2024-2025学年河南省商丘市高一上册第一次月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省商丘市高一上册第一次月考数学学情检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C D.
2. 已知都是正数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数图象是
A. B.
C. D.
6. 若函数，则（ ）
A 50B. 49C. D.
7. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. 8D. 9
8. 已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9. 已知全集，集合，，则（ ）
A. 集合A的真子集有8个B.
C. D. 中的元素个数为5
10. 下列不等式恒成立是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知a，b为正实数，且，则（ ）
A. ab的最大值为8B. 的最小值为8
C. 的最小值为D. 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知集合，，若，则__________
13. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.
14. 设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是___________，全部不等式的整数解的和为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，.
（1）若且，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
16. 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的表达式；
（2）解关于x的不等式．
17. 已知二次函数且，．是否存在常数a，b，c使得不等式对一切实数x都成立？若存在，求出实数a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．
（其中）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．
19. 已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令.
（1）求实数的值及；
（2）判断函数在区间上的单调性，不用说明理由；
（3）已知，且，证明.
2024-2025学年河南省商丘市高一上学期第一次月考数学学情
检测试卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，即，
又，所以，
故选：B.
2. 已知都是正数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【正确答案】B
【分析】举出反例以及结合基本不等式判断“”和“”的逻辑关系，即得答案.
【详解】由题意可知当时，可取，显然不能推出；
当时，且，所以，即，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．
【详解】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选：B．
4. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由，且，可得，正负不确定.取特值可得AD错误；根据不等式的基本性质可判定BC项.
【详解】因为，，
则，所以，.
AD选项，令，满足条件，，
但，则，故AD错误；
B选项，由，则，故B正确；
C选项，由，则，故C错误.
故选：B.
5. 函数的图象是
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由函数，根据一次函数的图象，即可判定，得到答案.
【详解】由题意，函数，
根据一次函数的图象，可得函数的图象为选项C.
故选C.
本题主要考查了函数的图象的识别，其中解答中正确化简函数的解析式，利用一次函数的图象判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及识图能力，属于基础题.
6. 若函数，则（ ）
A. 50B. 49C. D.
【正确答案】C
【分析】
本题首先可通过得出，然后通过计算即可得出结果
【详解】因为，所以，，
则
，
故选：C.
7. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. 8D. 9
【正确答案】B
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式的“1“的妙用求出最小值.
【详解】由，得，
于是，当且仅当，即时取等号，
所以最小值为3.
故选：B
8. 已知函数，若对，，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用基本不等式和函数单调性可得，，，结合存在性问题以及恒成立问题列式求解.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
又因为，且，
可知函数在上单调递增，
可得，所以，
即若，则，，
若对，使得，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
关键点睛：本题求的值域分别利用基本不等式和函数单调性，这是求值域的两种重要且基础方法，应熟练掌握.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分.
9. 已知全集，集合，，则（ ）
A. 集合A的真子集有8个B. C. D. 中的元素个数为5
【正确答案】CD
【分析】根据给定条件，求出集合及全集，再逐项分析判断即得.
【详解】依题意，，而，则，
对于A，集合A的真子集个数为，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，，C正确；
对于D，中的元素个数为5，D正确.
故选：CD
10. 下列不等式恒成立是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】A选项，作差法得到；B选项，在A选项基础上，得到，从而得到；C选项，作差法得到；D选项，变形后利用基本不等式得到D正确.
【详解】A选项，，故，
当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，因为，不等式两边同时加上得
，两边同时除以4得，，
两边开方得，
当且仅当时，等号成立，B正确；
C选项，，
因为，所以，
故，C错误；
D选项，因为，所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ABD
11. 已知a，b为正实数，且，则（ ）
A. ab的最大值为8B. 的最小值为8
C. 的最小值为D. 的最小值为
【正确答案】ABC
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
则，
解不等式得，即，故的最大值为8，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确；
，
当且仅当，即时取等号，C正确；
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误．
故选：ABC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知集合，，若，则__________
【正确答案】
【分析】利用集合相等求出，再代入计算即得.
