四川省资阳中学2025届高三高考模拟数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份四川省资阳中学2025届高三高考模拟数学试卷（原卷版+解析版），共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A. ，2B. ，2C. ，D. ，
4. 若直线与双曲线：的一条渐近线平行，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
5. 如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（ ）

A. B. C. D.
6. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ）
A. 62岁3个月B. 62岁4个月C. 62岁5个月D. 63岁
7. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A. 8B. 4C. 16D. 12
8. 已知，定义运算@:，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. eD. 2e
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 给定两个不共线空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
①为同时与，垂直的向量；
②，，三个向量构成右手系（如图1）；
③.
如图2，在长方体中中，，，则（ ）

A.
B.
C.
D.
10. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 每一个直角三角形的面积为B.
C. D.
11. 如图，某工艺品是一个多面体，点两两互相垂直，且位于平面的异侧，则下列命题正确的有（ ）
A. 异面直线与所成角余弦值为
B. 当点为的中点时，线段的最小值为
C. 工艺品的体积为
D. 工艺品可以完全内置于表面积为的球内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数（其中为自然对数的底数）的反函数为，则______．
13. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为______；若是曲线C上任意一点，的最小值为______.
14. 九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数．
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
附，其中．
16. 已知函数（且），当时，.
（1）求；
（2）若为的极小值，求的取值范围；
17. 如图，已知正四棱锥的体积为，高为.
（1）求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
18. 已知正项数列满足，，记…，
（1）证明等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点其中点A在x轴上方连接，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后A，B在新图形中对应点记为，.
（1）当时，
①求三棱锥的外接球的表面积；
②求三棱锥的体积；
（2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2025年四川省资阳中学高考数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
因此，.
故选：C.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算化简复数，利用复数的模长公式可求得.
【详解】因为，因此，.
故选：C.
3. 函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A. ，2B. ，2C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据诱导公式以及辅助公式可得，再利用正弦函数的周期公式，结合正弦函数的最值即可得答案.
【详解】，
所以该函数的最小正周期为，最大值为
故选：C.
4. 若直线与双曲线：的一条渐近线平行，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，注意，结合直线平行列方程求参数值即可.
【详解】由题设双曲线化为标准方程为且，故，
所以，双曲线渐近线为，其中一条与平行，
所以，则.
故选：D
5. 如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先设锥尖的半径为，高为，根据题意得到和，从而得到，再计算圆台侧面积即可.
【详解】设锥尖的半径为，高为，
则锥尖的体积为，解得.
又因为，
所以.
所以圆台侧面积.
故选：A
6. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（ ）
A. 62岁3个月B. 62岁4个月C. 62岁5个月D. 63岁
【答案】C
【解析】
【分析】构造等差数列得出公差及首项，再应用等差数列通项公式计算即可.
【详解】设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁，
所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为,公差为的等差数列，
1974年5月出生的男职工退休年龄为.
故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月.
故选：C.
7. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ）
A. 8B. 4C. 16D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】先根据，结合余弦定理求，再根据，结合面积公式得到
，进而求出的最小值，再根据数量积定义求.
【详解】因为，
所以，而为三角形内角，
所以，

由，所以，
化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的最小值为.
故选：A．
8. 已知，定义运算@:，其中是函数的导数.若，设实数，若对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. eD. 2e
【答案】B
【解析】
【分析】对目标不等式进行同构转化，得到“”.再构造函数，利用其单调性，得到，再分离参数得到恒成立，只需即可，进而求出的最小值.
【详解】解：因为
所以，即，
所以，即对任意，恒成立
设，
因为，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以当时， ，
所以当时， 单调递增.
因为对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立.
所以对任意，恒成立.即恒成立.
设，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以当时，.
所以对任意，恒成立，只需即可.
故的最小值为.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题对目标不等式进行同构转化，得到“”是解题的关键.
再构造函数，利用其单调性，使问题迎刃而解.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定：
①为同时与，垂直的向量；
②，，三个向量构成右手系（如图1）；
③.
如图2，在长方体中中，，，则（ ）

