广西柳州市柳州市2025年九年级中考第一次模拟联考数学试卷（解析版）

这是一份广西柳州市柳州市2025年九年级中考第一次模拟联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共12小题，每题3分，共36分）
1．下列美术字中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故选：.
2．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上
B．投掷飞镖一次，命中靶心
C．从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球
D．玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀”
【答案】C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解析】A、属于随机事件，故本选项不符合题意；
B、属于随机事件，故本选项不符合题意；
C、属于必然事件，故本选项符合题意；
D、属于随机事件，故本选项不符合题意；
故选：C.
3．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（ ）．
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】C
【解析】∵ ∠A=∠BOC， ∠BOC=100° ，
∴ ∠A=50° ．
故选：C.
4．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ）
A．-2B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，∴，的取值可以是3，
故选：D.
5．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A．9πB．6πC．3πD．2π
【答案】C
【解析】扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为：；
故选：C.
6．如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．B．8C．D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B.
7．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
∴，，且相似比为，
∴．
故A，B选项正确，不符合题意；
与是以点为位似中心的位似图形，
∴，
，，
，
故C选项正确，不符合题意；
与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，
．
故D选项不正确，符合题意．
故选：D.
8．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，解得：，故A正确．
故选：A.
9．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴．
故选：B.
10．如图，在中，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（ ）
A．4B．C．6D．5
【答案】D
【解析】∵将绕点旋转至，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴．
故选：D.
11．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B.
12．对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．②③⑤
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键．
【解析】①∵抛物线与x轴有两个交点，
，
，故①不符合题意；
②由图象可知：，，
，
，
，故②正确，符合题意；
③当时，，
∴，故③符合题意；
④当时，，故④不符合题意；
⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案直接写在答题卡的横线上）
13．在平面直角坐标系中，点B与点关于原点对称，则点B的坐标是 ．
【答案】
【解析】点B与点关于原点对称
点的坐标是．
故答案为：．
14．如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，．且测得米，米，PD=12米，那么该古墙的高度是 米．
【答案】8
【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即
解得：CD=8米．
故答案为：8．
15．如图所示，A为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为 ．
【答案】12
【解析】设，则，
∴，
∵函数图象位于一、三象限，
∴，
∴取．
故答案为：12.
16．如图，在中，，，为边的高，点在轴上，点在轴上，点在第一象限，若从原点出发，沿轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点随之沿轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为秒，当到达原点时停止运动．连接，线段的长随的变化而变化，当最大时， ．
【答案】
【解析】∵，为边的高，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最大，
此时：，
∴，
∴；
故答案为：.
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．
17．已知二次函数．
（1）求当函数值时，自变量的值；
（2）请判断此函数有最大值还是最小值，并求出最大值或最小值．
解：（1）当时，
或
，
（2）因为，开口向上，所以函数有最小值．
此函数最小值为．
18．如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出关于的不等式的解集；
（3）连接、，求的面积．
解：（1）由题意，将点代入双曲线解析式，
，
．
双曲线为．
（2）根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，
∴关于的不等式的解集为或．
（3）在双曲线为，
，
∴，
将，代入，
得：，解得：，
，
设与轴交于点，则坐标，
，
答：的面积为．
19．如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜．
（1）转出的数字为3的概率是 ．
（2）转出的数字不大于3 的概率是 ．
（3）你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？
解：（1）∵一共有5个数字，每个数字被转出的概率相同，
∴转出的数字为3的概率是，
故答案为：；
（2）∵一共有5个数字，数字不大于3 的有3个，，
∴转出的数字不大于3 的概率是，
故答案为：；
（3）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下：
∵一共有5个数字，其中奇数有3个，偶数有2个，且每个数字被转出的概率相同，
∴任意转动转盘一次，转出奇数的概率为，转出偶数的概率为，
∴，
∴乙获胜的概率大，
∴这样的游戏规则对甲、乙两人不公平．
20．某店销售某种进价为40元的产品，已知该店按60元出售时，每天可售出，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则每天的销售量可增加．
（1）若单价降低2元，则每天的销售量是______千克，若单价降低元，则每天的销售量是______千克；（用含的代数式表示）
（2）若该店销售这种产品计划每天获利2160元，单价应降价多少元？
（3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？
解：（1）若单价降低2元，则每天的销售量是（千克），
若单价降低元，则每天的销售量是千克；
（2）设单价应降价元，依题意得：
，
整理得：，
解得，，
答：单价应降价2元或8元；
（3）设利润为w元，单价降低元，
，
，
w有最大值，
当时，w的最大值是2250，
答：当单价降低5元时，该店每天的利润最大，最大利润是2250元．
21．如图，是的直径，四边形内接于，连接，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为5，求的长．
（1）证明：如图，连接，，
，是半径，
，
是的直径，
，即，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：由题意知，，
由勾股定理得，；
是的直径，
；
，
，
，
，即，
解得，；
的长为．
22．【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．
解：（1）抛物线经过原点，
．解得：．
抛物线的解析式为：．
顶点的坐标为；
（2）取，，解得：，，
点的坐标为，
心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点，
设的解析式为：．
经过点，
．解得：．
的解析式为：．
，解得：
点的坐标为．
．
．
（3）作抛物线的对称轴于点，则，
直线与水平线的夹角为，
．
设点的横坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
．
顶点的坐标为，
点的纵坐标为．
点在抛物线上，
．解得：．
点的坐标为．
．
23．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
(1)尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明；
(2)基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的E点处．若，，求的长；
(3)拓展升华：如图4，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长．
（1）证明：，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，
∴，，
由（1）可知，，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，即是的角平分线，
∴由（1）可得：，
∵，，，
∴，
∴，
∵的中垂线交延长线于，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．