湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共30页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一．选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1. 已知的半径为，点在外，则线段的长度可能是（ ）
A. B. C. D.
2. “车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是( )
A. 不可能事件B. 不确定事件C. 确定事件D. 必然事件
3. 红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂十、十一月份生产零件数量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转，点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（ ）
A B. C. D.
6. 用一条长的绳子围成一个矩形的最大面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )
A. 180°B. 200°C. 225°D. 216°
8. 将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
9. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）
A. B. C. D.
10. 抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二．填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 已知是方程的两根，则____________．
12. 在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道概率为_____．
13. 如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________．
14. 配方法是一种重要的数学方法．解一元二次方程时，可以运用配方法先将方程变形为，从而求得方程的根；对于多项式，也可以运用配方法将其变形为，从而发现二次函数，当自变量时函数取最小值．根据以上信息解决下列问题：
已知实数满足：，则的值为____________．
15. 如图，正方形和正方形中，，将正方形绕点逆时针旋转，旋转过程中射线与射线交于点，则最小值是____________．
三．解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 用适当的方法解方程：．
17. 如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．

（1）由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角：
旋转中心：________________；
旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”）
旋转角：________________；（填角度大小）
（2）在（1）的基础上，当时，求的度数．
18. 在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小童和小龄计划从古代的赵爽、秦九韶，现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找两名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工以及提高效率，小童和小龄决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字外完全相同的小球放入不透明的盒子中，摇匀后放在桌面上，两人轮流摸球，每次摸出一球，不放回，最后根据各自小球上数学家的名字制作宣传材料．
（1）若小童先摸，第一次摸中写有秦九韶名字的小球的概率是______；
（2）若小童先摸，然后小龄再摸，请利用画树状图或列表的方法，求两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率．
19. （1）某学校组织一次篮球赛，采取单循环比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划安排28场比赛，求共有几支球队参加比赛？
（2）如图，线段上共有7个点（包括端点），则图中共有________________条线段；
（3）若一个边形共有20条对角线，则_______________．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线与轴交于点，，且，求的值．
21. 如图，中，，以为直径的半交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
22. 某公司生产的商品的市场建议零售价为每件元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（件）与实际销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利．
（1）求该商品每件的成本为多少元？
（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为元？
（说明：日销售利润（实际销售价格成本）日销售量）
（3）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
23. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份学习任务单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）该弧所在圆半径长为______________；
（2）“求真”学习小组的小明同学对“追梦”学习小组的汇报结论提出质疑：他所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，记为点．请你解答小明同学的质疑：此时___________（填“=”，“＜”或“＞”），并说明理由；
针对同学们的探究成果，李老师又提出了一个变式应用问题：
（3）如图3，四边形中，，点在边上运动，当是直角三角形时，的长度为______________．（直接写出结果）
24. 如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接．
（1）求拋物线的解析式；
（2）为抛物线上一点，若，求点的坐标；
（3）如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由．
湖北省咸宁市咸安区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题
（本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一．选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1. 已知的半径为，点在外，则线段的长度可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，（为圆半径，为点到圆心距离）当，点在圆内；当，点在圆外；当，点在圆上；据此作答即可．
【详解】解：∵的半径为，点在外，
∴线段的长度．
故选：D．
2. “车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是( )
A. 不可能事件B. 不确定事件C. 确定事件D. 必然事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
【详解】“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件.
