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山西省运城市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）
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这是一份山西省运城市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了答题时使用0，保持卡面清洁，不折叠，不破损，1，参考数据等内容，欢迎下载使用。
运城市2022-2023学年第二学期期末调研测试
高二数学试题
2023.7
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区城书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合交集即可
【详解】由，得，所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：C
2. 已知，都是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.
【详解】由可得：，则，
能推出，
取，，满足，但无意义得不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性排除B、D，再取特值排除C.
【详解】对于函数，
∵，
故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；
又∵，且，
故，C错误；
故选：A.
4. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指对数的性质与中间数比大小即可.
【详解】，
所以.
故选：D.
5. 若，使得成立，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，使得成立，令，分类讨论，和，求得的最值即可得出答案.
【详解】若，使得成立，
则，即，
当时，成立，
当时，令，在上单调递增，
即，则，解得：，
因为，所以，
当时，令，在上单调递减，
即，则，解得：，
因为，所以，
综上：实数取值范围是.
故选：B.
6. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血等饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧2小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：，）
A. 2.9 B. 3.0 C. 0.9 D. 1.0
【答案】D
【解析】
【分析】】依据题给条件列出关于时间的方程，根据指对数之间的转化，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数．
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要1小时．
故选：D
7. 某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目．则不同的演出安排方案共有（ ）
A. 720种 B. 3168种 C. 1296种 D. 5040种
【答案】D
【解析】
【分析】根据每天演出项目的数量进行分类讨论，由此求得不同的演出安排方法数．
【详解】①若三天演出项目数量为，
所有的安排方法数为种，
歌唱与民族舞安排在同一天进行有种，
则三天演出项目数量为的安排方法数为：；
②若三天演出项目数量为，
所有的安排方法数为种，
歌唱与民族舞安排在第一天进行有种，
歌唱与民族舞安排在第二天进行有种，
则三天演出项目数量为的安排方法数为：
；
③若三天演出项目数量为，
所有的安排方法数为，
歌唱与民族舞安排在第一天进行有种，
则三天演出项目数量为的安排方法数为：；
综上所述，不同的演出安排方案共有种，
故选：D．
8. 已知函数，若对于任意，，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用换元法分析求出的解析式，对变形分析可得在区间上为增函数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，已知函数，
设，则，有，故，
不妨设，则，都有，即，
变形可得，
设，则在区间上为增函数，
当时，在和上单调递减，不符合要求，舍去，
当时，在和上单调递增，要使在区间上为增函数，则必有或，解可得或，
当时，为常函数，不符合要求，
综上，的取值范围为
故选：C．
二、多项选择题：本共4小题，小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若幂函数的图像过点，则
B. 函数的定义域为，则的定义域为
C. ，若是奇函数，是偶函数，则
D. 函数的零点所在区间可以是
【答案】ACD
【解析】
【分析】令代入求出，即可判断A，根据抽象函数的定义域求法判断B，求出函数的周期性，利用周期性计算C，根据零点存在性定理判断D.
【详解】对于A：令，则，所以，即，故A正确；
对于B：因为函数的定义域为，则，
令，解得，所以的定义域为，故B错误；
对于C：因为是定义在上的奇函数，所以且，
又是偶函数，所以，所以，
则，即，
即，所以是以为周期的周期函数，
所以，故C正确；
对于D：函数是定义域为上的连续函数，
又，，所以的零点所在区间可以是，故D正确；
故选：ACD
11. 直线与函数的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.
【详解】函数的图象如下图所示：
当时，，此时或；
当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，
此时或，或，
直线与函数有四个不同的点，必有，
此时，其中，
且，
因此有，，显然，
因此，所以选项A不正确，选项B、C正确；
因为，，
结合图象知：，因此选项D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到，，，的取值范围是解题的关键.
12. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（ ）
A. 甲从必须经过到达的方法数共有9种
B. 甲从到的方法数共有180种
C. 甲、乙两人在处相遇的概率为
D. 甲、乙两人相遇的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可判断A选项；分析可知从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，结合分步乘法计数原理可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；找出两人相遇的位置，求出两人相遇的概率，可判断D选项．
【详解】对于A，从点到点，需要向上走2步，向前走1步，
从点到点，需要向右走2步，向前走1步，
所以，甲从必须经过到达的方法数为种，A正确；
对于B,从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，
所以，甲从到的方法数为种，B错误；
对于C，甲从点运动到点，需要向上、前、右各走一步，
再从点运动到点，也需要向上、前、右各走一步，
所以，甲从点运动到点，且经过点，不同的走法种数为种，
乙从点运动到点，且经过点，不同的走法种数也为36种，
所以，甲、乙两人在处相遇的概率为，C正确；
对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点、、、、、、，
甲从点运动到点，需要向上走2步，向前走1步，再从点运动到点，需要向前走1步，向右走2步，
所以甲从点运动到点且经过点的走法种数为，
所以甲、乙两人在点处相遇的走法种数为，
同理可知，甲、乙两人在点、、、、处相遇的走法种数都为，
因此，甲、乙两人相遇的概率为，D正确．
故选：ACD．
【点睛】解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从到的路线转变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若满足，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】利用换元法求出，从而可求出
【详解】令，则，
所以，
所以，所以，
故答案为：3
14. 展开式中含项的系数是______.（请填具体数值）
【答案】15
【解析】
【分析】由题意可知所求含项的系数是展开式中的一次项系数与三次项系数之和.
【详解】因为展开式的通项公式为，
所以展开式中含项的系数为，
故答案：15
15. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，，则学生甲答对了所选试题的概率为______.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得.
【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，
设学生答对试题为事件，则，，，
，，，
所以.
故答案为：.
16. 定义在上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出在上的值域，利用的性质得出在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围．
【详解】当时，，
由于为对称轴为开口向下的二次函数，在上单调递增，
可得在上单调递减，在上单调递增，，
在上的值域为，在上的值域为，
在上的值域为，
，
，
故当，
在上的值域为，
当时，为增函数，
在上的值域为，
，解得，故的范围是；
当时，为单调递减函数，
在上的值域为，
，解得；故的范围是，
综上可知故的范围是，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数恒成立或者存在类问题球参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 在①是的必要不充分条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若选______，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求集合B，再根据并集运算求解；
（2）若选①：根据题意可得Ü，再根据真子集关系列式求解；若选②：由题意可知，根据子集关系列式求解；若选③：根据交集列式求解即可.
【小问1详解】
由题可知，，
当时，，
则.
【小问2详解】
若选①：由题意可知Ü，
则且等号不能同时取到，解得，
所以实数的取值范围为；
若选②：由题意可知，
则，解得，
所以实数的取值范围为；
若选③：因为，则或，解得或，
所以实数的取值范围为.
18. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（，为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取7件合格产品，测得数据如下：
尺寸
28
38
48
58
68
78
88
质量
14.9
16.8
18.8
20.7
224
24
25.5
质量与尺寸的比
0.532
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1）现从抽取的7件合格产品中任选4件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得到相关统计量的值如下表：
406
143.1
8797.8
26348
84.2
28.0
21.0
112.5
根据所给统计量，求关于的回归方程.
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，即可由期望公式求解，
（2）对取对数，将其变成线性关系，根据最小二乘法求解线性回归方程，即可求解非线性方程.
【小问1详解】
由表可知，抽取的7件合格产品中有3件优等品，所以的所有可能取值为0，1，2，3.
【小问2详解】
，
19. 已知的定义域为，且，且.
（1）证明是偶函数；
（2）求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据赋值法得，令即可得到函数为偶函数，
（2）根据赋值法可得，由此可得函数的周期性，结合周期性即可求解.
【小问1详解】
证明：令，得，所以，
令，得，所以，
所以是偶函数.
【小问2详解】
令，得， ①
所以 ②
由①，②知，，
所以即，
所以，所以的周期是6.
由②式得，，所以，
同理，所以，
又由周期性和偶函数可得：
，，，
所以
所以
20. 已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）9
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式解的特征，对分情况讨论即可求解，
（2）根据韦达定理可得，进而根据乘“1”法，即可由不等式求解最值.
