湖南省株洲市第二中学2024-2025学年七年级下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省株洲市第二中学2024-2025学年七年级下学期开学考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如果零上记作，那么零下记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了正负数的意义．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
详解】解：∵零上记作，
∴零下记作．
故选：A．
2. 下列四个数中，比小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数比较大小，掌握绝对值的性质，两个负数比较大小的方法是解题的关键 ．
根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，由此即可求解 ．
【详解】解：∵，，
∴，
∴比小的数是，
故选：B ．
3. 下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，相反数，正确化简各数是解答本题的关键．直接利用有理数的乘方运算法则，绝对值，相反数的定义，化简各数进而得出答案．
【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；
B、，原式错误，不符合题意；
C、，原式错误，不符合题意；
D、，原式正确，符合题意；
故选：D．
4. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列选项正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴得到，再根据有理数四则运算法则求解即可．
【详解】解：由数轴可知，
∴，，，
∴四个选项中只有A选项正确，符合题意，
故选：A．
5. 单项式的系数和次数分别是（ ）
A. 2和4B. 和4C. 和2D. 和6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的概念，本题属于基础题型．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：根据单项式系数、次数的定义的系数与次数分别是，6．
故选：D．
6. 若单项式与的和仍为单项式，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，根据同类项的概念即可求出答案，解题的关键是熟练运用同类项的定义，本题属于基础题型．
【详解】解：由题意可知：，，
解得，，
，
故选：A
7. 一件商品按成本价提高再按8折售出，售价为元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，列出方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这件商品的成本价为元，根据题意，列方程即可求解．
【详解】解：设这件商品的成本价为元，
根据题意，，
故选：A．
8. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘方和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选C．
9. 生活情境·折纸 按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ）
A. 与互余B.
C. 平分D. 与互补
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角、角平分线的定义，由折叠的性质可得，求出，即可判断A；求出即可判断B；根据即可判断C；根据即可判断D．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∴，
∴与互余，故A正确，不符合题意；
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴不平分，故C错误，符合题意；
∵，
∴与互补，故D正确，不符合题意；
故选：C．
10. 如图1，是一条拉直的细绳，C和D两点在上，且．若将点C固定，将折向，使得重叠在上（如图2），再沿点D剪断，使细绳分成三条，则分成的三条细绳的长度由小到大之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段的和与差，根据比值，将每一段的长度表示成总长度的几分之几，用代数的方法代入计算是解题关键．设对折后点D关于C点对称处为，被剪断两处分别是点D和，剪开的三段细绳依次是、、，根据题意，可得，；根据，可得，，，根据对折性质，，把、、的长度写成关于的值，比较大小后代入计算即可．
【详解】解：设对折后点D关于C点对称处为，被剪断两处分别是点D和，剪开的三段细绳依次是、、，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴．
∴．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 2024的倒数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了倒数，乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可．
【详解】解：，
2024的倒数是，
故答案为：．
12. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法运算，掌握其运算法则是关键．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解．
【详解】解：，
故答案为： ．
13. 已知水星的半径约为米，用科学记数法表示为______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 已知是关于，的二元一次方程，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义，可得方程组，解得m、n的值，代入代数式即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
∴4，
故填：4．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，属于基础题型．
15. 如图，是的平分线，，则的度数是_____．
【答案】##144度
【解析】
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由已知可得，，根据角平分线的定义得，即可得解．掌握角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴的度数是．
故答案为：．
16. 已知，则_______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．由可得，再根据同底数幂的乘法法则以及逆用幂的乘方运算法则把所求式子变形求解即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：16．
17. 2024年3月12日，是我国的第46个植树节．校团委刘书记组织学校一、二、三中队共植树200棵，二中队植树的棵数是一中队的2倍多5棵，三中队植树的棵数比一、二中队之和多4棵，则一中队植树________棵．
【答案】31
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一中队植树x棵，根据“三个中队共植树200棵”列方程求解即可．
【详解】解：设一中队植树x棵，则二中队植树棵，三中队植树棵，
根据题意，得，
解得，
故答案为：31．
18. 一个如图所示的长方形，恰好被分成6个正方形，已知最小的正方形的面积为1，则正方形的边长为____________．
【答案】4
【解析】
【分析】设正方形F的边长为x，根据长方形对边相等结合图形可列出关于x的一元一次方程，求出x即可．
【详解】设正方形F的边长为x，
∵正方形A的面积为1，
∴正方形A的边长为1．
