重庆复旦中学教育集团2024-2025学年高二下学期开学定时作业 数学试题（含解析）

这是一份重庆复旦中学教育集团2024-2025学年高二下学期开学定时作业 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间90分钟，满分150分.请将答案工整地书写在答题卡上.
一、单选题（每小题8分）
1. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标关系可得，即可根据模长公式求解.
【详解】由于与垂直，故，解得，
故，
故选：C
2. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A. 24B. 25C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线方程确定，再根据，即可求解.
【详解】由题意可知，，，
所以，则.
故选：D
3. 已知等比数列满足，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式求，由此可求结论,
【详解】数列为等比数列，设数列的公比为，
因为，，
所以，
所以，即，
故.
故选：C.
4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
5. 已知直线 上有动点，点为圆 上的动点，则 的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先计算出圆心到直线距离，再减去该圆半径即为最小值.
【详解】由可知，该圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
故圆心到直线上的点的长度最短为，
则.
故选：B.
6. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】椭圆与双曲线有相同焦点得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，利用面积公式求结论．
【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为，
椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，
由它们有相同焦点，得到，即．
不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，①
由椭圆定义，②
①2②2得，
所以，
①2②2得，
所以，
又，故，
所以，
则的形状是直角三角形
即有的面积为.
故选：A．
7. 已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，最后利用空间向量法求出点到平面的距离.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，，
所以，，
因为，所以，即，所以，
又，所以，当且仅当时取等号，此时，
所以，，，
设平面法向量为，所以，取，
所以当取得最小值时，点Q到平面的距离.
故选：A

8. 设数列的前n项和为，若，且存在正整数k，使得，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用分组求和法求得，不妨令，求得，即，由，得或17，再分类讨论求得．
【详解】因为，所以
不妨令，可得，解得或（舍去），
所以.
又因为，所以或17，
因为，所以，所以.
当时，由，
所以，
当时，由，
又由，
所以.
所以的取值集合为.
故选：B
二、多选题（每小题12分）
9. 对于直线与圆，下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 直线与圆不可能相切
C. 直线被圆截得的弦长的最小值为6
D. 圆上一点到点的最大距离为8
【答案】BD
【解析】
【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；判断直线过的定点在圆内判断B；当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断C；根据圆上一点到点的最大距离为可判断D.
【详解】对于A：可变形为，
由，得，所以直线过定点，故A不正确；
对于B：圆的标准方程为，半径为3，
由，所以点在圆的内部，所以与相交，不会相切，故B正确；
对于C：当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小.
此时圆心到直线的距离，
所以弦长的弦长最小值为，故C不正确；
对于D：圆上一点到点的最大距离为，故D正确.

故选：BD.
10. 已知数列的前n项和，则（ ）
A. B.
C. 数列的前2n项和为D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意设可求首项，继而利用与关系求得通项公式，判断各选项，即得答案．
【详解】A选项，由已知，不适合，A正确，从而B错误；
时，，所以，
C选项，数列的前项和为：
，C正确；
D选项，
，D错．
故选：AC.
三、填空题（每小题10分）
11. 直线，，当时，直线与之间的距离为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由两直线平行列方程求，根据平行直线间距离公式求解即可.
【详解】因为直线，，，
所以，解得或，
当时，直线，，两直线重合，不满足要求，
当时，直线，，两直线平行，满足要求，
所以当时，直线与之间的距离为.
故答案为：.
12. 已知数列是公差为2的等差数列，是公比为3的是等比数列，且，设，则______
【答案】
【解析】
【分析】先求出数列，的通项，再利用分组求和法出，即可得解.
【详解】由题意，，
则
，
所以.
故答案为：.
四、解答题（共42分，13题12分，14题15分，15题15分）
13. 已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设求的前项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用数列求和中的错位相减法即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
又因为，
所以，
所以，
故数列是以首项为，公比为的等比数列.
【小问2详解】
由（1）可知，，即，
所以.
所以
由，得
，
所以.
故前项和为.
14. 设为实数，圆的方程为．
（1）若圆和圆的公共弦长为，求的值；
（2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程．
【答案】（1）1或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出两圆公共弦所在直线方程为，结合弦长求得；
（2）结合已知条件求出圆的方程，求出圆心和半径，设出圆的标准方程，利用切点以及两圆圆心共线求出圆的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆半径相等即可求解.
【小问1详解】
由题知两圆相交，
将圆与圆相减可得，
即两圆公共弦所在直线方程，
圆心到直线的距离为，
所以，解得或，
所以实数的值为或.
【小问2详解】
将点代入圆，可得，
所以圆的方程为，即，
所以圆的圆心为，半径为，
设圆的标准方程为，
因为圆与圆相切于点，所以、、三点共线，
所以直线的方程为，即，
将点代入得①，又点在圆上，
则，即②，
由①②两式解得，，，
所以圆的标准方程为.
15. 已知椭圆的离心率为，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，根据离心率和面积即可列出方程求解，.
【小问1详解】
由题意可得，∴由题意可得且，解得，，
∴椭圆的方程为：．
【小问2详解】
解法1：由（1）可得，
当直线 没有斜率时，设方程为： ，则 ，此时，化简得： 又，解得 或（舍去），此时P到直线l的距离为
设直线l有斜率时，设，，设其方程为：，联立可得且整理可得：，
，且，，
，整理可得：，
整理可得，整理可得，即，或，
若，则直线方程为：，直线恒过，与P点重合，
若，则直线方程为：，∴直线恒过定点，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．
解法2：公共点，左移1个单位，下移个单位，，
，，
，等式两边同时除以，，，，，
过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，
由于
∴点P到直线l距离的最大值．
【点睛】