【小问1详解】
因为，
当时，不等式的解集为；
当时，的两根为，
当时，有，不等式的解集为；
当时，若，即时，不等式的解集；
若，即时，不等式的解集；
若，即时，不等式的解集；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集.
【小问2详解】
由题意，关于的方程有两个不等的正根，
由韦达定理知，解得
则，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时，符合条件，
综上，当且仅当时，取得最小值9.
21. 某中学为宣传传统文化，特举行一次《诗词大赛》知识竞赛.规则如下：两人一组，每一轮竞赛中小组两人分别答两题.若小组答对题数不小于3，则获得“优秀小组”称号.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为，.
（1）若，，求在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率；
（2）若，且每轮竞赛结果互不影响.如果甲、乙同学想在此次竞赛活动中获得6次“优秀小组”称号，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；
（2）12轮.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解作答.
（2）求出每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率及范围，再利用二项分布的期望建立不等式，求出竞赛轮数的最小值作答.
【小问1详解】
甲答对1题，乙答对2题，其概率；
甲答对2题，乙答对1题，其概率；
甲答对2题，乙答对2题，其概率；
所以在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率为.
【小问2详解】
他们在每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率为
，
由，，得，
则，因此，
令，，于是当时，，
要竞赛轮数取最小值，则每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率取最大值，
设他们小组在轮竞赛中获得“优秀小组”称号的次数为，则~，，
由，即，解得，而，则，
所以理论上至少要进行12轮竞赛.
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
22. 已知，
（1）证明：关于对称；
（2）若的最小值为3
（i）求；
（ii）不等式恒成立，求取值范围
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
分析】（1）代入验证即可求解，
（2）利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解，分离参数，将恒成立问题转化为，构造函数，结合不等式的性质即可求解最值.
【小问1详解】
证明：因为，
所以 ，
所以，所以关于对称.
【小问2详解】
（ⅰ）任取且
，，
，
所以在上单调递增，又关于对称，则在上单调递减.
所以，
所以.
（单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明）
（ⅱ）不等式恒成立
等价于恒成立，
即恒成立，即
令，则，
令，则则，
因为，取等号，则，
所以，
所以即
【点睛】思路点睛：恒成立问题求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
运城市2022-2023学年第二学期期末调研测试
高二数学试题
2023.7
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区城书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合交集即可
【详解】由，得，所以，
由，得，解得，
所以，
所以，
故选：C
2. 已知，都是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.
【详解】由可得：，则，
能推出，
取，，满足，但无意义得不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性排除B、D，再取特值排除C.
【详解】对于函数，
∵，
故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；
又∵，且，
故，C错误；
故选：A.
4. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指对数的性质与中间数比大小即可.
【详解】，
所以.
故选：D.
5. 若，使得成立，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得，使得成立，令，分类讨论，和，求得的最值即可得出答案.
【详解】若，使得成立，
则，即，
当时，成立，
当时，令，在上单调递增，
即，则，解得：，
因为，所以，
当时，令，在上单调递减，
即，则，解得：，
因为，所以，
综上：实数取值范围是.
故选：B.
6. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血等饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧2小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：，）
A. 2.9 B. 3.0 C. 0.9 D. 1.0
【答案】D
【解析】
【分析】】依据题给条件列出关于时间的方程，根据指对数之间的转化，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数．
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要1小时．
故选：D
7. 某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目．则不同的演出安排方案共有（ ）
A. 720种 B. 3168种 C. 1296种 D. 5040种
【答案】D
【解析】
【分析】根据每天演出项目的数量进行分类讨论，由此求得不同的演出安排方法数．
【详解】①若三天演出项目数量为，
所有的安排方法数为种，
歌唱与民族舞安排在同一天进行有种，
则三天演出项目数量为的安排方法数为：；
②若三天演出项目数量为，
所有的安排方法数为种，
歌唱与民族舞安排在第一天进行有种，
歌唱与民族舞安排在第二天进行有种，
则三天演出项目数量为的安排方法数为：
；
③若三天演出项目数量为，
所有的安排方法数为，
歌唱与民族舞安排在第一天进行有种，
则三天演出项目数量为的安排方法数为：；
综上所述，不同的演出安排方案共有种，
故选：D．
8. 已知函数，若对于任意，，都有，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用换元法分析求出的解析式，对变形分析可得在区间上为增函数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，已知函数，
设，则，有，故，
不妨设，则，都有，即，
变形可得，
设，则在区间上为增函数，
当时，在和上单调递减，不符合要求，舍去，
当时，在和上单调递增，要使在区间上为增函数，则必有或，解可得或，
当时，为常函数，不符合要求，
综上，的取值范围为
故选：C．
二、多项选择题：本共4小题，小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若幂函数的图像过点，则
B. 函数的定义域为，则的定义域为
C. ，若是奇函数，是偶函数，则
D. 函数的零点所在区间可以是
【答案】ACD
【解析】
【分析】令代入求出，即可判断A，根据抽象函数的定义域求法判断B，求出函数的周期性，利用周期性计算C，根据零点存在性定理判断D.