A.
B.
C.
D
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项；根据新定义计算等号左右两边可判断；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断.
【详解】对于，同时与，垂直，，
且，，构成右手系，故成立，故正确.
对于，，，则，故错误.
对于，，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
，与共线，且方向相同，
所以，与共线，且方向相同，
所以，故正确.
对于，，，
所以，故正确.
故选：.
10. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 每一个直角三角形的面积为B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知，利用正方形、直角三角形的性质以及和角公式计算求解.
【详解】由题可知，可知大的正方形的边长为，小正方形的边长为，
每一个直角三角形的面积为，故A正确；
如图，设直角三角形的两直角边分别为，则，，
所以，则，如下图，
因为，，，，
所以，故B错误；
，故C正确；
因，，，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，某工艺品是一个多面体，点两两互相垂直，且位于平面的异侧，则下列命题正确的有（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 当点为的中点时，线段的最小值为
C. 工艺品的体积为
D. 工艺品可以完全内置于表面积为的球内
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意可以构造长宽高分别为的长方体，对于A：根据长方体的性质结合异面直线夹角分析求解；对于B：根据长方体的性质结合线面垂直分析判断；对于C：利用割补法结合体积公式运算求解；对于D：可知的外接球即为长方体的外接球，结合长方体的结果特征分析求解.
【详解】根据题意可以构造长宽高分别为的长方体，
对于A，因为，且，则为平行四边形，可得，
可知异面直线与所成的角为（或其补角），
在中，可知，
由余弦定理可得，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故A错误：
对于B，当为的中点时，可知，
且BM垂直于长方体的上下底面，所以垂直于长方体的上下底面，
此时线段的最小值为，故B正确：
对于C，工艺品的体积，故C正确；
对于D，由于的顶点都在长方体的顶点处，可知的外接球即为长方体的外接球，
设的外接球半径为，则，
所以外接球的表面积为，
且，所以不可以完全内置于表面积为的球内，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题关键是把几何体转化为长方体，结合长方体的性质分析求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数（其中为自然对数的底数）的反函数为，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】由题意得，结合对数运算性质和换底公式计算.
【详解】因为为函数的反函数，所以.
所以，.
所以.
故答案为：1
13. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，曲线C围成的图形的周长是为______；若是曲线C上任意一点，的最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断即可．
【详解】曲线C：，
当，时，曲线C的方程可化为；
当，时，曲线C的方程可化为；
当，时，曲线C的方程可化为；
当，时，曲线C的方程可化为，
所以曲线C的图象如图所示，

