新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第43讲 空间向量及其运算（2份，原卷版+解析版）

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1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(3)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
6.空间位置关系的向量表示
考点1 空间向量的运算及共线、共面定理
[名师点睛]
1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.
(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.
2.(1)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.
①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
[典例]
1.(多选)(2022·威海调研)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则下列等式成立的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
B.eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a
C.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a
D.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
答案 BD
解析 对于A，利用向量的平行四边形法则，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，A错误；
对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OC,\s\up6(→))))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a，B正确；
对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b＋\f(1,3)c－a))＝eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a，C错误；
对于D，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c，D正确.
2.(2022·天津模拟)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))．
(1)判断eq \(MA,\s\up7(―→))，eq \(MB,\s\up7(―→))，eq \(MC,\s\up7(―→))三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[解] (1)由题知eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→))＝3eq \(OM,\s\up7(―→))，所以eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OM,\s\up7(―→))＝(eq \(OM,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))＋(eq \(OM,\s\up7(―→))－eq \(OC,\s\up7(―→)))，
即eq \(MA,\s\up7(―→))＝eq \(BM,\s\up7(―→))＋eq \(CM,\s\up7(―→))＝－eq \(MB,\s\up7(―→))－eq \(MC,\s\up7(―→))，所以eq \(MA,\s\up7(―→))，eq \(MB,\s\up7(―→))，eq \(MC,\s\up7(―→))共面．
(2)由(1)知，eq \(MA,\s\up7(―→))，eq \(MB,\s\up7(―→))，eq \(MC,\s\up7(―→))三个向量共面且通过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
[举一反三]
1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AA1,\s\up7(―→))，则实数x＋y＝( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(3,2)
解析：D eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(DD1,\s\up7(―→))＋eq \(D1P,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AA1,\s\up7(―→))，故x＝eq \f(1,2)，y＝1，所以x＋y＝eq \f(3,2)．
2.(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( )
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
答案 CD
解析 由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；
若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，因为eq \f(3,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→))＝λ(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→)))，即eq \(CA,\s\up6(→))＝λeq \(CB,\s\up6(→))，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.
考点2 空间向量的数量积及其应用
[名师点睛]
空间向量数量积的三个应用
[典例]
如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，试采用向量法解决下列问题：
(1)求eq \(EF,\s\up6(→))的模长；
(2)求eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))的夹角.
解 (1)因为正四面体ABCD的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，所以eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(b－a)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(b－a)－a＋eq \f(1,2)c＝eq \f(1,2)(c－a－b)，
所以|eq \(EF,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)(c－a－b)2＝eq \f(1,4)(c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c)
＝eq \f(1,4)(1＋1＋1－2×1×1×cs 60°＋2×1×1×cs 60°－2×1×1×cs 60°)＝eq \f(1,2)，
故|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
(2)在正四面体ABCD中，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(c－a－b)，|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
同理，eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(b＋c－a)，|eq \(GH,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2).
所以cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(GH,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(GH,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2)（c－a－b）·\f(1,2)（b＋c－a）,\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2))＝eq \f(1,2)[(c－a)2－b2]＝eq \f(1,2)(c2＋a2－2c·a－b2)
＝eq \f(1,2)(1＋1－2×1×1×cs 60°－1)＝0，
所以eq \(EF,\s\up6(→))与eq \(GH,\s\up6(→))的夹角为90°.
[举一反三]
如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值.
(1)解 记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝eq \f(1,2).
|eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，
∴|eq \(AC,\s\up6(→))1|＝eq \r(6)，即AC1的长为eq \r(6).
(2)证明 ∵eq \(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，
∴eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c
＝|b||c|cs 60°－|a||c|cs 60°＝0，
∴eq \(AC1,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→))，∴AC1⊥BD.
(3)解 eq \(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a，eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，
∴|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，
eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cs〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(6),6).
∴AC与BD1夹角的余弦值为eq \f(\r(6),6).
考点3 利用空间向量证明平行与垂直
[名师点睛]
利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素；
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系；
(4)根据运算结果解释相关问题．
[注意] 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．
[典例]
如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，BB1＝2eq \r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.
证明 因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB＝3，BE＝eq \r(5)，所以AE＝2，
所以E(0，0，0)，C(eq \r(5)，0，0)，A(0，2，0)，B(－eq \r(5)，0，0)，B1(－eq \r(5)，0，2eq \r(7))，A1(0，2，eq \r(7))，则Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2))).
(1)eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－eq \r(5)，－2，0)，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，eq \r(7)).
设平面A1B1BA的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AA1,\s\up6(→))＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\r(5)x－2y＝0，,\r(7)z＝0，))
取eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝\r(5)，,z＝0，))所以n＝(－2，eq \r(5)，0).
因为eq \(EF,\s\up6(→))·n＝eq \f(\r(5),2)×(－2)＋1×eq \r(5)＋eq \f(\r(7),2)×0＝0，
所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥n.
又EF⊄平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)因为EC⊥平面AEA1，
所以eq \(EC,\s\up6(→))＝(eq \r(5)，0，0)为平面AEA1的一个法向量.
又EA⊥平面BCB1，
所以eq \(EA,\s\up6(→))＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量.
因为eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EA,\s\up6(→))＝0，所以eq \(EC,\s\up6(→))⊥eq \(EA,\s\up6(→))，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
[举一反三]
如图，在多面体ABC­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝eq \r(2)AB，B1C1∥BC且B1C1＝eq \f(1,2)BC，二面角A1­AB­C是直二面角．求证：
(1)A1B1⊥平面AA1C；
(2)AB1∥平面A1C1C．
证明：∵AB＝AC，BC＝eq \r(2)AB，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB，由二面角A1­AB­C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面BAC．
∴AB，AC，AA1两两互相垂直．
以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝2，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，B1(0,2,2)．
(1)eq \(A1B1,\s\up7(―→))＝(0,2,0)，eq \(A1A,\s\up7(―→))＝(0,0，－2)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2,0,0)，
设平面AA1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·eq \(A1A,\s\up7(―→))＝0，,n·eq \(AC,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2z＝0，,2x＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,z＝0.))取y＝1，则n＝(0,1,0)．
∴eq \(A1B1,\s\up7(―→))＝2n，即eq \(A1B1,\s\up7(―→))∥n，
∴A1B1⊥平面AA1C．
(2)易知eq \(AB1,\s\up7(―→))＝(0,2,2)，eq \(A1C1,\s\up7(―→))＝(1,1,0)，eq \(A1C,\s\up7(―→))＝(2,0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·eq \(A1C1,\s\up7(―→))＝0，,m·eq \(A1C,\s\up7(―→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋y1＝0，,2x1－2z1＝0，))令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．
∴eq \(AB1,\s\up7(―→))·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴eq \(AB1,\s\up7(―→))⊥m．又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C．
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))·\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2
l1∥l2
u1∥u2⇔u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2⇔u1·u2＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n
l∥α
u⊥n⇔u·n＝0
l⊥α
u∥n⇔u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
求夹角
设向量a，b所成的角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题