故选：.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的实际；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
3. 红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂十、十一月份生产零件数量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设平均每月增长率为x，根据等量关系“九月份生产零件的个数平均每月增长的百分率十一月份生产零件的个数”，列出方程即可．
【详解】解：设平均每月增长的百分率为x，
根据题意，得50（1+x）2＝72，
故选：A．
4. 如图，点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转，点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，由点的坐标可得：，，由旋转可得：，，证明，得到，，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
点的坐标为，
，，
由旋转可得：，，
，
轴，轴，
，，
，
在和中，
，
，
，，
点的坐标为，
故选：C．
5. 如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，正确理解求解方法是关键．根据题意可得园内是一个正八边形，求出中心角，得到旋转后能重合的最小旋转角，即可求解．
【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则，
将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数，
，不是整数，
旋转角度不能是，
故选：B．
6. 用一条长的绳子围成一个矩形的最大面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，解题的关键是正确列出关于矩形面积与边长的关系式．设矩形的长为，面积为，再根据矩形的面积公式得出、的关系式，求出的最大值即可．
【详解】解：设矩形的长为，则宽为，
∴矩形的面积．
∵−，
∴（）．
故矩形的最大面积是．
故选：．
7. 圆锥的母线长为5cm,底面半径为3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( )
A. 180°B. 200°C. 225°D. 216°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据圆的周长公式求得底面圆周长，再根据弧长公式即可求得结果．
【详解】设它的侧面展开图的圆心角是n°，
由题意得底面圆周长=
，
解得n=216
故选D．
【点睛】本题是弧长公式的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般．
8. 将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键．
直接运用平移规律解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，所得到新抛物线的解析式为．
故选A．
9. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
取的中点，作于点，取上的圆心，连接，设，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：取的中点，作于点，取上的圆心，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
cm，
设，则，
∴，
∵cm，
在直角三角形中，，
即：，
解得：
故选：B．
10. 抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据图象可知当时，x的取值范围为，然后问题可求解．
【详解】解：设二次函数与x轴的另一个交点坐标为，则由抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，可知：
，
∴，即二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
由图象可知：当时，x的取值范围为，
∴满足不等式组的整数只有3一个；
故选：A．
二．填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 已知是方程的两根，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 一元二次方程的根与系数的关系：．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
【详解】解：∵是方程的两根，
∴，
故答案为：．
12. 在某校运动会4×400m接力赛中，甲乙两名同学都是第一棒，他们随机从三个赛道中抽取两个不同赛道，则甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的结果数为4，
所以甲乙两名同学恰好抽中相邻赛道的概率=
故答案为
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
13. 如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是______________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，
故答案为：．
14. 配方法是一种重要的数学方法．解一元二次方程时，可以运用配方法先将方程变形为，从而求得方程的根；对于多项式，也可以运用配方法将其变形为，从而发现二次函数，当自变量时函数取最小值．根据以上信息解决下列问题：
已知实数满足：，则的值为____________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了配方法，二次函数的性质，令，利用配方法解关于的一元二次方程，再利用配方法求出求出最值，即可解答．
【详解】解：令，
则，
，
∴，
解得：；
∵，
∴当时，有最小值，
∴，即，
∴．
故答案为：．
15. 如图，正方形和正方形中，，将正方形绕点逆时针旋转，旋转过程中射线与射线交于点，则的最小值是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形函数的定义，勾股定理，同角的余角相等，掌握三角函数值与锐角之间的关系是解题的关系．过点作于点，则，根据三角形函数得出的值越大，越大，从而得当点与点重合时，即时，最大，最小，如下图，由勾股定理得，又根据三角函数得，从而求得，即可得解．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
