四川省南充高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省南充高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了考试结束后将答题卡交回.等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分150分）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
4．考试结束后将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线经过原点和点，则它的倾斜角是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率,然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值求出直线的倾斜角度数.
【详解】设经过原点和点的直线方程的斜率为,且该直线的倾斜角为,由题意可知:,又,则.
故选
【点睛】本题考查了根据两点坐标求出过两点直线方程的斜率及倾斜角问题,需要掌握直线斜率与倾斜角之间的关系,本题较为基础.
2. 已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解.
【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误，
对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确，
对于C，，故共面，不符合要求，C错误，
对于D，，故共面，不符合要求，D错误，
故选：B
3. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案.
【详解】由双曲线可得，，且焦点在轴上，
则渐近线方程为.
故选：A.
4. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果.
【详解】
连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点，
所以，
因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为.
故选：B
5. 在等差数列中，为其前n项和，若，则
A. 60B. 75C. 90D. 105
【答案】B
【解析】
【分析】由条件，利用等差数列下标和性质可得，进而得到结果.
【详解】，即，而，故选B.
【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题.
6. 已知事件，满足，，则（ ）
A. 若与相互独立，则
B. 若与互斥，
C. 因为，所以与相互对立
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】A项，根据相互独立事件同时发生概率乘法公式可得；B项，由互斥事件定义可知两事件不可能同时发生即可判断；C项，不能判断是否互斥与对立；D项，由可得.
【详解】选项A，若与相互独立，则与相互独立，
所以，故A错误；
选项B，若与互斥，则，不可能同时发生，即，故B错误；
选项C，，则由于不确定与是否互斥，
所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，
设事件“出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，
则，，但事件，并不互斥，也不对立，故C错误；
选项D，若，则，则，故D正确.
故选：D.
7. 在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】设点E关于直线l的对称点为，则可转化为，而，通过求对称点为的坐标结合两点间距离即可求解.
【详解】解：根据题意，设点E关于直线l的对称点为，则，
，
当、P、Q三点共线时，取得最小值，
则，
又由，设点，
则，解得，
则，
圆，其圆心为，半径，
则，
故
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 的前10项和为50B. 是递增数列
C. 当时，取得最小值D. 若，则的最小值为11
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出通项公式，对于A，直接算出和即可；对于B，运用数列的函数特征判定即可；对于C，根据数列函数特征，找出正负相邻项即可；对于D，根据数列增减性，结合判定即可.
【详解】解析：设公差为，则，
，，，
对于A：，知A正确；
对于B，由知B正确；
对于C，由通项公式知道，知C错误；
对于D，由时，，且，知D正确.
故选：ABD.
9. 已知抛物线：，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点，则（ ）
A. 抛物线的准线为B.
C. D. 的最小值为4
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，根据抛物线方程求准线判断；对B：将直线方程与抛物线联立判断；对C：用数量积坐标表示求算；对D：用基本不等式求最小值.
【详解】对A：由知准线为，故A错误；
对B：设直线的方程为
联立，得，
则，所以B正确；
对C：，故C正确；
对D：，
当且仅当即时取等号，故D错误.
故选：BC
10. 《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也，合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”，文中“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；文中“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的三棱锥，如图所示，在堑堵中，若，则下列说法中正确的有（ ）

A. 四棱锥为阳马，三棱锥为鳖臑
B. 点在线段上运动，则的最小值为
C. 分别为的中点，过点的平面截三棱柱，则该截面周长为
D. 点在侧面及其边界上运动，点在棱上运动，若直线，是共面直线，则点的轨迹长度为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，根据阳马、鳖臑的定义判断即可；对于B，利用展开面求得的最小值即可判断；对于C，作出截面，利用三角形重心的性质与勾股定理求解即可判断；对于D，利用平面的性性求得点的轨迹，从而得以判断.
【详解】对于,由题意，易知面，四边形为长方形，所以四棱锥为“阳马”，
在棱锥中，为直角三角形，所以三棱锥为鳖臑，故正确，
对于选项：将沿旋转与共面且位于的异侧，
如图所示，

，故B正确，
对于选项：过的截面如图所示，

因为，是的中点，故是的中点，
又分别为的中点，所以为的重心，
，，
所以截面周长为，故正确，
对于D选项：面，共面，所以面，

又点在侧面及其边界上运动，面面，
所以点的轨迹为线段，且，故D错误，
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题C选项解决的关键在于判断得为的重心，从而利用勾股定理可求得截面各线段的长.
11. 圆台的高为2，体积为，两底面圆的半径比为，则母线和轴的夹角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆台的体积公式求出圆台的上下底半径，再求母线和轴的夹角的正切值.
【详解】设圆台上底半径为，则下底半径为，
由题意：.
所以圆台母线和轴夹角的正切值为：.
故选：B
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用方程表示圆的充要条件，列式求解即得.
【详解】依题意，，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
13. 已知定点，动点满足.设点轨迹为，则轨迹的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】设，利用平面向量数量积的坐标表示计算化简即可.
【详解】设动点，则.
又，
.
化简得，即，
动点的轨迹的方程为.
故答案为：.
14. 如图，曲线上的点与轴上的点（构成一系列正三角形：，，…，.设正三角形的边长为，点.则数列的通项公式为______.

