2024-2025学年云南省红河州开远市高二上册9月月考数学检测试题合集2套（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省红河州开远市高二上册9月月考数学检测试题合集2套（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，总有，则为（ ）
A．，使得B．，使得
C．，总有D．，总有
3．在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀骰子，“向上的两个数之和为3”的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
8．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若，则下列与角的终边可能相同的角是（ ）
A．B．
C．，D．，
10．在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．直线与平面所成角为
D．平面经过棱的三等分点
11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A．的斜率为
B．是锐角三角形
C．四边形的面积是
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．直线的倾斜角 .
13．已知为锐角，且，则 ．
14．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方，已知幻和等于15的九宫格共有8种.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知中，角所对的边分别为，其中.
(1)求的值；
(2)若的面积为，周长为6，求的外接圆面积.
16．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)从点向圆C作切线，求切线方程．
17．设ABC是等边三角形，O为边AC的中点，底面ABC，．

(1)求三棱锥的体积；
(2)若M为BC的中点，求PM与平面PAC所成角的大小．
18．在某次投篮比赛中，需要投篮四次.第一次投篮命中得1分，第二次投篮命中得2分，第三次和第四次投篮命中均得3分，未命中不得分.甲四次投篮命中的概率分别为，且每次投篮能否命中都是相互独立的.
(1)求甲四次投篮共得0分的概率;
(2)若规定投篮者四次投篮的总得分不低于7分，则晋级成功.求甲晋级成功的概率.
19．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由，，
所以的虚部为.
故选：C.
2．【正确答案】B
【详解】因为，总有，则为，使得
故选:B
3．【正确答案】B
【详解】由可得为边中点，如图所示：

故选：B.
4．【正确答案】D
【详解】向上的两个数之和为3的有1+2,2+1两种情况，两个骰子一共有36种，故“向上的两个数之和为3”的概率是，故选D．
5．【正确答案】B
【详解】圆的圆心为1,0，
设直线的方程为，，即，
因为圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，
即，整理可得，解得或（舍去），
故选：B.
6．【正确答案】D
【详解】由，得，解得，
所以.
故选：D
7．【正确答案】D
【详解】根据题意以为基底表示出可得：
，，
又棱两两的夹角均为，不妨取，则；
所以；
；
又
；
所以，
因此异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D
8．【正确答案】D
【详解】由不等式的解集为，
可知1和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理可得，即可得，
所以.
当且仅当时，即时等号成立；
即可得.
故选：D
9．【正确答案】ACD
【详解】对于A，，因此A正确；
对于B，，因此B不正确；
对于C，，因此C正确；
对于D，，因此D正确。
故选：ACD.
10．【正确答案】ABD
【详解】在正方体中，分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为，
则，，，，，，，
所以，
设平面的一个法向量n=0,1,0，
因为，所以平面，A说法正确；
因为，，所以，B说法正确；
因为正方体中平面，
所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，所以，C说法错误；
在棱上取一点， 则，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，解得平面的一个法向量，
，解得平面的一个法向量，
因为平面平面，
所以当时，共面，此时，
即，解得，
所以平面经过棱的三等分点，D说法正确；
故选：ABD
11．【正确答案】ABD
【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断B,D；根据面积关系判断C.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，

