2023-2024学年广东省广州市天河区天省实验学校七年级（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市天河区天省实验学校七年级（下）月考数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列各图中， 1 与2 是对顶角的是()
A． B．
C． D．
2
2．（3 分）下列各式中无意义的是()
2
2
B．
C．D． 
3 2
9
3．（3 分）在下列实数中： 15 ，3.14，0，
7
， ，
， 0.1010010001 ，无理数的个数有()
5
个B．2 个C．3 个D．4 个
4．（3 分）如图，已知直线 a ， b 被直线c 所截，下列条件不能判断 a / /b 的是()
A． 2  3  180B． 5  6  180C． 1  4D． 2  6
5．（3 分）以下说法中：
同角或等角的余角相等；
两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 其中正确的有()
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
6．（3 分）如图，不能判定 AB / /CD 的条件是()
A． B  BCD  180B． 1  2
7．（3 分）在实数范围内，下列判断正确的是()
C． 3  4 D． B  5
a2
若| m || n | ，则 m  nB．若 a2  b2 ，则 a  b
3 a
C．若
，则 a  b
D．若
 ( b )2 ，则 a  b
3 b
14
8．（3 分）无理数的大小在()
和 2 之间B．2 和 3 之间C．3 和 4 之间D．4 和 5 之间
9．（3 分）一副直角三角板如图放置(F  ACB  90 ， E  45 ， A  60) ，如果点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 DE 上，且 AB / /CF ，则DBC 的度数为()
A．10B．15C．18D． 30
10．（3 分）如图a 是长方形纸带， DEF  20 ，将纸带沿 EF 折叠成图b ，再沿 BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE 的度数是()
A．110B．120C．140D．150
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分。）
x  6
11．（3 分）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
12．（3 分）若一个正数 m 的两个不相同的平方根是1  2a 和 a  5 ，则 m ．
13．（3 分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果 ，那么 ”的形式：．
14．（3 分）某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯宽为3m ，其剖面如图所示，那么需要购买地毯m2 ．
15．（3 分）如图， AB / /CD ，点 P 在CD 上， PF 平分EPC ， 1  55 ，则EPD  ．
16．（3 分）如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后， D ， C 分别落在 D ， C  的位置，与 BC 的交点为G ．若EFG  x ，则3  2 为 ．（用含 x 的式子表示）
3
三、解答题（本大题有 9 小题，共 72 分，解答要求写出证明过程或计算步骤。）
17．（4 分）（1）计算：
16  |
1|  3 27 ．
2x  y  5

（2）解方程组： x  3y  6 ．
18．（4 分）求下列各式中 x 的值．
（1） 4x2  9  0 ；
（2） 64(x  2)3 1  0 ．
19．（8 分）如图，已知直线 AB 和CD 相交于点O ，OE  AB ，OF 平分BOD ，COE  20 ，求BOF
的度数．
20．（8 分）已知：如图， A  ADE ， C  E ．
求证： BE / /CD ；
若EDC  3C ，求C 的度数．
21．（8 分）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，每个小正方形的边长为 1 个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，三角形的三个顶点都在格点上，利用网格画图．
画出三角形 ABC 向右平移 8 个单位长度后三角形 ABC 的位置；
过点 A 画 BC 的平行线，并标出平行线所过格点Q ；
三角形 ABC 的面积为．
22．（8 分）已知 4x  37 的立方根是 3，求 2x  4 的平方根．
23．（10 分）补全证明过程，并在() 内填写推理的依据．
已知：如图，直线 a ， b ， c 被直线 d ， e 所截， 1  2 ， 4  5  180 ，求证： 6  7 ． 证明：1  2 ， 2  3() ，
1  3 ，
c / /a() ，
4  5  180 ，
/ / b() ．
 a / /b() ．
6  7() ．
24．（10 分）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．
如图 1，已知 AB / /CD ，则AEC  BAE  DCE 成立吗？请说明理由；
如图 2，已知 AB / /CD ，BE 平分ABC ，DE 平分ADC ．BE 、DE 所在直线交于点 E ，若FAD  60 ，
ABC  40 ，求BED 的度数；
将图 2 中的点 B 移到点 A 的右侧，得到图 3，其他条件不变，若FAD   ， ABC   ，请你求 出BED 的度数（用含， 的式子表示）．
25．（12 分）如图，直线 PQ / /MN ，一副三角尺(ABC  CDE  90 ， ACB  30 ， BAC  60 ，
DCE  DEC  45) 按如图①放置，其中点 E 在直线 PQ 上，点 B ，C 均在直线 MN 上，且CE 平分ACN ．
求DEQ 的度数．