【详解】对于A：令，则，所以，即，故A正确；
对于B：因为函数的定义域为，则，
令，解得，所以的定义域为，故B错误；
对于C：因为是定义在上的奇函数，所以且，
又是偶函数，所以，所以，
则，即，
即，所以是以为周期的周期函数，
所以，故C正确；
对于D：函数是定义域为上的连续函数，
又，，所以的零点所在区间可以是，故D正确；
故选：ACD
11. 直线与函数的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.
【详解】函数的图象如下图所示：
当时，，此时或；
当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，
此时或，或，
直线与函数有四个不同的点，必有，
此时，其中，
且，
因此有，，显然，
因此，所以选项A不正确，选项B、C正确；
因为，，
结合图象知：，因此选项D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到，，，的取值范围是解题的关键.
12. 商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（ ）
A. 甲从必须经过到达的方法数共有9种
B. 甲从到的方法数共有180种
C. 甲、乙两人在处相遇的概率为
D. 甲、乙两人相遇的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可判断A选项；分析可知从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，结合分步乘法计数原理可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；找出两人相遇的位置，求出两人相遇的概率，可判断D选项．
【详解】对于A，从点到点，需要向上走2步，向前走1步，
从点到点，需要向右走2步，向前走1步，
所以，甲从必须经过到达的方法数为种，A正确；
对于B,从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，
所以，甲从到的方法数为种，B错误；
对于C，甲从点运动到点，需要向上、前、右各走一步，
再从点运动到点，也需要向上、前、右各走一步，
所以，甲从点运动到点，且经过点，不同的走法种数为种，
乙从点运动到点，且经过点，不同的走法种数也为36种，
所以，甲、乙两人在处相遇的概率为，C正确；
对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点、、、、、、，
甲从点运动到点，需要向上走2步，向前走1步，再从点运动到点，需要向前走1步，向右走2步，
所以甲从点运动到点且经过点的走法种数为，
所以甲、乙两人在点处相遇的走法种数为，
同理可知，甲、乙两人在点、、、、处相遇的走法种数都为，
因此，甲、乙两人相遇的概率为，D正确．
故选：ACD．
【点睛】解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从到的路线转变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若满足，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】利用换元法求出，从而可求出
【详解】令，则，
所以，
所以，所以，
故答案为：3
14. 展开式中含项的系数是______.（请填具体数值）
【答案】15
【解析】
【分析】由题意可知所求含项的系数是展开式中的一次项系数与三次项系数之和.
【详解】因为展开式的通项公式为，
所以展开式中含项的系数为，
故答案：15
15. 某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，，则学生甲答对了所选试题的概率为______.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得.
【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，
设学生答对试题为事件，则，，，
，，，
所以.
故答案为：.
16. 定义在上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出在上的值域，利用的性质得出在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围．
【详解】当时，，
由于为对称轴为开口向下的二次函数，在上单调递增，
可得在上单调递减，在上单调递增，，
在上的值域为，在上的值域为，
在上的值域为，
，
，
故当，
在上的值域为，
当时，为增函数，
在上的值域为，
，解得，故的范围是；
当时，为单调递减函数，
在上的值域为，
，解得；故的范围是，
综上可知故的范围是，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数恒成立或者存在类问题球参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 在①是的必要不充分条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若选______，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求集合B，再根据并集运算求解；
（2）若选①：根据题意可得Ü，再根据真子集关系列式求解；若选②：由题意可知，根据子集关系列式求解；若选③：根据交集列式求解即可.
