．
【答案】（1）∠PBN=∠PNB；（2）①见解析；②y=3x，证明见解析；（3）y=abx；问题解决：见解析，理由见解析
【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到△PBN是等腰三角形，即可得出结果；
（2）①利用待定系数法求出直线MA的解析式，再令直线MA解析式的函数值为-3，求出点N的坐标，最后利用中点坐标公式即可解答；②同理①，即可得出结果；
（3）同理（2）即可得出结果；
问题解决：根据材料，利用等腰三角形的性质矩形的性质结合三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：（1）根据题意得：∵ ∠MBN=90°，点P为MN的中点，
∴BP=12MN=PN，
∴△PBN是等腰三角形，
∴∠PBN=∠PNB；
（2）①设直线MA的解析式为y=kx+bk≠0，
当M-1,9,A1,3时，则9=-k+b3=k+b，
解得：k=-3b=6，
∴直线MA的解析式为y=-3x+6，
根据题意：点N的纵坐标为-3，
令-3x+6=-3，解得：x=3，
∴N3,-3，
∵点P为MN的中点，
∴-1+32=1,9+-32=3，
∴P1,3，
∴
函数图象如下：
②猜想y关于x的关系式为y=3x，证明如下：
设直线MA的解析式为y=mx+nm≠0，M-1,t，
则t=-m+n3=m+n，
解得：k=3-t2n=t+32，
∴直线MA的解析式为y=3-t2x+t+32，
根据题意：点N的纵坐标为-3，
令3-t2x+t+32=-3，解得：x=9+tt-3，
∴N9+tt-3,-3，
∵点P为MN的中点，
∴-1+9+tt-32=122t-6,t+-32=t-32，
∴P122-6t,t-32，
∵122-6t×t-32=122t-3×t-32=3，
∴点Px,y中，xy=3，
∴y关于x的关系式为y=3x；
（3）由（2）得：A,P两点在同一反比例函数图象上，
∴y=abx；
问题解决：
如图：①将函数y=3xx>0的图象向下平移3个单位，再向左作平移1个单位，使的函数图象过点O；
①以O为圆心、AB长为半径作弧，交平移后的函数图象于点E；
③过点E作x轴、y轴的平行线，交x轴、y轴于点G,H，连接BG,OE，交点为M
∵四边形OHEG是矩形
∴OM=MG,OE=2OM，
∴∠MOG=∠MGO
∴∠OMH=∠MOG+∠MGO=2∠MOG
由题知OE=2OB
∴OB=OM
∴∠OBM=∠OMB
∵BC∥OG,HE∥OG
∴∠MGO=∠GHE,∠GBC=∠GHE
∴∠MGO=∠GBC
∴∠OBM=2∠GBC
∴∠ABC=∠OBM+∠GBC=3∠GBC
∴ ∠GBC=13∠ABC．
【点睛】本题考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，一次函数的解析式，矩形的性质，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．
48．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD的“友好函数”，例如：如图1，矩形ABCD，经过点A-1,1和点C3,3的一次函数y=12x+32是矩形ABCD的“友好函数”．
(1)如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A2,1，B6,1，C6,3，D2,3，反比例函数y=kxx>0经过点B，求反比例函数y=kxx>0的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”；
(2)矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为1,2，正比例函数y1=ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2=kxx>0经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”．
①如图3，当OC>OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y=4时，设矩形ABCD的面积为S1；当矩形ABCD的周长y=8时，设矩形ABCD的面积为S2，请直接写出S2-S1的值．
【答案】(1)是矩形ABCD的“友好函数”
(2)①163；②y=6-3k0OA时，即m>1，当OC1，
将点B(m,2)的坐标代入反比例函数表达式得k=2m，即m=k2 ，∵AB=m-1,BC=2m-2，
∴y=2AB+BC=6m-6=3k-6，
∵m>1，
∴k>2，
∴当k>2时，y=3k-6，
当OC