2024-2025学年湖北省十堰市高一上册9月月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省十堰市高一上册9月月考数学质量检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则a的值为（ ）
A. 或1或2B. 或1C. 或2D. 2
2. 设集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知集合，，，则集合 的关系是（ ）
A. B.
C. D.
4. 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 下面命题正确的是（ ）
A. 已知，则“”是“”的充要条件
B. 命题“若，使得”的否定是“”
C. 已知，则“”是“”的既不充分也不必要条件
D. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
6. 已知，下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 24B. 25C. 26D. 27
8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设全集为，在下列选项中，是充要条件的有（ ）
A B.
C. D.
10. 对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 若A，且，则
B. 若A，且，则
C. 若A，且，则
D. 存在A，，使得
11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ）
A. ab的最大值为B. 的最大值是2
C. 的最小值是18D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，则的取值范围为________.
13. 已知方程，求的取值范围_________．
14. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有______人.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、明过程或演算步骤.
15. 已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
16 已知集合，A=x|4x−x2>0，.
（1）当时，求
（2）若，求范围.
17. 为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知．
（1）当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
（2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
18. 设，为正实数，且
（1）求和的值；
（2）求的最小值．
（3）求的最小值.
19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.
（1）求的解集和的解集.
（2）若，恒成立，求取值范围
（3）若的解集为，求的范围.
2024-2025学年湖北省十堰市高一上学期9月月考数学质量检测试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则a的值为（ ）
A. 或1或2B. 或1C. 或2D. 2
【正确答案】D
【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可.
【详解】因为，
所以或3或，
当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素互异性，舍去；
当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.
故选：D
2. 设集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意，结合集合间的运算，即可求解.
【详解】根据题意，易得，故．
故选：A.
3. 已知集合，，，则集合 的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系．
【详解】集合，
当时，，
当时，，
又集合，，
集合，集合，，
可得，
综上可得
故选：C．
4. 设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若“的周长为16”，则，解得，
所以“其中一条边长为6”.
若“其中一条边长为6”，如，
则，此时三角形的周长为，
即无法得出“的周长为16”，
所以“的周长为16”是“其中一条边长为6” 充分不必要条件.
故选：A
5. 下面命题正确的是（ ）
A. 已知，则“”是“”的充要条件
B. 命题“若，使得”的否定是“”
C. 已知，则“”是“”的既不充分也不必要条件
D. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
【正确答案】D
【分析】利用充分不必要条件的定义判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用既不充分也不必要定义判断C；利用必要不充分条件的定义判断D.
【详解】对于A，当时，或，故能推出，但不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于B，由存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题“若，使得”的否定是“”，错误；
对于C，由得或，故推不出，
但是当时，一定成立，即能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，错误；
对于D，已知，当时，满足，但是不满足，
反之，当时，则，即，
所以“”是“”的必要不充分条件，正确.
故选：D
6. 已知，下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】用不等式的基本性质得解.
【详解】对A选项，设，则，A错误；
对B选项，若,又,所以,故B正确;
对C选项，，但，C错误;
对D选项，，但，D错误.
故选:B.
7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 24B. 25C. 26D. 27
【正确答案】B
【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，且，
所以
，
当且仅当，即时取等.
故的最小值为25.
故选：B.
8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】设，则，，故可得不等式的解集中的三个整数为，据此可求参数的取值范围.
【详解】设，则，
故的解集中有整数1，而，
故不等式的解集中的三个整数为，故，
所以，故，
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】
结合Venn图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可.
【详解】如图Venn图所示，
选项A中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件.
选项C中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件.
选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故.故互为充要条件.
选项B中，如下Venn图，
若，则，推不出.故错误.
故选：ACD.