【答案】
【解析】
【分析】由是边长为的正三角形，得的坐标，再将其坐标代入中，可求出的值， 又由于每一个三角形都为正三角形，从而可得，再将点的坐标代入中，可得，再由求出，所以数列为等差数列，从而可求得.
【详解】由条件可得为正三角形，且边长为，
，
由在曲线上，得，
，，
根据题意，得点曲线上，
所以，整理，得.
当，时，，
∴
即.
，，
当时，，即，
解得或（舍）
，
故
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线：和直线：.
（1）若，求a的值；
（2）若，求两直线，间的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两条直线垂直的条件即可求得结果.
（2）利用两条直线平行的条件求出a的值，再利用点到线的距离公式即可得到答案.
【小问1详解】
因为：，：且，所以，解得.
【小问2详解】
因为：，：，且，所以且，解得，
所以：，：，即：，：，
所以直线，间的距离为.
16. 数列首项，
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，当数列的项取得最大值时，求的值．
【答案】（1）证明见解析，
（2）第8项和第9项取得最大
【解析】
【分析】（1）通过对的表达式进行变形，推导出与的关系，从而证明是等差数列，再根据等差数列通项公式求出的表达式，进而得到的通项公式.
（2）根据的通项公式求出的表达式，然后通过比较与、的大小关系借助函数单调性，来确定取得最大值时的值.
【小问1详解】
由，可得，
所以，即
又由，可得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，
则，即数列的通项公式为
【小问2详解】
由（1）知，可得，
当时，所以不是最大项，
设第项最大，则，
可得，解得，所以数列第8项和第9项取得最大.
17. 多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项．
（1）求该同学第10题得6分的概率；
（2）求该同学两个题总共得分不小于10分的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先列出第10题选两个选项的所有情况，求出选两个选项正确的概率，再利用独立事件的概率公式计算即可；
（2）由总得分不低于10分共2种情况：第10题得6分且第11题得4分和第10题得6分且第11题得6分，设出基本事件求出概率，用基本事件分别表示这2种情况，利用独立事件的概率乘法公式和加法原理计算即可.
【小问1详解】
根据题意，第10题得6分需满足选两个选项且选对，
选两个选项共有6种情况，，，，，
所以；
【小问2详解】
总得分不低于10分共2种情况，它们分别是：第10题得6分且第11题得4分；第10题得6分且第11题得6分，
记事件：第10题得6分，满足选了两个选项且选对；
事件：第11题得4分，满足三个选项选了两个选项且选对；
事件：第11题得6分，满足选了三个选项且选对.
则；；；
.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，，分别是线段和上的点，.
（1）试确定点的位置，使得平面，并证明；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）F为三等分点，且；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意证得，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面角的定义结合题意可求出，设中点为，以为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
取为三等分点，且，过作，
则，所以为平行四边形，所以，
又，，
所以平面.
【小问2详解】
由题意平面底面，平面底面，，
平面，所以，
所以直线与平面所成角的平面角为，
在中，由，得.
设中点为，设中点为，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则， ，
设平面的一个法向量为，
由，取，可得，
易求平面法向量，设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为 .
19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程：
（2）过点的直线交圆于点M、N，直线垂直，且交C于点P、Q，交于点A．记，的面积分别为，．
（i）若，求t的取值范围；
（ii）是否存在常数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）存在，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由长轴长，离心率，求出，得到椭圆方程；
（2）（i）由垂径定理，由对称性可知，根据面积之比得到，A是的中点，时，得到，时，联立求出点坐标，进而得到点坐标，表达出直线的方程，求出，并得到，换元后，由对勾函数单调性得到，从而得到答案；
（ii），由（i）可知，，由垂径定理得，所以，故当，即时，即定值3．
【小问1详解】
由题意知：，，解得，，故，
所以椭圆C的方程为．
【小问2详解】
（i）由垂径定理可得A是的中点，即，由对称性可知，
易知，，故，
所以，故A是的中点．
①当时，易知，故由中点坐标公式得，此时；
②当时，由得，
解得，故
由条件可知，由中点坐标公式得，
故直线的方程为：，
令得，
由直线过点，故．
由可知得，又，故，
此时令，则，
则，
任取，，
则，
因为，，所以，，
所以，即，
故当时，t单调递减，
故．
综上，取值范围是．
（ii）由题得，
由（i）可知，故，
又，直线，即，
所以，故，
由垂径定理得，
所以，
故当，即时，，
即为定值3．
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．