山西省晋中市平遥县2024-2025学年上学期期末九年级数学试卷（原卷版+解析版）

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（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1. “斗”是我国古代称量粮食的量器，斗也作是古代的容量或者重量单位，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形为
故选：C．
2. 已知是方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，求解即可．
【详解】解：设设方程的另一个根为，由题意，得：；
∴；
故选A．
3. 小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，得到，根据题意，求出的值，得到电流I与电阻R成反比例函数关系，即可得出结论．
【详解】解：∵电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，
∴电流I与电阻R成反比例函数关系，
故答案A符合题意，
答案B是一次函数，故不符合题意，
答案C是正比例函数，故不符合题意，
答案D是二次函数，故不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查实际问题与函数图象．解题的关键是确定电流I与电阻R成反比例函数关系．
4. 如图，，若，则的长度是（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，正确记忆这个知识点是解题关键．根据得出， 代入数值计算出， 进而可求的长．
【详解】解：，
故选：D．
5. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球B. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意．
【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
6. 为了推进基础教育高质量发展，某区加大教育经费投入改善办学条件，2022年投入2 000万元，预计2023年，2024年两年共投入8000万元．设投入经费的年平均增长率为，根据题意所列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设投入经费的年平均增长率为，则2023年的教育经费为：，2024的教育经费为：，由“预计2023年，2024年两年共投入8000万元”列出二次方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设投入经费的年平均增长率为，则2023年的教育经费为：，2024的教育经费为：，
由题意可得：，
故选：B．
7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且面积是2，则的面积是（ ）
A. 6B. 8C. 18D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案．
【详解】，
，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为
，
又，
，
故选：D
8. 小明学习完一次函数后，知道了一次函数的图象位置变化与函数表达式之间存在一定的关系，于是小明同学探究反比例函数的图象位置变化，探究发现反比例函数的图象与函数的图象也存在一定的位置变化关系，小明这样研究图象的方法主要运用的数学思想是（ ）
A. 公理化思想B. 类比思想
C. 函数思想D. 转化思想
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数学思想，解题的关键是掌握几种数学思想的定义．根据几种数学思想的定义选出正确选项即可．
【详解】解：小明这样研究图象的方法主要运用的数学思想是类比思想．
故选：B．
9. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（ ）
A. 5B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【详解】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10. 如图，裁剪出一正方形纸片，若，且为的中点，将沿着所在直线折叠，使点落在正方形内点处，连接，请你探究求出的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接交于H，，根据三角形的面积公式求出，从而求得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出的长，再证明是的高，进而求出的面积．
【详解】解：连接交于H，如图，
∵正方形纸片，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
由折叠可知：点B与点F关于对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的边的高等于，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，三角形的面积，解题的关键是求出的长以及证明的边的高等于，此题有一定的难度．
二、选择题：（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11. 已知反比例函数的图象在第二、四象限，请写出一个符合题意的值是_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质．对于反比例函数，（1）当时，反比例函数图象在一、三象限；（2）当时，反比例函数图象在第二、四象限内．
根据反比例函数的图象在第二、四象限，列出不等式，求得m的取值范围，然后在m的取值范围内任取一个m值．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴，
∴m可以取，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，身高的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，则树的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中心投影的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解．
【详解】解：设树的高度为，由题意得：
，
∵，
∴，
解得：，
∴树的高度为，
故答案为：．
13. 如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为_____．

【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．由黄金比值列式求出，再根据计算即可．
【详解】解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，，
∴，
∴，
故答案为：
14. 如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽10米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为162平方米，则小道的宽为___米．
【答案】1
【解析】
【分析】设小道的宽为x米，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设小道的宽为x米，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：小道的宽为1米．
故答案为：1
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为与的函数图象如图2所示，请你结合图象分析，函数图象位于低点时，对应的值为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点运动到或时，函数图象位于低点，利用面积法求出的长，从而可求出点的运动路程．
【详解】解：由图象可得：当时，，
当点运动到点时，，
菱形，
，
，
，
当点运动到时，函数图象位于低点，如图，
∵
∴
解得：，
∴；
当点运动到时，函数图象位于低点，如图，
同理可得，
∴，
∴．
综上，函数图象位于低点时，对应的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了菱形的性质，动点函数的图象，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，从函数的图象获取信息是解题的关键．
三、解答题：（本大题7个小题，共75分）
16. （1）计算：
（2）解方程：
（3）解方程：
