四川省南充高级中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省南充高级中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分：150分 命审题人：兰铭 黄荣匀）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 若函数，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 我们知道：的图象．关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的对称中心为，则（ ）
A. 8088B. 4044C. 2022D. 1011
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，（有全多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列命题正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若终边上一点坐标为，则
B. 若角为锐角，则为钝角
C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D. 若，且，则
11. 定义在内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数（且）的图像过定点．则点的坐标是______．
13. 已知，且，则________．
14. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设集合，集合，．
（1）若集合是空集，求的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16. （1）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值；
（2）已知，且，求的值．
17. 设函数.
（1）求不等式的解集：
（2）若不等式对都成立，求的取值范围.
18. 设函数．为奇函数．
（1）确定值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若，求实数的取值范围．
19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”，
（1）请证明：函数（）不存在“理想区间”；
（2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”；
（3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值.
南充高中高2024级第二学期入学考试
数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分 命审题人：兰铭 黄荣匀）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得，根据对数型函数的定义域可得，进而可得.
【详解】,
因为的定义域为，故，
所以.
故选：A
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由否定的定义判断即可.
【详解】命题“，”的否定为“，”.
故选：D
3. 若函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的解析式由内到外可计算得出的值.
【详解】，则，.
故选：D.
4. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充要条件解出或，其中，再来判断必要不充分条件即可.
【详解】由于，所以或，其中，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
5. 如图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设是边的中点，则当点沿着运动时，以点经过的路程为自变量，三角形的面积函数的图象形状大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分，和三种情况，求出函数解析式，得到答案.
【详解】当时，在上，过点作⊥于点，
则，故，随的增大而增大，
当时，在上，
此时
，随的增大而减小，

当时，在上，
此时，，随的增大而减小，
函数图象分为三段，每一段均为一次函数图象，结合单调性可知A正确，其他错误.
故选：A
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数,对数函数以及幂函数的单调性即可求解.
【详解】因为
，
，故，所以．
故选：A
7. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得.
【详解】已知，则，
因为，
当且仅当时等号成立，由，解得.
故的最小值为.
因为恒成立，
所以，即，
解得，即.
故选：D.
8. 我们知道：的图象．关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数．若的对称中心为，则（ ）
A. 8088B. 4044C. 2022D. 1011
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称性的定义求出函数的对称中心为，可得，结合对称性进行配对求和即可.
【详解】若函数图象的对称中心为，则为奇函数，
即为奇函数，
必有且，解得，
则的对称中心为，所以，
，，，，
所以，
，
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题关键是确定的对称中心，解题时根据定义，利用是奇函数得出对称中心，然后函数值配对求和．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，（有全多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，利用不等式的性质可以判断；对B，利用特殊值可以判断；对C、D通过作差比较可以判断.
【详解】对A，因为，根据不等式的基本性质可得，故A正确；
对B，当时，，故B不正确；
对C，由，得，所以，故C正确；
对D，由，得，且不同时为0，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若终边上一点的坐标为，则
B. 若角为锐角，则为钝角
C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
D. 若，且，则
【答案】AB
【解析】
【分析】由三角函数的定义可判断A；取可判断B；由扇形的面积公式可判断C；对两边同时平方可得，可得或，再由可判断D.
【详解】对于A，到原点的距离为，
若时，；若时，，故A错误；
对于B，若，则B错误；
对于C，设扇形的半径为，则，解得：，
所以扇形面积，故C正确；
对于D，因为，则，
所以，
所以，解得或.
因，，且，
所以，所以，故D正确.
故选：AB.
11. 定义在内的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意整理函数解析式，根据其单调性求得值域，利用分情况讨论的思想，结合两个函数的值域之间的包含关系，建立不等式以及研究端点值，可得答案.
详解】由，即，则，
由，则，
当时，，易知在上单调递减，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
由，则在上单调递增，
由，，
当时，，当时，，
则当时，，
当时，在上单调递增，
则，，即，
由题意可得，则，解得；
当时，在上单调递减，
则，，即，
由题意可得，则，解得；
综上所述，，显然.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数（且）的图像过定点．则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用，可得结论.
【详解】因为，所以函数的图像过定点，
故答案为：
13. 已知，且，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的值，利用的范围确定的符号.
【详解】设,,那么,从而.
于是.因为,
所以.由,得.
所以,
所以.
故答案为：.
14. 函数，若函数有四个不同的零点，，，，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对勾函数的单调性即可求解.
【详解】因为，
当时，可知其对称轴为，
令，解得或
令，解得或
当时，令，解得或，
作出函数的图象，如图所示，
若方程有四个不同的实根，，，，
即与有四个不同的交点，
交点横坐标依次为，，，，
则，
对于，，则，
可得，所以；
对于，，则，，，可得
所以，
由对勾函数可知在上单调递增，
得，
所以的取值范围是
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知方程的根，函数有零点，函数图象的交点求参数取值范围常用的方法和思路，（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 设集合，集合，．
（1）若集合是空集，求的取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由空集构造不等式求解即可；
（2）由条件确定集合是集合的真子集，再构造不等式求解即可；
【小问1详解】
因为集合是空集，所以，
解得，所以的取值范围为．
【小问2详解】
．
集合不是空集，则，解得．
“”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集，
则，等号不同时取到，解得，
故的取值范围为．
16. （1）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值；
（2）已知，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义求出的值，利用诱导公式化简可得结果.
（2）根据条件计算，结合角的范围分析的正负，求出的值即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，，
∴.
（2）∵，
∴，即，故，
∵，∴，故，
∴，故，
∴
17. 设函数.
（1）求不等式的解集：
（2）若不等式对都成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论解含参数的一元二次不等式.
（2）等价变形给定不等式并分离参数，利用基本不等式求出最小值即可得解.
【小问1详解】
不等式，
当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【小问2详解】
，不等式
，而当时，，当且仅当时取等号，则，
所以的取值范围是.
18. 设函数．为奇函数．
（1）确定的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）奇函数满足恒成立，然后求解得，最后检验即可；
（2）先设，然后判断的正负，利用定义得得到在上单调递增；
（3）利用函数的奇偶性与单调性求解即可.
【小问1详解】
由题可知恒成立，
得，即恒成立，
化简得，得，
当时，，此时定义域为，满足，
所以满足；
当时，，此时定义域为，所以非奇非偶，
所以不满足；
故.
【小问2详解】
在上单调递增，
设，
得
因为，所以，
得，
得，
所以在上单调递增.
【小问3详解】
由题得，
即，
由（2）可得，
解得，
所以解集为：
19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”，
（1）请证明：函数（）不存在“理想区间”；
（2）已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”；
（3）如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用的单调性，转化为，解方程即可证明；
（2）利用二次函数的性质以及函数的值域，求出，结合对称轴，得到在上必为增函数，由求解即可；
（3）由函数单调性和新定义知，方程有两个同号的实数根m，n，（），利用韦达定理表示，然后利用二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由为上的增函数，则有，
所以，所以，无解，
所以（）不存在“理想区间”；
【小问2详解】
记是函数的一个“理想区间”（），
由及此时函数值域为，可知，而其对称轴为，
所以在上必为增函数，令，
所以，所以，故该函数有唯一一个“理想区间”；
【小问3详解】
由在和上均为增函数，
已知在“理想区间”上单调，
所以或，且在上为单调递增，
则，，即m，n（）是方程两个同号的实数根，
等价于方程有两个同号的实数根，
又，则只要，
所以或，
而由韦达定理知，，
所以，
其中或，所以当时，取得最大值.