∵，
∴越大，即的值越大，越大，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴越大，越大，即越大，
∴的值越大，越大，
∴当点与点重合时，即时，最大，最小，如下图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值是，
故答案为：．
三．解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 用适当的方法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程．先把方程左边利用完全平方公式变形为，再直接开平方得到两个一元一次方程，进而求解．
【详解】解：原方程可变形为：，
直接开平方得：或，
解得：，．
17. 如图，和都是等边三角形，点在上（不与、重合），连接．

（1）由等边三角形的性质易证（不需证明），将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角：
旋转中心：________________；
旋转方向：________________；（填“顺时针”或“逆时针”）
旋转角：________________；（填角度大小）
（2）在（1）的基础上，当时，求的度数．
【答案】（1）点A；逆时针；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转图形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转图形的性质，等边三角形的性质是解题的关键，
（1）根据旋转图形的特征作答即可；
（2）由，得，再证，从而得，即可得解。
【小问1详解】
解：将旋转可与重合，指出旋转中心，旋转方向和旋转角：
旋转中心：点；
旋转方向：逆时针；
旋转角：；
故答案为：点A；逆时针；
【小问2详解】
解：
又
是等边三角形，
∴
18. 在“融通古今，厚植文化自信”校园文化建设活动中，数学文化社团的小童和小龄计划从古代的赵爽、秦九韶，现代的陈景润、陈省身四名数学家中，各查找两名数学家的资料制作成文化宣传材料．为了明确分工以及提高效率，小童和小龄决定按如下方式抽签确定分工：将写有四名数学家名字且除所写名字外完全相同的小球放入不透明的盒子中，摇匀后放在桌面上，两人轮流摸球，每次摸出一球，不放回，最后根据各自小球上数学家的名字制作宣传材料．
（1）若小童先摸，第一次摸中写有秦九韶名字的小球的概率是______；
（2）若小童先摸，然后小龄再摸，请利用画树状图或列表的方法，求两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率等知识点，熟练掌握概率公式的含义及列表法或树状图法求概率的基本步骤是解题的关键．
（1）由盒子中的小球可知，共有种等可能的结果，其中第一次摸中写有秦九韶名字的小球的结果有种，然后根据概率公式即可直接得出答案；
（2）将赵爽、秦九韶、陈景润、陈省身分别记为，，，，然后根据题意列表，由列表可知，共有种等可能的结果，其中两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有种，于是根据概率公式即可直接得出答案．
【小问1详解】
解：由盒子中的小球可知，共有种等可能的结果，其中第一次摸中写有秦九韶名字的小球的结果有种，
（第一次摸中写有秦九韶名字的小球的概率），
故答案为：；
【小问2详解】
解：将赵爽、秦九韶、陈景润、陈省身分别记为，，，，
根据题意列表如下：
由列表可知，共有种等可能的结果，其中两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家的结果有种，
（两人第一次摸出的小球上名字恰好是一名古代数学家和一名现代数学家）．
19. （1）某学校组织一次篮球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都比赛一场，计划安排28场比赛，求共有几支球队参加比赛？
（2）如图，线段上共有7个点（包括端点），则图中共有________________条线段；
（3）若一个边形共有20条对角线，则_______________．
【答案】（1）8支；（2）21；（3）8
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的计数方法，边形对角线公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）利用比赛的总场数参赛队伍数（参赛队伍数），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可解题．
（2）根据线段的计数方法无遗漏的数出所有线段，即可解题；
（3）根据边形对角线公式为，列式计算，即可解题．
【详解】解：（1）设共有支球队参加比赛，
根据题意有，
解得或（不合题意，舍去），
（2）因为线段上共有7个点（包括端点），
所以图中所有线段个数为：（条），
故答案为：；
（3）因为一个边形共有20条对角线，
所以，
解得或（不合题意，舍去），
故答案为：．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线与轴交于点，，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键．
（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可；
（2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可．
【小问1详解】
解：∵
，
该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：令，得：，
∴，，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，且，
∴，
∴，
化简为：，
解得：或．
21. 如图，中，，以为直径的半交于点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先由直径所对的圆周角是90度得，结合等腰三角形的三线合一得，接着证明是的中位线，因为，，所以，即可作答．
（2）运用勾股定理算出，再结合等面积法列式计算，即可作答．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
是半圆的直径，
，
，
，
，
∴是的中位线，
，
又，
，
又点在半圆上，
是半的切线；
【小问2详解】
