2024-2025学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省淮北市第一中学高二下学期开学考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知{a,b,c}是空间的一个基底，则下列向量中与向量a+b，a−2c能构成空间基底的是( )
A. a−b−4cB. 2a+b−2cC. a−b+cD. a+2b+2c
2.记Sn为等差数列an的前n项和，若2a3+a8+a18=48，则S15为( )
A. 45B. 90C. 180D. 240
3.已知直线l与圆O:x2+y2=5相交，且直线l被圆O所截得的弦长为4，则直线l的方程可能是( )
A. x+2y+5=0B. x+2y+ 5=0C. x+2y+2=0D. x+2y+ 2=0
4.已知A(2,1,3)，B(4,−1,3)，C(1,3,4)，则AC在AB方向上的投影向量为( )
A. 2,−2,0B. 32,−32,0C. −32,32,0D. −1,2,1
5.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个错的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|、|BiBi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16m，最短拉索P1A1满足|OP1|=60m，|OA1|=96m，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索P10B10所在直线的斜率为( )
A. 15B. 516C. 2564D. 25
6.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，B是C的下顶点，直线BF2与C的另一个交点为A，且满足F1A⊥F1B，则C的离心率为( )
A. 55B. 2 55C. 12D. 32
7.已知正项数列{an}的前n项积为Tn，满足(an−1)Tn=2an，则an0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2c，过点F2且斜率为−ba的直线l交C于点P，交C的一条渐近线于点Q，则( )
A. 若以F1F2为直径的圆经过点Q，则C的离心率为2
B. 若以F1F2为直径的圆经过点P，则C的离心率为2 2
C. 若QF2=2QP，则C的渐近线方程为y=±x
D. 若点P不在圆E:(x−c)2+y2=a24外，则C的渐近线的斜率的绝对值不大于1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是 ．
13.若直线y=k(x−2)+1与曲线y= 1−x2恰有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
14.已知离心率为e1的椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和离心率为e2的双曲线C2:x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)有公共的焦点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点，线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，则2e12+e22的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在空间直角坐标系中，设A0,2,3、B−2,1,6、C1,−1,5、D3,3,4．
(1)设a=−2,0,−8，b=AB+AD，求b的坐标，并判断a、b是否平行；
(2)求AB、AC的夹角θ，以及AB、AC为相邻两边的三角形面积S．
16.(本小题12分)
已知m∈R，直线l：x+(m−1)y+3m−6=0与圆C：x2+y2−8x+2y−3=0交于A，B两点．
(1)证明l恒过定点，并求出原点O到直线l的最大距离；
(2)已知点Nx,y在圆C上，求 x−22+y2的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC,M,N分别为AC,AB的中点，PM⊥AB,AB=BC=2,BP=PM=3．

(1)证明：AB⊥PN：
(2)求平面PMN和平面PMB夹角α的正弦值；
(3)在线段PC上是否存在点G，使得点G到平面PMB的距离是 22？若存在，求出PGPC的值：苦不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
已知A1，A2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右顶点，F1，F2分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线C上异于顶点的任意两点，当MN经过原点O时，直线A1M与直线A1N斜率之积为定值4．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线l：x=my+4(m∈R)，交双曲线C的左、右两支于D，E两点．
①求m的取值范围；
②设直线A1D与直线A2E交于点Q，求证：点Q在定直线上．
19.(本小题12分)
将向量a1=(x1,y1)，a2=(x2,y2)，⋯,an=(xn,yn)(n∈N∗)组成的系列称为向量列，记作an.已知向量列an满足a1=(1,1)，an=(xn,yn)(n∈N∗)，且xn+1=12xn−12yn，yn+1=12xn+12yn．
(1)求数列an的通项公式．
(2)设bn=an⋅lg2an，且θn+1=⟨an,an+1⟩，cn=n2θnπ．
①数列bn中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．
②若∃n∈N∗，使得 1cn+1+ 1cn+2+ 1cn+3+⋯+ 1c2n