【详解】由集合，得，又，，
则或，解得，此时
解得与矛盾，
所以.
故
13. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】根据题意，即“”是真命题，结合二次函数的图象与性质对的符号分类讨论即可.
【详解】根据题意可得“”是真命题，
当，即时，命题成立；
当时，得，解得，
综上，符合题意的实数的取值范围是.
故答案为.
14. 设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是___________，全部不等式的整数解的和为___________.
【正确答案】 ①. -2或-1##-1或-2 ②. -10
【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，可求出的值，从而可求出原不等式的解，由此确定不等式的整数解，从而可得出答案.
【详解】若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故.
设，其图象为抛物线，
对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，
因为0为其中一个解，所以，即，所以，
又，所以或，
若，则不等式为，解得，
因为为整数，所以；
若，则不等式为，解得，
因为为整数，所以.
所以全部不等式的整数解的和为.
故-2或-1；-10.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，.
（1）若且，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据且，列不等式组求取值范围；
（2）分和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求的取值范围.
【小问1详解】
因为，且，所以，解得，，
综上所述，的取值范围为.
【小问2详解】
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，解得，，满足题意；
当时，因为，所以，解得，或无解；
综上所述，的取值范围为.
16. 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求的表达式；
（2）解关于x的不等式．
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）由不等式的解集为，得出1，2是方程的根且，代入求解即可；
（2）分类讨论，当，，，，，结合一元一次不等式及一元二次不等式的解法求解即可．
【小问1详解】
∵的解集为，
∴1，2是方程的根且，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
当时，，∵，∴，∴；
当时，，即，即，
当时，，∴或；
当时，，
（ⅰ）当时，无解；
（ⅱ）当时，；
（ⅲ）当时，；
综上所述：当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
17. 已知二次函数且，．是否存在常数a，b，c使得不等式对一切实数x都成立？若存在，求出实数a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
【正确答案】存在常数，，
【分析】根据和求出，，从而，不等式恒成立，利用根的判别式和开口方向得到不等式，求出，可得.
【详解】∵且,
∴,解得，，
函数表达式化简为，
设存在常数a，b，c使得不等式对一切实数x都成立，
可得对一切x成立，
化简得恒成立，
即，
解得，可得．
∴存在常数，，，使得不等式对一切实数x都成立．
18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．
（其中）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．
【正确答案】（1）采用方案二；理由见解析
（2）24
【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；
（2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：方案一的总费用为（元）；
方案二的总费用为（元），
由，
因为，可得，所以，
即，所以，所以采用方案二，花费更少.
【小问2详解】
解：由（1）可知，
令，则，
所以，当时，即时，等号成立，
又因为，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，
所以两种方案花费的差值最小为24元.
19. 已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令.
（1）求实数的值及；
（2）判断函数在区间上的单调性，不用说明理由；
（3）已知，且，证明.
【正确答案】（1），
（2）在上单调递增，在上单调递减
（3）证明见解析
【分析】（1）根据题意，令和，得到，再由二次函数的性质，求得，得到，进而得到的解析式；
（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）由，化简得到，结合基本不等式，即可得证.
【小问1详解】
解：由，均有且，
令，可得，
令，可得.
因为曲线与ℎx恰有一个交点且交点横坐标为，所以，
又因为曲线与ℎx恰有一个交点，所以有两个相等的实数根，
则，
因为，可得，解得，
所以，则.
【小问2详解】
函数在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减.
设且，
则
，
其中
当时，，则，即，
此时函数在0,1上单调递增；
当时，，则，即，
此时函数在1,+∞上单调递减，
所以函数在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减.
【小问3详解】
证明：因为，
由，可得，即，
所以，整理得，
又因为，由基本不等式，可得.