江西省赣州市瑞金市2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省赣州市瑞金市2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题（原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ）
A. 确定性事件B. 随机事件
C. 不可能事件D. 必然事件
3. 如图，把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则下列不是旋转角的为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，气体的密度为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
6. 二次函数，无论为何值，函数值总是成立的条件是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是：_____．
8. 一元二次方程的两根之和为__________．
9. 在平面直角坐标系中，若函数图象经过点和，则的值是___________.
10. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．
11. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________．
12. 如图，在正方形中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．若是等腰三角形，则________．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. ①解方程：．
②如图，在正方形中，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，求的长．
14. 象湖里景区举行元旦游园活动，该活动需要小明去领取四个4个灯笼，灯笼上分别写有“欢”“度”“新”“年”（外观完全一样）．
（1）小明从四个灯笼中任取一个，取到“欢”的概率是__________．
（2）小明从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的概率．
15. 如图，二次函数的图象与轴交于点（点在点左侧），点坐标为，对称轴为直线，顶点为，连接．
（1）求点坐标；
（2）求的面积．
16. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数表达式；
（2）当时，求的面积．
17. 如图，已知是等边三角形，以为直径作，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图（1）中作的角平分线；
（2）连接，在图（2）中作的角平分线．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，且，，都是整数，求的值．
19. 如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽．
（1）求该抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？
20. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，且
（1）求证：为的切线；
（2）已知：，
①求的长；
②求阴影部分的面积．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点是．
（1）有下列结论，其中正确的是__________．填写序号
①抛物线的对称轴为直线；
②；
③；
④当时，随的增大而增大．
（2）若抛物线顶点在直线上．
①求抛物线的解析式：
②若直线分别与抛物线，抛物线相交，交点自左向右依次为，求的值
六、（本大题共12分）
23. 在中，，，点是斜边上的动点（不与重合），点是直线上的动点（不与重合），连接，将绕点顺时针旋转至，连接．
【特例感知】
如图1，若点为的中点．点在的延长线上，求证：
【拓展延伸】
若点不是中点，点在边上
（1）如图2，三者之间还存在【特例感知】中的等量关系吗？若存在，请证明，若不存在，请说明理由．
（2）如图3，作点关于的对称点，连接，已知，，请直接写出的值．
2024年冬九年级数学期末练习题
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可
【详解】解：A、是中心对称图形，故该选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：A
2. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ）
A. 确定性事件B. 随机事件
C. 不可能事件D. 必然事件
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是随机事件．
故选：B．
3. 如图，把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则下列不是旋转角的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角．
【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意；
B．旋转后的对应边为OD，故可以作为旋转角，故B不符合题意；
C．旋转后对应边为，故可以作为旋转角，故C不符合题意；
D．旋转后的对应边为不是，故不可以作为旋转角，故D符合题意；
故选：D．
4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，，解得，故本选项不符合题意；
D、，，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
5. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，气体的密度为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，由函数与方程的关系，通过待定系数法求出关系式，将代入函数解析式求解即可．
【详解】解：设与体积的函数解析式为，将代入，得，
解得，
，
将代入，得，
该气体的密度为，
故选：．
6. 二次函数，无论为何值，函数值总是成立条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，依据题意，由无论为何值，函数值，从而二次函数的图象总在轴的上方，可得抛物线开口向上，与轴无交点，故，进而可以判断得解．
【详解】解：无论为何值，函数值总是成立，
二次函数的图象总在轴的上方，
抛物线开口向上，与轴无交点，
，，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是：，
故答案为：．
8. 一元二次方程的两根之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系知，
若方程的两根为，，则，
一元二次方程为，
两根之和为：，
故答案为：．
9. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________.
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将点和代入，求得和，再相加即可．
【详解】解：∵函数的图象经过点和，
∴有，
∴，
故答案为：0．
10. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答．
【详解】连接OA，OB，
则∠BAO=∠BAC==60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∵∠BAC=120°，
∴的长为：，
设圆锥底面圆的半径为r
故答案为．
【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面圆的半径．
11. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】将点代入函数解析式求解即可．
【详解】解：点在上，
∴，
，
解得：(舍去)
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
12. 如图，在正方形中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．若是等腰三角形，则________．
【答案】或或
【解析】
【分析】分三种情况：若；若，且时，若，且时；若；分别画出图形，结合正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：若，如图，连接，
则点在的垂直平分线上，
∵四边形是正方形，
∴点也在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即；
若，且时，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即；
若，且时，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即；
若，此时点重合，不符合题意；
综上，是等腰三角形，则或或；
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. ①解方程：．
②如图，在正方形中，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，求的长．
【答案】①，②
【解析】
【分析】①利用因式分解法解方程即可；
②先由正方形的性质得出，，运用勾股定理列式，结合旋转性质得，，然后结合勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：，
，
，
，，
，；
四边形正方形，
，，
为的中点，
，
，
又绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质以及勾股定理，旋转性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