解：由（1）知，Rt中，，
∴
∵，且
则，
∴，
即，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，中位线的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22. 某公司生产的商品的市场建议零售价为每件元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（件）与实际销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利．
（1）求该商品每件的成本为多少元？
（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为元？
（说明：日销售利润（实际销售价格成本）日销售量）
（3）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）元
（2）元或元
（3）销售价格定为元时，日销售利润最大，为元
【解析】
【分析】（1）设该公司生产销售每件商品的成本为元，根据该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利列出方程，求出方程的解得到的值，即为每件商品的成本；
（2）根据日销售利润（实际销售价格成本）日销售量，由日销售利润为元列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果；
（3）设日销售利润为元，列式求出与的二次函数关系求解即可．
此题考查了一元二次方程的应用，二次函数求最值以及一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．
【小问1详解】
解：该公司生产销售每件商品的成本为元
依题意：
解得：
即：每件商品的成本为元．
【小问2详解】
解：依题意：
整理得：
解得：或
当时，，
当时，
答：当实际销售价格定为元或元时，日销售利润为元．
【小问3详解】
解：设日销售利润为元
当时，最大，最大值为，此时
即当实际销售价格定为元时，日销售利润最大，为元．
23. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份学习任务单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）该弧所在圆的半径长为______________；
（2）“求真”学习小组小明同学对“追梦”学习小组的汇报结论提出质疑：他所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，记为点．请你解答小明同学的质疑：此时___________（填“=”，“＜”或“＞”），并说明理由；
针对同学们的探究成果，李老师又提出了一个变式应用问题：
（3）如图3，四边形中，，点在边上运动，当是直角三角形时，的长度为______________．（直接写出结果）
【答案】（1）4 （2）＜，见解析
（3）1或2或4或5
【解析】
【分析】（1）设圆心为O，连接，由题意易得，则有是等边三角形，进而问题可求解；
（2）设与圆相交于点D，连接，由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解；
（3）由题意可分①当时，②当时，③当时，进而分类进行求解即可．
【小问1详解】
解：设圆心为O，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴；
故答案为4；
【小问2详解】
解：，理由如下：
设与圆相交于点D，连接，如图所示：
∴，
∵是的外角，
∴，即；
故答案为＜；
【小问3详解】
解：当是直角三角形时，则可分：
①当时，过点H作，垂足为Q，如图所示：
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，分别过点E、H作，垂足分别为T、Q，如图所示：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①可知：，，
∴，
设，则有，
∴，
整理得：，
解得：，
经检验：或是原方程的解，
∴或；
③当时，如图所示：
由①可知：，
∴；
综上所述：当当是直角三角形时，的长度为1或2或4或5；
故答案为1或2或4或5．
【点睛】本题主要考查相似三角形性质与判定、三角函数及圆周角的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、三角函数及圆周角的性质是解题的关键．
24. 如图1，拋物线交轴于A，B两点（在的左边），与轴负半轴交于点，且，连接．
（1）求拋物线的解析式；
（2）为抛物线上一点，若，求点的坐标；
（3）如图2，为线段上一动点，过点作轴交抛物线于点，第四象限的拋物线上是否存在点，连接，使与互相平分，若存在求点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点的坐标为或
（3）点坐标为
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数的综合应用，平行四边形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，先得出点的坐标为，点的坐标为，结合令是该方程的根，解得，即可作答．
（2）读懂题意，然后进行分类讨论，即点在轴上方，或点在轴下方，分别作图，再运用二次函数的图象性质列式计算，即可作答．
（3）依题意，假设存在点．因为与互相平分，所以且，因为且轴交抛物线于点，则，得①，②，联立①②，解得：，将代入中得，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，令，得，即点坐标为，
∵，
，即点的坐标为，
令是该方程的根，
，
得，
故抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：依题意，设点坐标为，
如图，若点在轴上方，作轴于点，
由（1）知：，
，
，
即：，
得：或（舍去），
此时点坐标为，
若点在轴下方，
同理得：，
即：，
得：或（舍去），
此时点坐标为；
综上：点的坐标为或；
【小问3详解】
解：依题意，假设存在点．
当四边形是平行四边形时，与互相平分，
且，
且轴交抛物线于点，
则，
故点与点是一对对称点，
①，
又，
②，
联立①②，解得：，
将代入中得：，
点的坐标为．
已知线段，在的上方画，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？各学习小组内部交流后有什么发现？
已知线段，在的上方画，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？各学习小组内部交流后有什么发现？