江西省赣州市瑞金市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 3的倒数是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
运用倒数的概念即可求解．
【详解】解：3的倒数是，
故选：A．
2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与是同类二次根式，符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
4. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值．
【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而减小
∴
∴当时，
故选：D
【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．
5. 某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x，底面的数量为3y，然后根据等量关系：底面数量=侧面数量的2倍，列出方程组即可．
【详解】解：设用x张白卡纸做侧面，用y张白卡纸做底面，
由题意得，．
解得．
，
答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量=侧面数量的2倍．
6. 如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（ ）
A. B. 该抛物线必过点
C. 当时，y随x增大而减小D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，对称性，与y轴的交点问题，增减性问题，利用数形结合的思想是解题的关键．
由图象得抛物线与y轴交于可判断A选项；由对称轴及可求抛物线必过点；由对称轴及开口方向可判断C选项；由对称轴及抛物线过点，可求与x轴另一交点为，再由开口方向即可判断D选项．
【详解】解：由图象得抛物线与y轴交于代入得，故本选项不符合题意；
B、∵对称轴为直线，设关于对称轴的对称点为，则，解得，∴对称点为，故本选项不符合题意；
C、∵对称轴为直线，且开口向上，∴当时，y随x增大而减小，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线过点，对称轴为直线，则与x轴另一交点为，且开口向上，∴当时，，故本选项符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
8. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是________（备注：1亿＝100000000）．
【答案】9
【解析】
【分析】将13.6亿=写成（，n为整数）的形式即可．
【详解】解：13.6亿==．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键．
9. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
10. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，，则每个直角三角形的面积为______．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据勾股定理以及可列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，而
∴，且a、b均为正数，
解得：，则，
∴每个直角三角形的面积为，
故答案为：24．
11. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
设周长为，设周长为，
和是以点为位似中心的位似图形，
．
．
和的周长之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
12. 如图，直角坐标系中，点、的坐标分别为，，点在第一象限内，且使为等腰直角三角形，则点的坐标为_______．

【答案】、、
【解析】
【分析】当是以为腰长的等腰直角三角形时，可结合“三垂直”模型证明全等，再根据全等三角形的性质确定对应线段长度，即可求得点的坐标；当是以为底边的等腰直角三角形时，结合平面直角坐标系内中点坐标的计算方式，直接求得对应点的坐标即可．
【详解】解：如图所示，
①当等腰直角三角形时，作轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的坐标为；
②当为等腰直角三角形时，作轴于点，
同①理，证得，
∴，，
∴，
∴的坐标为；
③当为等腰直角三角形时，
此时，为的中点，
∵，，
∴的坐标为；
综上，点的坐标为、、，
故答案为：、、
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，C是的中点，，，求证：．
【答案】（1）7；（2）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算和全等三角形的判定：
（1）原式分别化简，，，，然后再进行加减运算即可；
（2）根据即可证明
【详解】解：（1）
．
（2）证明：∵是的中点，
，
在和中，，
14. 化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确化简是解题的关键．
先通分化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
当，
原式=．
15. 如图，这是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中的上找一点D，使得平分的面积．
（2）在图2中找一格点（小正方形的顶点）E，使得四边形是轴对称图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用矩形对角线互相平分，连接另外一条对角线，则交点即为D点；
（2）构造正方形，利用正方形是轴对称图形即可求解．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
如图所示：
【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解题关键是掌握相关图形（矩形、正方形）的性质和中线平分三角形面积，利用它们的性质找寻关键点．
16. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.惊蛰”的概率是______．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人中有一人抽到“C．白露”的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用简单地概率公式解答即可；
（2）画树状图计算解．
本题考查了概率计算，画树状图计算概率，熟练掌握树状图计算是解题的关键．
【小问1详解】
共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
故小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A.惊蛰”的概率是或，
故答案为：或．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人中有一人抽到“C．白露”的有6种，
故两人中有一人抽到“C．白露”的概率为．
17. 某大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过40吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为3.5吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【答案】（1）一个A部件的质量为1.5吨，一个B部件的质量为1吨；
（2）该卡车一次最多可运输7套这种设备通过此大桥．
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组与不等式的应用．熟练掌握总重与每个重和数量的关系列方程组，配比关系与限重，是解决问题的关键．
设一个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨．根据1个A部件和2个B部件的总质量为3.5吨，2个A部件和3个B部件的质量相等，列方程组解方程组，即得；
设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据大桥限重40吨，一辆卡车自重8吨，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，列不等式解不等式，即得．
【小问1详解】
设一个A部件的质量为吨，一个B部件的质量为吨．
根据题意，得，
解得．
答：一个A部件的质量为1.5吨，一个B部件的质量为1吨．
【小问2详解】
设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意，得．
解得．
因为为整数，取最大值，所以．
答：该卡车一次最多可运输7套这种设备通过此大桥．
四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
【答案】（1），
（2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式即可；
（2）先根据正比例和反比例函数解析式求出，，然后求出的长度即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴直线的表达式为，
∵时，，
解得，则，
∵时，，
解得，则，
∴．
19. 某校数学兴趣小组的同学们从“校园农场”中随机抽取了20棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数．其数据如下：37，39，63，42，45，55，46，62，47，48，54，54，28，36，54，60，62，54，64，50，通过对以上数据的分析整理，绘制了统计图表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中n=______，并补全频数分布直方图：
（2）这20个数据的众数是______，中位数是______；
（3）求这20个数据的平均数：
（4）“校园农场”中共有280棵这种西红柿植株，请估计这280棵西红柿植株上小西红柿的总个数．
【答案】（1）4，图见解析
（2）54，52 （3）这20个数据的平均数是50
（4）14000个
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表，用样本估计总体，众数，中位数以及加权平均数等知识点，
（1）用总数减去其它三组的频数可得n的值，进而补全频数分布直方图，
（2）根据众数和中位数定义解答即可；
（3）根据算术平均数的计算公式解答即可；
（4）用280乘（3）的结论可得答案；
熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【小问1详解】
由题意得，，
补全频数分布直方图如下