设，
则，可得，
因为，即，
可知为等边三角形，即，
且∥ x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，
联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选ABD.
【方法总结】有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
12．【正确答案】
【详解】设直线的倾斜角为，
易知直线的斜率为，
所以，
解得.
故
13．【正确答案】
利用同角三角函数的基本关系可得，再由，利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】由为锐角，且，
所以，
所以
．
故
14．【正确答案】/0.75
【详解】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，
因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，
所以、位置填或，
先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，
①若填，
则填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
②若填，
则填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
③若填，
则填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
④若填，
则填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
所以总的结果个数为个，
其中符合的情况有，，，，，共个，
所以.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，故，则，
因为，故.
（2）由题意，故.
由余弦定理得，
解得.
故的外接圆半径，
故所求外接圆面积.
16．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1，
又因为的中点为，
所以线段的中垂线的直线方程为，
即，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于,所以圆的方程为.
（2）设圆的半径为，则，
若直线的斜率不存在，因为直线过点，
所以直线方程为，
此时圆心到直线的距离，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为，
则切线方程为，即，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
解得，
所以切线方程为，即.
所以切线方程为或.
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为底面ABC，底面ABC，则，
连接，同理，
又，，∴，
而，
；
（2）由已知，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
由已知，
则，，，∴，
，易知平面的一个法向量是，
，
设PM与平面PAC所成角大小为，则，，
所以．

18．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设事件"甲四次投篮共得0分"，
所以.
（2）设事件"甲晋级成功"，则甲投篮至少命中3次.
若甲投篮命中3次晋级成功，则甲必定是第一次投篮或第二次投篮没有命中，
则甲投篮命中3次晋级成功的概率.
若甲投篮命中4次，必定晋级成功，则甲投篮命中4次普级成功的概率，
所以，即甲晋级成功的概率为.
19．【正确答案】(1)
(2)．
【详解】（1）由题意知，
解得，
则椭圆的方程为．
（2）易知四边形为平行四边形，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立直线与椭圆消去并整理得，
由韦达定理得
，
因为与平行，所以这两条直线的距离，
则平行四边形的面积．
2024-2025学年云南省红河州开远市高二上学期9月月考数学
检测试题（二）
一、单选题（本大题共8小题）
1．样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为
A．19B．23C．21D．18
2．已知，则夹角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知为两条不同直线，为两个不同平面，且，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．若函数是偶函数，则（ ）
A．B．eC．D．
5．已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则或
10．已知样本数据的方差为，平均数，则（ ）
A．数据，，，，的方差为
B．数据，，，，的平均数大于0
C．数据的方差大于
D．数据的平均数大于
11．如图1，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图2的圆锥中（ ）

A．圆锥的体积为
B．当为中点时，线段在底面的投影长为
C．存在，使得
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则 .
13．在中，是边上的高，若，则 ．
14．表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径（单位：）数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是，样本数据分组为.已知样本中钢球直径在内的个数是20.
(1)求样本容量；
(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数.
16．设为坐标原点，向量、、分别对应复数、、，且，， . 已知是纯虚数.
(1)求实数的值；
(2)若三点共线，求实数的值.
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
18．记的内角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是边上一点，且，求的面积．
19．如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点.
(1)求结果用表示；
(2)若 .
①求的取值范围；
②设，记，求函数的值域.
答案
1．【正确答案】C
将这10个数据从小排列为12，13，15，17，19，23，29，31，38，43，所以这组数据的中位数是.故选：C.
2．【正确答案】A
【分析】利用向量夹角公式直接求解即可.
【详解】.
故选：A.
3．【正确答案】B
【分析】利用空间直线，平面的位置关系逐项判断可得每个选项的正确性.
【详解】对于A，可能相交，如图所示正方体中，若为直线，
为平面，为平面，若为，则，故A错误；
对于B：由，，可得或，
当，又，所以，
当，则在内存在，又，则，又，所以，故B正确；
对于C：，，则可得，又，所以或，故C错误；
对于D：，，可得，又，可得或与相交，故D错误.
故选：B.
4．【正确答案】A
【分析】利用偶函数的定义，可得对定义域内的每一个数均成立，可求.
【详解】函数的定义域为，
因为函数是偶函数，
所以f−x=fx，所以，
可得，
可得对均成立，
所以.
故选：A.
5．【正确答案】B
【分析】用复数的运算法则化简即可求得.
【详解】由复数，则，，
故复数在复平面内的点的坐标为.
故选：B
6．【正确答案】B
【分析】解方程分别求得，进而可判断结果.
【详解】由，可得，可得，
解得或，
所以或或，
由，可得，解得或，
所以或或，
所以.
故选：B.
7．【正确答案】A
【分析】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，根据比例关系得到.
【详解】设棱台的高为，棱台上面截去的棱锥的高为，
则，，
所以，即．
故选：A．
8．【正确答案】B
【详解】