曲线C由4个半圆以及坐标原点组成，其周长为；
到直线的距离，
当，时，曲线C的方程可化为
曲线为圆心我为，半径为的圆的一部分，如图所示，
而到直线的距离为，
由圆的性质得曲线C上一点到直线的距离最小为，
故的最小值为
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：本题关键在于分情况讨论，得到不同情况下函数的图像，从而求解.
14. 九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为____________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意先求出满足题意的总情况有种，再求出满足有多少种，然后利用古典概率知识即可求解.
【详解】由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，
因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，
所以、位置填或，
先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，
若填，
则填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
共包含个结果；
所以总的结果个数为个
其中符合的情况有，，，，，共个，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某机构为了解2023年当地居民网购消费情况，随机抽取了100人，对其2023年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数．
（2）若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关．
附，其中．
【答案】（1），17500元．
（2）表格见解析，有关
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解a的值，进而给根据中位数的计算即可求解；
（2）完善二联表，即可计算卡方，进而与临界值比较即可求解.
小问1详解】
根据频率分布直方图得，
解得，
直方图中从左到右6组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.3，0.2，0.15，可得网购金额的中位数位于区间内，设中位数为x，则，解得，
故居民网购消费金额的中位数为17500元．
【小问2详解】
根据频率分布直方图得样本中网购迷的人数为，
列联表如下：
零假设为：网购迷与性别无关
，
依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，
即可以认为网购迷与性别有关．
16. 已知函数（且），当时，.
（1）求；
（2）若为的极小值，求的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由确定为最小值，从而由求得；
（2）求出导函数，然后分类讨论时，对再求导确定单调性，从而确定的正负得的单调性，判断极小值，对，同样利用的导函数确定函数性质，得出结论；
【小问1详解】
当时, ，
因为，且，
所以的最小值为
所以
解得，即
若，
令，得，
当，，单调递减；当，，单调递增,
所以，时，取得极小值，也是最小值，即
所以
【小问2详解】
由（1）知，
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
∵，
∴函数为偶函数，故只需研究的情况，
若，则，令，
则，
所以在上单调递增
所以，在上单调递增，
依对称性，在上单调递减，
故为极小值，故符合题意.
若，，
令，，
令，即，
解得（舍），所以
因为，
当时，，在上单调递减，
所以在上均小于，
所以在上单调递减，而，故不合题意，
综上，的取值范围为.
17. 如图，已知正四棱锥的体积为，高为.
（1）求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）现有一蚂蚁从点处等可能地沿各条棱向底面匀速移动，已知该蚂蚁每秒移动1个单位，求2秒后该蚂蚁与点的距离的分布列及期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】（1）根据垂直关系平面，以及二面角的定义，构造二面角的平面角，即可求解；
（2）首先分析2秒后，蚂蚁到的位置，再写出随机变量的数值，以及概率，代入期望公式，即可求解.
【小问1详解】
设底面边长为，则，得，
连结交于点，作，垂足为点，连结，
因为平面，平面，所以，
且，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，
所以，所以为二面角的平面角，
因为，，所以，
所以是等边三角形，，所以
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【小问2详解】
由题意可知，蚂蚁从点沿的概率都是,
2秒后蚂蚁移动了2个单位，侧棱长为2，所以若沿移动，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿，蚂蚁到达点，若沿蚂蚁到达点，
，，
所以分布列为
数学期望.
18. 已知正项数列满足，，记…，
（1）证明是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将条件式化简后结合等差中项公式即可证明；
（2）设等差数列的公差为d，可得，由裂项相消法结合求得d，从而即可求得；
（3）借助放缩后求和即可证明．
【小问1详解】
证明：因，
所以，即，即，
所以数列为等差数列；
【小问2详解】
设等差数列的公差为d，
因为，所以，则，
所以，
所以，
则，解得，所以；
【小问3详解】
证明：设，
则当时，单调递减，当时，单调递增，
故，故当且仅当时取等号，
因此，
所以，
又因为,
故
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线l与椭圆C交于A，B两点其中点A在x轴上方连接，将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后A，B在新图形中对应点记为，.
（1）当时，
①求三棱锥的外接球的表面积；
②求三棱锥的体积；
（2）是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）①；②；
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）①分别求出和的外接圆半径，进而可求三棱锥外接球半径为，由此可求其外接球的表面积；
②易知，联立直线和椭圆方程即可求出，坐标，进而根据公式即可求解；
（2）由折叠前折叠后的周长可得，利用两点间的距离公式列出等式，对等式进行变形，进而弦长可用，表示，将韦达定理代入即可求解m，进而得到直线的斜率．
【小问1详解】
①由题可知，，则 .
直线的倾斜角，则斜率.
所以直线的方程为.
联立直线与椭圆方程得或.
又因为点A在x轴上方，所以.
所以为边长是的正三角形，且.
折叠后，.
又因为，所以；
外接圆半径；
外接圆半径.
三棱锥外接球半径为
.
三棱锥的外接球的表面积为.
②因为二面角为直二面角
所以到轴距离即为三棱锥的高，.
底面的面积
所以.
即三棱锥的体积为.
【小问2详解】
设翻折前，
翻折后.
设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立得，
，则.
翻折前，
翻折后，
由,，所以.
分母有理化
所以.
则.
又因为，
所以，
将代入上式，
整理得，
整理得
因为，所以.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何综合问题.解题关键是找到等式：折叠前折叠后的周长差，对等式进行整理变形后用，表示弦长，再应用韦达定理求出，进而得到直线的斜率即．

出生时间
1965年
1月-4月
1965年
5月-8月
1965年
9月-12月
1966年
1月-4月
……
改革后法定退休年龄
60岁＋1个月
60岁＋2个月
60岁＋3个月
60岁＋4个月
……
5
男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
47
合计
α
0.10
005
0.010
0.005
0.001
2.706
3841
6.635
7.879
10.828
出生时间
1965年
1月-4月
1965年
5月-8月
1965年
9月-12月
1966年
1月-4月
……
改革后法定退休年龄
60岁＋1个月
60岁＋2个月
60岁＋3个月
60岁＋4个月
……
5
男
女
合计
网购迷
20
非网购迷
47
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男
女
合计
网购迷
15
20
35
非网购迷
47
18
65
合计
62
38
100
0
2