2024-2025学年陕西省西安市阎良区高一上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市阎良区高一上册第一次月考数学检测试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 集合用列举法表示为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知集合，则（ ）
A B.
C. D.
4. 下面说法中，正确的为（ ）
A. 且或
B.
C.
D. 集合不满足元素的互异性
5. 函数的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
6. 已知a为实数，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 设集合，，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
8. 命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ）
A B. C. 中有个元素D. 有个真子集
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 的充要条件是
C.
D. ，是的充分不必要条件
11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值9B. 有最大值
C. 有最大值D. 有最小值
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设集合，，，则______．
13. __________（填：“”，“”，“”）.
14. 对于实数a，b，c，有下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是______(填序号)
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15 设全集，集合，.
（1）若，求集合并写出的所有子集；
（2）若，，求.
16. （1）设p：；q：，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，求实数a的取值范围.
17. 已知集合，或x≥4．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18. 某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？
19. （1）已知，，求的取值范围．
（2）已知，且，求使不等式恒成立实数的取值范围．
2024-2025学年陕西省西安市阎良区高一上学期第一次月考数学检测试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的）
1. 下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【正确答案】C
【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可.
【详解】1自然数，故，故①正确；
不是正整数，故，故②正确；
是有理数，故，故③正确；
是实数，故，故④错误；
是无理数，故，故⑤错误.
则正确的有3个.
故选.
2. 集合用列举法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】解不等式可得，再由即可求得结果.
【详解】易知.
故选：B
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由元素与集合的关系判断和集合与集合关系的判断及表示方法，对选项逐一分析.
【详解】集合，
，A选项错误；
，元素与集合不能用符号，B选项错误；
根据子集的定义，有，C选项正确；
集合不是集合中的元素，不能用符号，D选项错误.
故选：C.
4. 下面说法中，正确的为（ ）
A. 且或
B.
C.
D. 集合不满足元素的互异性
【正确答案】C
【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：例如且，但或，
所以且或，故A错误；
对于选项B：集合是点集，集合是数集，
两个集合的元素不相同，所以，故B错误；
对于选项C：因为集合元素相同，
所以，故C正确；
对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误；
故选：C.
5. 函数的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【正确答案】C
【分析】将函数化为y=16x−2+x−2+2，利用基本不等式即可求解.
【详解】由，则，
则y=16x−2+x−2+2≥216x−2⋅x−2+2=10，
当且仅当16x−2=x−2时，即时取等号，
故选：C
6. 已知a为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】取时成立，故充分性不成立；
当时，，当且仅当时，等号成立，
故必要性得证．
故选：B.
7. 设集合，，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【正确答案】B
【分析】根据子集关系，分别讨论和，并检验集合元素的互异性即可得结果．
【详解】由已知得，若，解得，此时,，,1,，成立；
若，解得，此时,，,,，不成立；
若，解得，此时,，,3,，不成立；
综上所述：．
故选：B．
8. 命题，，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据充分不必要条件转化为，即可求解.
【详解】由于的一个充分不必要条件是，故是的充分不必要条件，
故，故，
故选：D
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. 中有个元素D. 有个真子集
【正确答案】AB
【分析】解不等式可求得集合，由集合与元素关系、子集和真子集定义依次判断各个选项即可.
【详解】由得：，又，；
对于A，由知：，A正确；
对于B，，，，B正确；
对于C，由知：中有个元素，C错误；
对于D，中有个元素，有个，D错误.
故选：AB.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 的充要条件是
C
D. ，是的充分不必要条件
【正确答案】AD
【分析】由存在量词命题的否定形式并判断其真假即可判断A；由充分、必要条件的定义即可判断B，D；根据全称量词命题的真假的判断方法判断C.
【详解】对于A，命题“”的否定是：，故A正确；
对于B，取，满足，但此时无意义，故B错误；
对于C,,故C错误.
对于D，当时，有成立，而，但不成立，
即由不能得到，所以是的充分不必要条件，故D正确.
故选：AD
11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值9B. 有最大值
C. 有最大值D. 有最小值
【正确答案】AB
【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求最值判断A，直接由基本不等式判断BC，消元后利用二次函数求最值判断D.
【详解】，当且仅当时等号成立，故A对；
，则，当且仅当，即时等号成立，故B对C错；
由，则，而，
所以，当且仅当时等号成立，故D错.
故选：AB
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设集合，，，则______．
【正确答案】
【分析】根据集合的交运算以及补集定义即可求解.
【详解】，，
故，
故
13. __________（填：“”，“”，“”）.
【正确答案】
【分析】利用作差法即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为.
14. 对于实数a，b，c，有下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是______(填序号)
【正确答案】②③④
【分析】利用不等式的性质可逐一判定.
【详解】当时，可以判定①错误；
因为，所以故不等式两边可同时除以，不变号，故②正确；
因为，所以对于不等式两边同时乘以，不等式变号，故，不等式两边同时乘以，不等式变号，故，所以成立，故③正确；
因为，，所以，故，故④正确.
故②③④.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设全集，集合，.
（1）若，求集合并写出的所有子集；
（2）若，，求.
【正确答案】（1），集合的所有子集为：、、、
（2）
【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集；
（2）分析可知，，，求出、的值，可求出集合、，再结合题意进行检验，利用并集的定义可求出集合.
【小问1详解】
解：若，，
所以，集合的所有子集为：、、、
【小问2详解】
解：因为，所以，，因为，所以，，
所以，，解得，
则， ，
所以，，，满足题意，
因此，.
16. （1）设p：；q：，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先解出中对应的不等式，然后可得答案；
（2）由条件可得命题“，”为真命题，然后可得答案.
详解】（1）由可得，由可得
若p是q的充分条件，则，解得
（2）若命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题
所以，解得
17. 已知集合，或x≥4．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）或；（2）
【分析】（1）先求出集合，再求；
（2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，.
因为或x≥4，
所以或；
（2）因或x≥4，所以.
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以A.
当时，符合题意，此时有，解得：a