如图②，若将三角形 ABC 绕点 B 以每秒 4 度的速度逆时针方向旋转( A ，C 的对应点分别为 F ，G) ，设旋转时间为t(s)(0t45) ．
①在旋转过程中，若边 BG / /CD ，求t 的值．
②若在三角形 ABC 绕点 B 旋转的同时，三角形CDE 绕点 E 以每秒 3 度的速度顺时针方向旋转(C ， D 的对应点为 H ， K ) ．请求出当边 BG / / HK 时t 的值．
2023-2024 学年广东省广州市天河区天省实验学校七年级（下）月考数学试卷（3 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分。）
1．（3 分）下列各图中， 1 与2 是对顶角的是()
A． B．
C． D．
【分析】两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．根 据对顶角的定义对各图形判断即可．
【解答】解： A 、 1 与2 不是对顶角，故此选项不符合题意；
B 、 1 与2 是对顶角，故此选项符合题意；
C 、 1 与2 是内错角，不是对顶角，故此选项不符合题意；
D 、 1 与2 不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选： B ．
【点评】本题主要考查对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键．对顶角的定义：两条直线相交后 所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
2．（3 分）下列各式中无意义的是()
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
B
B
B
C
C
B
B
2
2
B．
C．D． 
3 2
2
【分析】根据二次根式有意义的条件、立方根的概念判断即可．
【解答】解： A 、 2  0 ，
2
有意义，本选项不符合题意；
B 、2  0 ，
2
无意义，本选项符合题意；
3 2
C 、有意义，本选项不符合题意；
2
D 、 有意义，本选项不符合题意； 故选： B ．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、立方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题
的关键．
9
3．（3 分）在下列实数中： 15 ，3.14，0，
7
， ，
， 0.1010010001 ，无理数的个数有()
5
个B．2 个C．3 个D．4 个
9
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：
 3 ，
5
无理数有 ，， 0.1010010001，共 3 个．
故选： C ．
【点评】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．
4．（3 分）如图，已知直线 a ， b 被直线c 所截，下列条件不能判断 a / /b 的是()
A． 2  3  180B． 5  6  180C． 1  4D． 2  6
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可得解．
【解答】解： 2  3  180 ，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定 a / /b ， 故 A 正确，不符合题意；
5  6  180 不能判定 a / /b ，
故 B 错误，符合题意；
1  4 ， 4  6 ，
1  6 ，
根据“同位角相等，两直线平行”可判定 a / /b ， 故C 正确，不符合题意；
2  6 ，根据“内错角相等，两直线平行”可判定 a / /b ， 故 D 正确，不符合题意；
故选： B ．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
5．（3 分）以下说法中：
同角或等角的余角相等；
两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 其中正确的有()
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【分析】根据余角的性质判断（1）；根据平行线的性质可判断（2）；根据垂线的性质判断（3）；根据点到这条直线的距离判断（4）．
【解答】解：同角或等角的余角相等，则（1）正确；
两条平行的直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，则（2）错误； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（3）正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故（4）错误； 正确的有 2 个．
故选： B ．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离、余角的性质、垂线段最短、平行线的性质等知识点，掌握从直 线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离是解题的关键．
6．（3 分）如图，不能判定 AB / /CD 的条件是()
A． B  BCD  180B． 1  2C． 3  4 D． B  5
【分析】根据同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行分别对四 个选项进行判断，即可得到答案．
【解答】解： A 、 B  BCD  180 ，则 AB / /CD （同旁内角互补，两直线平行）；所以 A 选项不符；
B 、 1  2 ，则 AD / / BC （内错角相等，两直线平行），所以 B 选项符合； C 、 3  4 ，则 AB / /CD （内错角相等，两直线平行），所以C 选项不符； D 、 B  5 ，则 AB / /CD （同位角相等，两直线平行），所以 D 选项不符．故选： B ．