【答案】（1）；（2），；（3），
【解析】
【分析】（1）先计算算术平方根、负整数指数幂、零指数幂，化简绝对值，然后计算加减；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
；
（2）
，
，；
（3）
移项，得，
因式分解，得，
解得，．
【点睛】本题主要考查了算术平方根、负整数指数幂、零指数幂，化简绝对值，，因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键．
17. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明：
（1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）利用所作图形补充完成以下证明过程，已知：矩形，点分别在上，经过对角线的中点，且．
求证：四边形是菱形．
证明：四边形是矩形，
．∴．
……
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规基本作图，过直线上一点作直线的垂线作法，作出图形；
（2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【小问1详解】
解：图形如图所示：
【小问2详解】
证明：四边形是矩形，
，
．
点是的中点，
．
，
．
又，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形菱形．
【点睛】本题考查尺规基本作图-过直线上一点作直线的垂线，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
19. 在一次数学问题实践探究活动中，老师指导同学们做“频率估计概率”的探究实验，在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近 （精确到0.1）；
（2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出一个球，记下颜色，放回袋子中，摇匀再摸出一球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．
【答案】（1）0.6 （2）
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可；
（2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6，
故答案为：0.6．
【小问2详解】
解：从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果，所以随机摸出的两个球颜色不同的概率．
20. 2022年北京冬奥会吉祥物是一个非常可爱的熊猫形象，名字叫冰墩墩．冬奥会举办的季节在冬季，而冰字也是冬天的代名词，同时，冰雪纯白，寓意纯净无暇．“墩”字，顾名思义就是憨厚墩实的意思，这也正符合冬奥会勇于拼搏、实事求是进取的精神．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款冬奥会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）7月份的销售量会在6月份的基础上通过市场预测调整，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为
（2）该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【小问1详解】
解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件），
根据题意得：
整理得：，
解得：（经讨论不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
21. 综合与探究
小明根据医学检测的相关数据和学习函数的经验，对某一成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量是时间的函数，其中表示血液中酒精含量（毫克/百毫升，表示饮酒后的时间（小时）．下表记录了6小时以内11个时间点血液中酒精含量（毫克/百毫升）随饮酒后的时间（小时）的变化情况，请你和小明一起完成探究活动：
下面是小明的探究过程，请你和小明一起探究，并完成下列问题：
如图，在平面直角坐标系中，小明利用几何画板描出了上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点，可以刻画出血液中酒精含量随时间变化的函数大致图象；
（1）请你分析表格中数据，写出 ；
（2）观察函数图象，写出一条该函数的性质： ；
（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设该人晚上20：00在家喝完250充毫升低度白酒，第二天早上7：30能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1）45 （2）饮酒后1小时，血液中酒精含量达到最大值
（3）该人不属于“酒后驾驶”，可以驾车上班，见解析
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数以及反比例函数的应用，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由表格数据得出时，，再结合，进行计算，即可作答．
（2）运用数形结合思想得饮酒后1小时，血液中酒精含量达到最大值，即可作答．
（3）设此段函数关系式为，当时，，则函数表达式为，结合该人晚上喝完250毫升低度白酒至第二天早上，可得，把代入表达式，进行计算，再比较，即可作答．
【小问1详解】
解：根据表格的数据得：
当时，则，
此时；
当时，则，
此时；
当时，则，
此时；
当时，则，
此时；
当时，则，
此时；
则当时，则，
此时；
解得，
故答案为：45．
【小问2详解】
解：依题意，饮酒后1小时，血液中酒精含量达到最大值（答案不唯一，合理即可）
【小问3详解】
解：利用函数图象观察，发现该人血液中酒精含量y随时间x增大而下降部分图象呈反比例函数，
设此段函数关系式
当时，，
∴函数表达式
由该人晚上喝完250毫升低度白酒至第二天早上，
可得，
把代入表达式，
可得
∵，
∴该人不属于“酒后驾驶”，可以驾车上班．
22. 综合与实践
核将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种图形变换给一个新定义，记为．
（1）问题发现
如图①，对作变换得，则 ；直线与直线所夹的锐角度数为 ．
（2）拓展探究
如图②，中，且，对作变换得连结，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
（3）问题解决
如图③，中，，对作变换得，若使点在同一直线上，且四边形为矩形，请写出和的值，并写出你的探究过程．
【答案】（1）1：3，
（2），直线与直线相交所成的较小角的度数为，见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据新定义得出，旋转角，则旋转角度数，，从而得出，然后利用相似三角形的性质求得．设、与直线分别 交于点D、E，证明，利用相似三角形的性质得即可；
（2）证明，从而得到，再延长交于，证明，得到，；
（3）由四边形为矩形，得，从而求得，则，再根据直角三角形的性质得，则．
【小问1详解】
解：∵作变换得，
∴，绕点逆时针方向旋转，即旋转角，
∴
∴
∴
设、与直线分别 交于点D、E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线与直线所夹的锐角度数等于旋转角度数．
故答案为：；．
【小问2详解】
解：∵作变换得，
∴，
，
，
，
相似比，
，
，
延长交于，如图，
设交于．
，
，
，直线与直线相交所成的较小角的度数为．
【小问3详解】
解：，
理由：四边形为矩形，
，
，
，则，
，
，
在中，，
∴，
∴，
，
的值为2．
【点睛】本题考查新定义，旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解新定义和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数
64
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率
0.64
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
黑
白
白
白
黑
（黑，黑）
（白，黑）
（白，黑）
（白，黑）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
（白，白）
白
（黑，白）
（白，白）
（白，白）
（白，白）
饮酒后的时间（小时）
…
1
2
3
4
5
6
…
血液中酒精含量（毫克/百毫升）
…
150
200
150
…