【小问1详解】
由题可知，，
当时，，
则.
【小问2详解】
若选①：由题意可知Ü，
则且等号不能同时取到，解得，
所以实数的取值范围为；
若选②：由题意可知，
则，解得，
所以实数的取值范围为；
若选③：因为，则或，解得或，
所以实数的取值范围为.
18. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（，为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取7件合格产品，测得数据如下：
尺寸
28
38
48
58
68
78
88
质量
14.9
16.8
18.8
20.7
224
24
25.5
质量与尺寸的比
0.532
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1）现从抽取的7件合格产品中任选4件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得到相关统计量的值如下表：
406
143.1
8797.8
26348
84.2
28.0
21.0
112.5
根据所给统计量，求关于的回归方程.
参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，即可由期望公式求解，
（2）对取对数，将其变成线性关系，根据最小二乘法求解线性回归方程，即可求解非线性方程.
【小问1详解】
由表可知，抽取的7件合格产品中有3件优等品，所以的所有可能取值为0，1，2，3.
【小问2详解】
，
19. 已知的定义域为，且，且.
（1）证明是偶函数；
（2）求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据赋值法得，令即可得到函数为偶函数，
（2）根据赋值法可得，由此可得函数的周期性，结合周期性即可求解.
【小问1详解】
证明：令，得，所以，
令，得，所以，
所以是偶函数.
【小问2详解】
令，得， ①
所以 ②
由①，②知，，
所以即，
所以，所以的周期是6.
由②式得，，所以，
同理，所以，
又由周期性和偶函数可得：
，，，
所以
所以
20. 已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）9
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式解的特征，对分情况讨论即可求解，
（2）根据韦达定理可得，进而根据乘“1”法，即可由不等式求解最值.
【小问1详解】
因为，
当时，不等式的解集为；
当时，的两根为，
当时，有，不等式的解集为；
当时，若，即时，不等式的解集；
若，即时，不等式的解集；
若，即时，不等式的解集；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集.
【小问2详解】
由题意，关于的方程有两个不等的正根，
由韦达定理知，解得
则，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时，符合条件，
综上，当且仅当时，取得最小值9.
21. 某中学为宣传传统文化，特举行一次《诗词大赛》知识竞赛.规则如下：两人一组，每一轮竞赛中小组两人分别答两题.若小组答对题数不小于3，则获得“优秀小组”称号.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为，.
（1）若，，求在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率；
（2）若，且每轮竞赛结果互不影响.如果甲、乙同学想在此次竞赛活动中获得6次“优秀小组”称号，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）；
（2）12轮.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解作答.
（2）求出每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率及范围，再利用二项分布的期望建立不等式，求出竞赛轮数的最小值作答.
【小问1详解】
甲答对1题，乙答对2题，其概率；
甲答对2题，乙答对1题，其概率；
甲答对2题，乙答对2题，其概率；
所以在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率为.
【小问2详解】
他们在每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率为
，
由，，得，
则，因此，
令，，于是当时，，
要竞赛轮数取最小值，则每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率取最大值，
设他们小组在轮竞赛中获得“优秀小组”称号的次数为，则~，，
由，即，解得，而，则，
所以理论上至少要进行12轮竞赛.
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
22. 已知，
（1）证明：关于对称；
（2）若的最小值为3
（i）求；
（ii）不等式恒成立，求取值范围
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）
【解析】
分析】（1）代入验证即可求解，
（2）利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解，分离参数，将恒成立问题转化为，构造函数，结合不等式的性质即可求解最值.
【小问1详解】
证明：因为，
所以 ，
所以，所以关于对称.
【小问2详解】
（ⅰ）任取且
，，
，
所以在上单调递增，又关于对称，则在上单调递减.
所以，
所以.
（单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明）
（ⅱ）不等式恒成立
等价于恒成立，
即恒成立，即
令，则，
令，则则，
因为，取等号，则，
所以，
所以即
【点睛】思路点睛：恒成立问题求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
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