设的中点为，连接（不与点重合），，，，
所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图，
在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，
在中利用余弦定理可得，

所以的周长的最小值为．
故选：B．
9．【正确答案】ABD
【分析】设，则，逐项计算可判断每个选项的正确性.
【详解】设且，则，
，
所以，所以，故A正确；
，故B正确；
当时，满足，但不能得出，故C错误；
因为，
所以，则或，故D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】AD
【分析】根据方差、平均数的定义和性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：数据，，，，的方差为，A正确；
对B：数据，，，，的平均数为，
当时，，故B错误；
对C：去掉一个最小(特异值)的数据，剩下的数据的方差有可能更小，故C错误；
对D：因为，数据的平均数，
因为，故数据的平均数大于，故D正确.
故选：AD.
11．【正确答案】BCD
【分析】
求得圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可判断A；设M在底面上的投影为H，利用余弦定理求得投影的长，判断B；根据线面垂直的性质定理可判断C；结合，可求得的长，即可判断D.
【详解】
对于A，设圆锥的底面半径为R，高为h，由题意知，
圆锥的母线长为，故，
故圆锥体积为，A错误；
对于B，当为中点时，设M在底面上的投影为H，则H为的中点，
则为线段在底面的投影，
，而，在中，
，
即，即线段在底面的投影长为，B正确；

对于C，作于T，作于，连接，
设圆锥底面直径为，由于，
即，则，
，则为正三角形，故T为的中点，
则，故，即为的四等分点，
由于平面底面，平面底面，底面，
，故平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，
故当M与重合时，，C正确；
对于D，由C的分析知，，而，
故，D正确，
故选：BCD
12．【正确答案】200
【详解】青年旅客抽到60人，则老、中年旅客的人数分别为和，
故.
故200
13．【正确答案】
【分析】设，表达出，根据垂直关系得到方程，求出，进而得到答案.
【详解】设，
则，
由得，
解得，故，所以.
故答案为.
14．【正确答案】2
【分析】设，因为，可得，借助于基本不等式可得，验证等号成立的条件，即得.
【详解】设，则，，，
因为，则得．又因为，所以，
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2．
【思路导引】先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件.
15．【正确答案】(1)50；
(2)160.
【分析】（1）用频数除以频率即可求解；
（2）首先求出样本中不合格产品的占比，由此乘以该批钢球总数即可得解.
【详解】（1）因为样本中钢球直径在内的个数是20，其频率为0.40，
所以样本容量为.
（2）样本中这批产品的不合格产品件数为，
由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，
由于复数是纯虚数，则，解得；
（2）由（1）可得，，则点，，点
所以，
因三点共线，所以，所以，
所以
17．【正确答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】
（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）利用等体积法求出点到平面的距离.
【详解】（1）由底面为正方形，得，又平面，
于是平面，而平面，则，同理，
又平面，
所以平面.
（2）由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理，
在中，，因此，
在直角中，，
由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为
设点到平面的距离为，由，得，解得，
所以点到平面的距离为.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换可得，进而可得结果；
（2）根据题意利用余弦定理解得，再结合面积公式运算求解.
【详解】（1）因为，则，
可得，
则，
若，则，且B∈0,π，所以；
若，则，即，
且，所以，
但，由正弦定理可得，不合题意；
综上所述.
（2）因为，则，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得或（舍去），
则，所以的面积.
19．【正确答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）①.
设，又，所以，
则
所以
，
因为，则，
所以，则
故；
②设，
则，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
所以.
令， ，
，令，
则，
因为，
则，即，
所以在上单调递增，则，
所以的取值范围是.