根据图形可知正方形E的边长为x，正方形D的边长为x+1，正方形C的边长为x+1+1=x+2，正方形B的边长为x+2+1=x+3，
∴正方形F的边长+正方形E的边长+正方形D的边长=正方形B的边长+正方形C的边长，即x+x+( x+1)=( x+2) +( x+3)．
解得x=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查正方形、长方形的性质以及一元一次方程在几何中的应用．根据长方形对边相等列出边的等量关系式是解答本题的关键．
三、解答题（共66分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算：
（1）根据有理数的加减混合运算法则计算；
（2）利用乘法分配律计算，再进行加减计算．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
20. 解方程（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
【小问2详解】
解：
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键；根据去括号，合并同类项化简整式，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
22. 如图，线段上有C、D两点，且，若．
（1）求线段的长；
（2）如果点C是的中点，求线段的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的相关计算，熟练掌握线段的和差及线段中点的相关计算是解题的关键．
（1）根据已知可求得，再根据线段的和差，即可求得答案；
（2）根据线段中点的定义可知，再用线段的和差计算，即得答案．
【小问1详解】
解：，，
，
；
【小问2详解】
解：C是的中点，
，
．
23. 某地对居民每月用电设定如下两种计费方式供居民选择：
方式一：“分档”计算电费，电价如表1，即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，总电费等于各档电费的总和；
方式二：“分档分时”计算电费，其中峰谷时段电价差额如表2，总电费分档电费峰时段增加的电费谷时段减少的电费．
表1
表2
例如：某居民家月用电量500度，其中峰时段电量360度，谷时段电量140度．
若使用方式一，总电费（元）．
若使用方式二，总电费（元）．
【问题解决】
（1）若小明家4月份的用电量为300度，其中峰电量200度，谷电量100度．则使用方式一计费，电费为_______元，使用方式二计费，电费为_______元；
（2）若小明家5月份使用方式一交费，电费为192元，求小明家5月份的用电量；
（3）若小明家6月份的峰电量是谷电量的2.5倍，并且使用方式二计费会比使用方式一计费节约12.5元，求小明家6月份峰时段、谷时段用电量分别是多少度？
【答案】（1）153.5，139.5
（2）370度 （3）峰时段用电量为250度，谷时段用电量为100度
【解析】
【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．
（1）根据两种计费方式列式计算即可；
（2）先判断用电量是否超过230度，再列式计算即可；
（3）设小明家6月份的谷时段用电量为x度，则峰时段用电量为度，根据使用方式二计费会比使用方式一计费节约12.5元，列一元一次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：使用方式一，总电费（元）．
使用方式二，总电费（元）；
【小问2详解】
解：，则小明家5月份的用电量超过230度，
则（度）
（度）
答：小明家5月份的用电量为370度；
【小问3详解】
解：设小明家6月份的谷时段用电量为x度，则峰时段用电量为度，根据题意：
，
整理得：，
解得：，则（度）
答：小明家6月份峰时段用电量为250度，谷时段用电量为100度．
24. 对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
（1）和5关于2的“美好关联数”为______；
（2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；
（3）若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于41的“美好关联数”为1，…．
①的最小值为______；②的值为______．（最小值）
【答案】（1）8 （2）或
（3）①1；②820
【解析】
【分析】（1）根据“美好关联数”定义进行求解即可；
（2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可；
（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
【小问1详解】
解：，
故答案为：8；
【小问2详解】
解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，
∴，
解得或；
【小问3详解】
解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，
∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，有最小值1；
②由题意可知：，
∵
∴的最小值；
，
∵
的最小值；
同理，，
的最小值；
，
的最小值；

，
的最小值；
∴的最小值：
．
故答案为：1,820
25. 如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系 ；
（2）若射线OC的位值保持不变，且∠COE＝140°
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意t的取值 ，若不存在，请说明理由；
②在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时，如图3，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值 ．
【答案】（1）∠BOC=∠BOE；（2）①2、8和32；②50°
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠AOD=∠AOC，再根据等角的余角相等即可得出结论；
（2）①分OA平分∠COD、OC平分∠AOD、OD平分∠AOC三种情况分别列出关于t在方程，然后解方程即可；
②由角的和与差得出∠AOC=140°－∠AOE、∠BOE=90°－∠AOE即可解答．
【详解】解：（1）∵OA平分∠COD，
∴∠AOD=∠AOC，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOD =90°，∠BOC+∠AOC =90°，
∴∠BOC=∠BOE，
故答案为：∠BOC=∠BOE；
（2）①存，
∵∠COE=140°，
∴∠COD=40°，
当OA平分∠COD时，∠AOD=∠AOC=20°，则10t=20°，∴t=2；
当OC平分∠AOD时，∠AOC=∠DOC，则10t－40°=40°，∴t=8；
当OD平分∠AOC时，∠AOD=∠DOC，则360°－10t=40°，∴t=32，
综上，所有满足题意t的取值为2、8和32，
故答案为：2、8和32；
②∵∠COE=140°，
∴∠AOC=∠COE－∠AOE=140°－∠AOE，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE=90°－∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE=（140°－∠AOE）－（90°－∠AOE）=50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查角平分线的性质、余角性质、角度的运算，熟练掌握角平分线的性质，分类讨论的思想运用是解答的关键．居民用电分档
用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第一档
不超过230
0.50
第二档
超过230
0.55
峰谷时段
电价差额（单位：元/度）
峰时段（当日当日）
（每度电在各档电价基础上加价0.03元）
谷时段（当日次日）
（每度电在各档电价基础上降低0.20元）