10. 对任意A，，记，则称为集合A，B的对称差．例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 若A，且，则
B. 若A，且，则
C. 若A，且，则
D. 存在A，，使得
【正确答案】ABD
【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．
【详解】解：对于A选项，因为，所以，所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；
对于B选项，因为，所以，即与是相同的，所以，即选项B正确；
对于C选项，因为，所以，所以，即选项C错误；
对于D选项，时，，，D正确；
故选：ABD．
11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ）
A. ab的最大值为B. 的最大值是2
C. 的最小值是18D. 的最小值是
【正确答案】AC
【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B要用乘1法，D减少变量后用基本不等式.
【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确；
由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；
由，得，
对于，由，得，
，
当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，，则的取值范围为________.
【正确答案】
【分析】将化为，根据不等式性质即可求得答案.
【详解】由于，，则，
而，故，
故的取值范围为，
故
13. 已知方程，求的取值范围_________．
【正确答案】
【分析】分离出，得，求出对应的的值域即可求解.
【详解】当时，原式化为，无解，故，
则，由得，
设，由对勾函数知，
函数在单调递减，单调递增，
故，则的值域为，
即，则或.
故
14. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有______人.
【正确答案】44
【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图与容斥原理可知，当取最大值时最大，验证即可得.
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合.
由题意知，
且，
则，

由
，
可得，
当且仅当时，即.
验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.

故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、明过程或演算步骤.
15. 已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）写出命题的否定，由它为真命题求解；
（2）由（1）易得命题为真时的范围，再由为真命题时的范围得出非为真时的范围，两者求交集可得．
【详解】解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.
实数的取值范围是.
(2)由(1)知命题为真命题时，.
命题为真命题时，，解得为真命题时，.
，解得，即实数的取值范围为.
16. 已知集合，，.
（1）当时，求.
（2）若，求范围.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】(1) 由已知求出与，分别求出两集合的关于的补集，再求出交集即可；
(2)分情况讨论集合，当是空集时，和不是空集的两种情况，求出集合关于的补集包含集合.
【小问1详解】
时，
则，
所以
【小问2详解】
①时，，
此时
②时，，又，故，
此时，则
所以
综上：
17. 为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知．
（1）当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
（2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
【正确答案】（1）时，矩形的面积最小，最小面积2400
（2）
【分析】（1）设出的长为，则，表示出矩形面积的解析式，利用不等式求解；
（2）化简矩形面积，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
设出的长为，则，
，，，
∴矩形的面积，
由基本不等式得：，
当且仅当时，取“=”，当,即时，；
【小问2详解】
由（1）得，即，
∴，
∴或，
的范围在．
18. 设，为正实数，且
（1）求和的值；
（2）求的最小值．
（3）求的最小值.
【正确答案】（1），
（2）
（3）24
【分析】（1）利用恒等变形可求代数式的值；
（2）由题设可判断，再利用基本不等式可求和的最小值；
（3）利用恒等变形可得，结合基本不等式可求最小值.
【小问1详解】
由题设有，故
【小问2详解】
，
因为，故，故，
.由基本不等式得：
，
当且仅当时，即时取等，
故最小值.
【小问3详解】
由得，
，
当且仅当时，即时取等
故最小值为24.
19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.
（1）求的解集和的解集.
（2）若，恒成立，求取值范围.
（3）若的解集为，求的范围.
【正确答案】（1）；
（2）
（3）
【分析】（1）由x表示不超过实数的最大整数可得的范围；
（2）由不等式x2−mx+4>0恒成立，分离参数可得，再利用基本不等式可得的范围；
（3）不等式可化，分三类讨论解集情况可得.
【小问1详解】
由题意得，且，
由，即，所以，
故的解集为；
由，即，
，则，所以.
所以的解集为.
【小问2详解】
，x2−mx+4>0恒成立，
即，恒成立，
又，当且仅当时，即时等号成立.
故的最小值为，
所以要使x+4x>m恒成立，则.
故的取值范围为.
【小问3详解】
不等式，即，
由方程可得或.
①若，不等式为，
即，所以，显然不符合题意；
②若，，
由，解得，
因为不等式的解集为，
所以，解得
③若，，
由，解得，
因为不等式解集为，
所以，解得.
综上所述， 或.
故的范围为.