故答案为：4；
【小问2详解】
这20个数据中，54出现的次数最多，故众数为54．
从小到大排列为28，36，37，39，42，45，46，47，48，50，54，54，54，54，55，60，62，62，63，64，故中位数为．
故答案为：54，52；
【小问3详解】
．
∴这20个数据的平均数是50；
【小问4详解】
所求总个数：（个）．
∴估计这280棵西红柿植株上小西红柿的总个数是14000个．
20. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点

在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长；
（3）在（2）的条件下求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定与性质，弧长的计算以及锐角三角函数的定义：
（1）由切线的性质得，而平分，所以，则点B在上，即可证明是的切线；
（2）由，，得，，由，得．
（3）先求出，再根据弧长公式计算可得答案
【小问1详解】
证明：∵与相切于点A，
∴，
∵平分，，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵半径为，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【小问3详解】
解：由（2）得中，，
∴
∴
∴
∴的长
22. 设抛物线与x轴的交点分别为A、B（点A在点B的左侧），顶点为C．若a、b、c满足，则称该抛物线为“正定抛物线”；若a、b、c满足，则称该抛物线为“负定抛物线”．特别地，若某抛物线既是“正定抛物线”又是“负定抛物线”，则称该抛物线为“对称抛物线”．
（1）“正定抛物线”必经过x轴上的定点______；“负定抛物线”必经过x轴上的定点______．
（2）若抛物线是“对称抛物线”，且经过，求此抛物线对应的函数表达式．
（3）若抛物线是“正定抛物线”，当或p时，该抛物线顶点分别为，，若轴，求n与p之间的数量关系．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴交点的问题，二次函数的图像与性质，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据定义即可求解；
（2）根据定义得经过点、，再用待定系数法求解即可；
（3）根据新定义得到，则抛物线解析式为配方可求，配方可求，，由轴，得即可求解．
【小问1详解】
解： “正定抛物线”a、b、c满足，即当时，，过点，
“负定抛物线”a、b、c满足，即当时，，过点，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵抛物线是“对称抛物线”，
∴抛物线经过点、．
又抛物线经过，
∴
∴ 解得，
此抛物线对应的函数表达式为．
【小问3详解】
解：∵抛物线是“正定抛物线”，
∴．
∴．
∴．
当时，，
∴，同理
又∵轴，
∴，且，即，
∴或（舍），
∴．
六、（本大题共12分）
23. 【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．
①填空：______；
②求证：．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值．
【答案】（1）①1；②见解析；（2），理由见解析；（3）3．
【解析】
【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；
②根据正方形的性质可得，，，利用证明即可；
（2）过点作交于，利用平行线的性质及正方形的性质易证得，，可证明，利用相似三角形性质即可得出答案；
（3）过点作交于，作于，作于，利用证得，可得：，，再证得，可得，同理可得：，推出，进而可得，令，则，，，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：，
∵将的直角顶点与点重合，
∴，
故答案为：1；
②证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（2），理由如下：
过点作交于，

∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
即，
∴，
∴．
（3）过点作交于，作于，作于，

则，
∴，
即，
∴，
由（2）和已知条件可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，则，，，
∴，
∴．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
分组
频数
组内小西红柿的总个数
1
28
n
154
9
452
6
366