14. 象湖里景区举行元旦游园活动，该活动需要小明去领取四个4个灯笼，灯笼上分别写有“欢”“度”“新”“年”（外观完全一样）．
（1）小明从四个灯笼中任取一个，取到“欢”的概率是__________．
（2）小明从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的概率．
【答案】（1）
（2） ，详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中取到“欢”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）由树状图可得出所有等可能的结果数以及小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中取到“欢”的结果有1种，
∴取到“欢”的概率为 ，
故答案为： ．
小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的结果有：（新，年），（年，新），共2种，
∴小明恰好取到“新”“年”两个灯笼的概率为 ．
15. 如图，二次函数的图象与轴交于点（点在点左侧），点坐标为，对称轴为直线，顶点为，连接．
（1）求点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1），；
（2）8
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键．
（1）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题．
（2）由，，得出，再结合以及面积公式列式计算，即可解决问题．
【小问1详解】
解：将A点坐标代入函数解析式得，
，
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以②．
由①②解得，
，．
∴抛物线的解析式为．
令得，，
解得，．
∴B点坐标为．
将代入函数解析式得，
，
∴C点坐标为．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
又因为点C坐标为，
∴．
16. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式．
（2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，，
∴，，
∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，
∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．
∴，
∴，
∴
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
∴，点E的纵坐标为，
∴，
把代入，得，
∴，
∴点，
∴，
∴
17. 如图，已知是等边三角形，以为直径作，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图（1）中作的角平分线；
（2）连接，在图（2）中作的角平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质．
（1）设交于点，连接，如图，为的角平分线；
（2）连接并延长交于点，连接交于点，作射线，利用三角形的角平分线相交于一点，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所作；
；
【小问2详解】
解：如图，射线即为所作．
．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，且，，都是整数，求的值．
【答案】（1）
（2）的值为2
【解析】
【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
（1）根据判别式，即可解答；
（2）根据（1）中得出的k的取值范围，得出整数的值为2、3，分别求出当时，当时，方程的解，即可解答．
【小问1详解】
解：方程有两个不相等的实数根，
，
即
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
为整数，
整数的值为2、3，
当时，方程为，
解得，，
当时，此时方程解不为整数，
综上所述，的值为2．
19. 如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽．
（1）求该抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？
【答案】（1）
（2）水面宽度增加
【解析】
【分析】（1）先求出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出，．得到，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：设该抛物线表示的二次函数解析式为，
∵，
∴抛物线经过点．
∴．
∴．
∴该抛物线表示的二次函数解析式为．
【小问2详解】
解：∵当水面下降到达时，
∴．即．
∴．
∴，．
∴．
∴水面宽度增加．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
20. 某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售出件，每件盈利元．经调查发现：这种玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元．
（1）降价后，每件玩具的利润为_______元，平均每天的销售量为_______件；（用含x的式子表示）
（2）为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但需要每天盈利元，那么每件玩具应降价多少元？
【答案】（1）
（2）每件玩具应降价元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住数量关系正确列出方程是解题关键．
（1）根据“玩具的售价每降低1元，平均每天能多售出2件”结合玩具降价x元和原利润即可求解．
（2）根据总利润等于每件利润乘以数量即可列出方程．
【小问1详解】
解：每件玩具降价x元，
每件玩具的利润为元，销量为件．
故答案为：；．
【小问2详解】
（2）依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
．
答：每件玩具应降价元．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，且
（1）求证：为的切线；
（2）已知：，
①求的长；
②求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）连接，由圆的基本性质得，结合等腰三角形的性质得，由直径所对的圆周角是直角得，即可求解；
（2）①运用斜边上的中线等于斜边的一半，得，即可作答；
②由勾股定理得，由即可求解；
【小问1详解】
证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
为的切线；
【小问2详解】
解：①，
，
，
，
，
②，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，切线的判定，等边三角形的判定与性质，求扇形中不规则图形的阴影部分面积；掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，能将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点是．
（1）有下列结论，其中正确的是__________．填写序号
①抛物线的对称轴为直线；
②；
③；
④当时，随的增大而增大．
（2）若抛物线的顶点在直线上．
①求抛物线的解析式：
②若直线分别与抛物线，抛物线相交，交点自左向右依次为，求的值
【答案】（1）①③ （2）①抛物线的解析式为②，详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键，
（1）根据二次函数的性质逐一判断即可；
（2）①运用待定系数法求函数解析式即可；设点的横坐标分别为，则有，令，得，则有，，得，它对应的两个根应为，代入即可解题，
【小问1详解】
解：①抛物线的对称轴为直线，故①正确，符合题意；
②对称轴为直线，则，故②错误，不符合题意；
③把，代入得到，则，故③正确，符合题意；
④开口方向不确定，故增减性无法确定，故错误，不符合题意；
故答案为：①③；
【小问2详解】
解：①由题意知，，即，
当时，，，
，即，解得，
，
抛物线的解析式为，
②，理由：设点的横坐标分别为，
，，
，
，
如图所示，
令，得，它对应的两个根应为：，
，
令，得，它对应的两个根应为
，
．
六、（本大题共12分）
23. 在中，，，点是斜边上的动点（不与重合），点是直线上的动点（不与重合），连接，将绕点顺时针旋转至，连接．
【特例感知】
如图1，若点为的中点．点在的延长线上，求证：
【拓展延伸】
若点不是中点，点在边上
（1）如图2，三者之间还存在【特例感知】中的等量关系吗？若存在，请证明，若不存在，请说明理由．
（2）如图3，作点关于的对称点，连接，已知，，请直接写出的值．
【答案】【特例感知】详见解析【拓展延伸】（1）不存在，详见解析（2）
【解析】
【分析】[特例感知]证明(SAS)得出；
[拓展延伸]（1）过点作，交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，得出，，证明得出，则可得出结论；
（2）过点作于点，则，由勾股定理及逆定理的推导，即可得出的长．
【详解】[特例感知]
证明：如图，连接，
，，点为的中点，
，，
由勾股定理得，，
将绕点顺时针旋转至，
，，
，
，
，
；
[拓展延伸]
（1）解：不存在，理由如下，
如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，则，
，
，
，
，
由（2）知，
，
，
，
如上图，过点作交的延长线于，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．