【点评】本题考查了直线平行的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相 等，两直线平行．
7．（3 分）在实数范围内，下列判断正确的是()
若| m || n | ，则 m  nB．若 a2  b2 ，则 a  b
3 a
C．若
，则 a  b
D．若
 ( b )2 ，则 a  b
3 b
a2
【分析】根据绝对值的定义判断 A ；根据有理数乘方的意义判断 B ；根据立方根的性质判断C ；根据算术平方根的意义判断 D ．
【解答】解： A 、若| m || n | ，则 m  n ，故本选项判断错误，不符合题意；
B 、若 a2  b2 ，则| a || b | ，当 a  0 时， a  b ，故本选项判断错误，不符合题意；
3 a
C 、若
，则 a  b ，故本选项判断正确，符合题意；
3 b
a2
D 、若
 ( b )2 ，则| a | b ，故本选项判断错误，不符合题意；
故选： C ．
【点评】本题考查了绝对值、有理数的乘方、立方根与算术平方根，掌握定义与性质是解题的关键．
14
8．（3 分）无理数的大小在()
和 2 之间B．2 和 3 之间C．3 和 4 之间D．4 和 5 之间
14
【分析】先找离 14 最近的两个平方数，即9  14  16 ，即可得出
的范围．
【解答】解：9  14  16 ，
14
3  4 ； 故选： C ．
【点评】本题考查的是无理数的估值，解题关键找到离 14 最近的两个平方数．
9．（3 分）一副直角三角板如图放置(F  ACB  90 ， E  45 ， A  60) ，如果点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 DE 上，且 AB / /CF ，则DBC 的度数为()
A．10B．15C．18D． 30
【分析】利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出DBC 的度数．
【解答】解：F  90 ， E  45 ，
EDF  45 ，
ACB  90 ， A  60 ，
ABC  30 ，
 AB / /CF ，
ABD  EDF  45 ，
ABC  30 ，
DBC  ABD  ABC  15 ； 故选： B ．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是解得ABD  EDF  45 ．
10．（3 分）如图a 是长方形纸带， DEF  20 ，将纸带沿 EF 折叠成图b ，再沿 BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE 的度数是()
A．110B．120C．140D．150
【分析】由题意知DEF  EFB  20图bGFC  140，图c 中的CFE  GFC  EFG ．
【解答】解： AD / / BC ，
DEF  EFB  20 ，
在图b 中GFC  180  2EFG  140 ， 在图c 中CFE  GFC  EFG  120 ， 故选： B ．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称， 根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分。）
x  6
11．（3 分）若式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是x6 ．
【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得， x  60 ， 解得 x6 ．
故答案为： x6 ．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．（3 分）若一个正数 m 的两个不相同的平方根是1  2a 和 a  5 ，则 m  81．
【分析】根据平方根的性质进行计算即可．
【解答】解：由题意得，1  2a  a  5  0 ， 解得 a  4 ，
1  2a  9 ， a  5  9 ，
m  (9)2  81； 故答案为：81．
【点评】本题考查平方根，理解平方根的性质是正确解答的前提，掌握平方根的特点是解决问题的关键．
13．（3 分）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果 ，那么 ”的形式： 如果两个角是同一个角的
余角，那么这两个角相等． ．
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题．
【解答】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分
是结论．
14．（3 分）某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯宽为3m ，其剖面如图所示，那么需要购买地毯 10.8m2 ．
【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，再由主楼梯宽 3 米可得出地毯的面积．
【解答】解：由题意得：地摊的长为：1.2  2.4  3.6m ，
地摊的面积 3.6  3  10.8 米 2 ． 故答案为：10.8．
【点评】本题考查平移性质的实际运用，难度不大，注意先求出地毯的长度．
15．（3 分）如图， AB / /CD ，点 P 在CD 上， PF 平分EPC ， 1  55 ，则EPD  70 ．
【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解： AB / /CD ， 1  55 ，
1  CPF  55 ，
 PF 是EPC 的平分线，
CPE  2CPF  110 ，
EPD  180  110  70 ， 故答案为： 70 ．
【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16．（3 分）如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后， D ， C 分别落在 D ， C  的位置，与 BC 的交点为G ．若EFG  x ，则3  2 为 (4x 180) ．（用含 x 的式子表示）
