2024-2025学年陕西省西安市阎良区高一上册第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市阎良区高一上册第一次月考数学检测试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2. 下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A. {x|x＝1}B. {x＝1}
C. {1}D. {y|(y－1)2＝0}
3. 一元二次不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5. “”是“”成立的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为（ ）
A. 3B. 6C. 8D. 9
7. “对任意实数x，不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 若关于x的不等式的解集中恰好含有2024个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A B.
C. D.
10. 对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（ ）
A. 若a＞b，则
B. 若a＞b，则ac2≥bc2
C. 若a＞0＞b，则a2＜﹣ab
D. 若c＞a＞b＞0，则
11. 数学里有一种证明方法叫做Prfs withut wrds，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.如图所示，点C为圆O的直径AB上一点，D，F是圆上的点，且，，且于E，设，，则利用，，中边长间的关系可以完成的无字证明为（ ）

A. B.
C. D.
12. （多选）若非空实数集满足任意，都有， ，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（ ）
A. 优集B. 是优集
C. 若是优集，则或D. 若是优集，则是优集
三、填空题，本题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 方程组的解集用列举法表示为______________.
14. 已知，则_____________
15. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则顾客实际得到的黄金___（填>、、
【分析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为（），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，利用杠杆的平衡原理可得，，再结合基本不等式比较与10的大小即可．
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，
，当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即．因此，顾客购得的黄金大于．
故>
16. 已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为__________；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________．
【正确答案】 ①. 2（答案不唯一，另一个值为） ②.
【分析】由方程根的情况求出值即可；由并集的元素个数，分类求解即得.
【详解】由，得或，
由集合A只有两个元素，得方程有两个相等的实根，且该实根不为3，
因此，解得，此时方程的根为1或，符合题意，
所以，取；
由集合C有8个子集，得集合中有3个元素，而，，
则或或或，
当时，方程无实根，，解得，
当时，方程有两个相等的实根1，则，
当时，方程有两个相等的实根4，
而方程有实根时，两根之积为1，因此无解，
当时，方程的两根分别为，同上无解，
实数a的取值范围为.
故2；
四、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 若集合或．
（1）若，求．
（2）若，求实数a取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由已知得，再由包含关系得不等式关系，从而得参数范围．
【小问1详解】
由已知，，
∴；
【小问2详解】
∵，∴，
若，即，则满足题意；
若，则或，解得或，所以，
综上，的范围是．
18. 设命题，，命题，．
（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用一元二次方程无实根求出的取值范围即得.
（2）由命题为真命题求出的范围，再结合（1）求出答案.
【小问1详解】
由，，得关于的方程无实根，
因此，解得，
所以实数m的取值范围是.
【小问2详解】
由p为假命题，得，为真命题，即，，
而当时，，当且仅当时取等号，因此，
由（1）知，，则，
所以实数m的取值范围是.
19. （1）已知关于x的不等式的解集为，求实数a的值；
（2）若，求关于x的不等式的解集．
【正确答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）根据给定条件，利用三个“二次”的关系求出值.
（2）由的取值情况，分类讨论求解不等式即得.
【详解】（1）依题意，是方程的两个实根，且，
而化为，解得或，则，解得，
所以实数a的值为.
（2）不等式化为，
当时，，解得；
当时，原不等式化为，解得或，
当时，原不等式化为，
当时，，解得；当时，，不等式无解；当时，，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
20. 已知由自然数组成的个元素的集合，非空集合，且对任意的，都有.
（1）当时，求所有满足条件的集合B；
（2）当时，求所有满足条件的集合B的元素总和．
【正确答案】（1），，；
（2）288.
【分析】（1）由知有偶数个元素，分别讨论两个元素和四个元素的情况即可得到结果.
（2）由知有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和即可得解.
小问1详解】
当时，，
由是的非空子集，且时，，得中有偶数个元素，
当中有两个元素时，或；当中有四个元素时，，
所以所有满足条件的集合有：，，.
【小问2详解】
当时，，
由是的非空子集，且时，，得中有偶数个元素，
当中有两个元素时，集合可以为，元素总和为：；
当中有四个元素时，集合可以为集合中任取两个的并集，
集合共有6种情况，元素总和为：；
当中有六个元素时，集合可以为集合中任取三个的并集，
集合共有4种情况，元素总和为：；
当中有八个元素时，，元素之和为：，
所以所有满足条件的集合的元素总和为.
21. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
（1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【正确答案】（1）当前墙长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
【小问2详解】
根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
22. 问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足，求的最小值；
（2）若正实数a，b，x，y满足，且，试比较和的大小，并说明理由；
（3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得取得最小值时m的值．
【正确答案】（1）
（2），理由见解析.
（3）
【分析】（1）把转化为，利用题设给出的方法求和的最小值.
（2）借助“1”的代换，利用，再利用不等式可判断和的大小.
（3）取，，构造，利用（2）的结论，可求的最小值，再分析“”成立的条件，可得的值.
【小问1详解】
由可得：，
所以（当且仅当即时取“”）.
所以的最小值为.
【小问2详解】
因为，
所以，
因为（当且仅当时取“”）.
所以（当时取“”）
所以：（当且仅当即时取“”）.
【小问3详解】
取，，
由，此时，所以.
同时：，取，.
由（2）可知：，所以，
当且仅当，结合，得即时取“”.
方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用.