【分析】由折叠的性质可得3  2x ，根据平行线的性质可求得2 ，即可得答案．
【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，
 AD / / BC ，
DEF  EFG  x
由题意可知1  DEF  x ，
2  180  2x ，
3  180  2
 2x ，
3  2  2 x  (180  2 x)  (4 x  180) ， 故答案为： (4x  180) ．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等，
②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补．
3
三、解答题（本大题有 9 小题，共 72 分，解答要求写出证明过程或计算步骤。）
17．（4 分）（1）计算：
16  |
1|  3 27 ．
2x  y  5

（2）解方程组： x  3y  6 ．
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再进行加减计算即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
3
【解答】解：（1）原式  4  1  3
3
；
2x  y  5①

（2） x  3y  6② ，
由3  ①  ②得， 7x  21 ， 解得， x  3 ，
把 x  3 代入①得， 6  y  5 ，
解得， y  1 ，
 x  3

原方程的解为 y  1 ．
【点评】本题考查实数的混合运算、解二元一次方程组、求一个数的算术平方根、求立方根及绝对值，熟 练掌握解二元一次方程组的方法和算术平方根及立方根是解题的关键．
18．（4 分）求下列各式中 x 的值．
（1） 4x2  9  0 ；
（2） 64(x  2)3 1  0 ．
【分析】（1）根据平方根的定义：如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x2  a ，则 x 为 a 的平方根，据此解答即可；
（2）根据立方根的定义：如果一个数的立方等于 a ，则这个数为 a 的立方根，据此解答即可．
【解答】解：（1） 4x2  9  0 ，移项得： 4x2  9 ，
系数化为 1 得： x2  9 ，
4
9
4
 x    3 ；
2
（2） 64(x  2)3 1  0 ，
移项得： 64(x  2)3  1，
系数化为 1 得： (x  2)3  1 ，
64
3
64
1
 x  2  1 ，
4
 x  2 1 ．
4
【点评】本题考查了平方以及立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．
19．（8 分）如图，已知直线 AB 和CD 相交于点O ，OE  AB ，OF 平分BOD ，COE  20 ，求BOF
的度数．
【分析】因为OE  AB ，可得COE  BOD  90 ，已知COE  20 ，可得BOD  70 ，又因OF 平分BOD ，可得BOF 的度数．
【解答】解：OE  AB ，
EOB  90 ，
COE  BOD  90 ，
COE  20 ，
BOD  70 ，
 OF 平分BOD ，
BOF  35 ．
【点评】本题考查了垂线、角平分线，关键是正确计算度数．
20．（8 分）已知：如图， A  ADE ， C  E ．
求证： BE / /CD ；
若EDC  3C ，求C 的度数．
【分析】（1）欲证明 BE / /CD ，只要证明ABE  C 即可．
（2）利用平行线的性质构建方程组即可解决问题．
【解答】（1）证明： A  ADE ，
 DE / / AC ，
E  ABE ，
E  C ，
ABE  C ，
 BE / /CD ．
（2）解： DE / / AC ，
EDC  C  180 ，
EDC  3C ，
 4C  180 ，
C  45 ．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（8 分）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，每个小正方形的边长为 1 个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，三角形的三个顶点都在格点上，利用网格画图．
画出三角形 ABC 向右平移 8 个单位长度后三角形 ABC 的位置；
过点 A 画 BC 的平行线，并标出平行线所过格点Q ；
三角形 ABC 的面积为19．
2
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出 A ， B ， C 的对应点 A ， B ， C 即可；
根据平行线的判定作出图形即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△ ABC 即为所求；
（2）如图，直线 AQ 即为所求；
（3）三角形 ABC 的面积 4  5  1 1 4  1 1 5  1  3  4  19 ．
2222
故答案为： 19 ．
2
【点评】本题考查作图 平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
22．（8 分）已知 4x  37 的立方根是 3，求 2x  4 的平方根．
【分析】先根据 4x  37 的立方根是 3 求出 x 的值，再求出 2x  4 的值，根据平方根的定义解答即可．
【解答】解：由题意得： 4x  37  33 ，
4x  37  27 ，
4x  64 ， 解得 x  16 ，
 2x  4  36 ，
 2x  4 的平方根是6 ．
【点评】本题考查的是立方根，熟知平方根及立方根的定义是解答此题的关键．
23．（10 分）补全证明过程，并在() 内填写推理的依据．
已知：如图，直线 a ， b ， c 被直线 d ， e 所截， 1  2 ， 4  5  180 ，求证： 6  7 ． 证明：1  2 ， 2  3( 对顶角相等 ) ，
1  3 ，
c / /a() ，
4  5  180 ，
/ / b() ．
 a / /b() ．
6  7() ．
【分析】由已知得1  3 ，证出 a / /c ，由4  5  180 ，证出b / /c （同旁内角互补，两直线平行），则 a / /b ，由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：1  2 ， 2  3 （对顶角相等），
1  3 ，
 a / /c （同位角相等，两直线平行），
4  5  180 ，
 c / /b （同旁内角互补，两直线平行），
 a / /b （平行于同一直线的两条直线互相平行），
6  7 （两直线平行，内错角相等），
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行； c ；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关 键．
24．（10 分）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．
如图 1，已知 AB / /CD ，则AEC  BAE  DCE 成立吗？请说明理由；
如图 2，已知 AB / /CD ，BE 平分ABC ，DE 平分ADC ．BE 、DE 所在直线交于点 E ，若FAD  60 ，
ABC  40 ，求BED 的度数；
将图 2 中的点 B 移到点 A 的右侧，得到图 3，其他条件不变，若FAD   ， ABC   ，请你求 出BED 的度数（用含， 的式子表示）．
【分析】（1）如图 1 中，作 EF / / AB ，则有 EF / /CD ，根据平行线的性质即可得到结论；
先过点 E 作 EH / / AB ，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；
过 E 作 EG / / AB ，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
【解答】解：（1）成立，
理由：如图 1 中，作 EF / / AB ，则有 EF / /CD ，
1  BAE ， 2  DCE ，
AEC  1  2  BAE  DCE ．
如图 2，过点 E 作 EH / / AB ，
 AB / /CD ， FAD  60 ，
FAD  ADC  60 ，
 DE 平分ADC ， ADC  60 ，
EDC  1 ADC  30 ，
2
 BE 平分ABC ， ABC  40 ，
ABE  1 ABC  20 ，
2
 AB / /CD ，
 AB / /CD / / EH ，
ABE  BEH  20 ， CDE  DEH  30 ，
BED  BEH  DEH  50 ．
BED 的度数改变． 如图 3，过点 E 作 EG / / AB ，
 BE 平分ABC ， DE 平分ADC ， ABC   ， ADC  FAD   ，
ABE  1 ABC  1  ， CDE  1 ADC  1 ，
2222
 AB / /CD ，
 AB / /CD / / EG ，
BEG  180  ABE  180  1  ， CDE  DEG  1 ，
22
BED  BEG  DEG  180  1   1 ．
22
【点评】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确 的作出辅助线．
25．（12 分）如图，直线 PQ / /MN ，一副三角尺(ABC  CDE  90 ， ACB  30 ， BAC  60 ，
DCE  DEC  45) 按如图①放置，其中点 E 在直线 PQ 上，点 B ，C 均在直线 MN 上，且CE 平分ACN ．
求DEQ 的度数．
如图②，若将三角形 ABC 绕点 B 以每秒 4 度的速度逆时针方向旋转( A ，C 的对应点分别为 F ，G) ，设旋转时间为t(s)(0t45) ．
①在旋转过程中，若边 BG / /CD ，求t 的值．
②若在三角形 ABC 绕点 B 旋转的同时，三角形CDE 绕点 E 以每秒 3 度的速度顺时针方向旋转(C ， D 的对应点为 H ， K ) ．请求出当边 BG / / HK 时t 的值．
【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（2）①首先证明GBC  DCN  30 ，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当 BG / / HK 时，延长 KH 交 MN 于 R ．根据GBN  KRN 构建方程即可解决问题．如图③ 1 中，当 BG / / HK 时，延长 HK 交 MN 于 R ．根据GBN  KRM  180 构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，
ACB  30 ，
ACN  180  ACB  150 ，
 CE 平分ACN ，
ECN  1 ACN  75 ，
2
 PQ / /MN ，
QEC  ECN  180 ，
QEC  180  75  105 ，
DEQ  QEC  CED  105  45  60 ；
（2）①如图②中，
 BG / /CD ，
GBC  DCN ，
DCN  ECN  ECD  75  45  30 ，
GBC  30 ，
 4t  30 ，
t  7.5s ，
在旋转过程中，若边 BG / /CD ， t 的值为7.5s ；
②如图③中，当 BG / / HK 时，延长 KH 交 MN 于 R ，
 BG / / KR ，
GBN  KRN ，
QEK  60  3t ， K  QEK  KRN ，
KRN  90  (60  3t )  30  3t ，
 4t  30  3t ，
t  30 s ；
7
如图③ 1 中，当 BG / / HK 时，延长 HK 交 MN 于 R ，
 BG / / KR ，
GBN  HRB  180 ，
QEK  60  3t ， EKR  PEK  KRM ，
KRM  90  (180  60  3t )  3t  30 ，
 4t  3t  30  180 ，
t  30s ．
综上所述，满足条件的t 的值为 30 s 或30s ．
7
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．