重庆市重庆复旦中学教育集团2024-2025学年高一下学期开学定时作业 数学试题（含解析）

这是一份重庆市重庆复旦中学教育集团2024-2025学年高一下学期开学定时作业 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷考试时间80分钟，满分100分．请将答案工整地书写在答题卡上．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．各题选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若命题：，，的否定为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.
【详解】该命题为全称量词命题，则命题的否定是否定结论，同时把全称量词改为存在量词，
所以命题的否定是，，.
故选：D.
2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得的定义域，然后结合求得的定义域.
【详解】函数的定义域为，即，则，
所以对于，有，解得，即的定义域为；
由解得，
所以的定义域为.
故选：A
3. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】换元，可得出，然后将问题转化为二次函数在上的值域，利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】，令，得，
由于二次函数在区间上单调递增，当时，.
因此，函数的值域为.
故选D.
【点睛】本题考查指数型函数值域的求解，利用换元法转化为二次函数的值域问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
4. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数在上连续且单调递减，分别计算，，，，，根据零点存在性定理可得结果.
【详解】当时，函数和都是减函数，
所以函数在区间上单调递减，
，
，
因为，
所以，
又，，
所以，
又函数在上连续，
根据零点存在性定理可得零点所在的区间为.
故选：.
5. 是幂函数在上单调递减的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要件
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由幂函数在上单调递减，得，解得，
反之，，幂函数在上单调递减，
所以是幂函数在上单调递减的充要条件.
故选：C
6. 若函数在处有最小值，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，结合可得的值，进而可得的解析式，再由图象的平移变换即可求解.
【详解】因为函数在处有最小值，
所以，可得：，
因为，所以，，
所以，
将的图象向左平移个单位长度可得
，
故选：C.
7. 已知为第一象限角，为第三象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】法一：根据两角和的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】解：法一：由题意得，
因为，
则，
又因为，
则，则，
则，联立，解得．
法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则，
，
则
，
故选：A．
8. 已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，当时，，则以下各项中最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用已知条件可知、，进而得到，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知、、、中最小值.
【详解】奇函数，即关于对称，
的图象关于点对称，即．
又为偶函数，即关于对称，
的图象关于直线对称，即．
，
，即，函数的周期为8，
，，，，故最小．
故选：D
【点睛】本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．含有错误选项得0分；如果正确答案有3个，漏选1个扣2分，漏选2个扣4分；如果正确答案有2个，漏选1个扣3分；全对得6分．
9. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案；对于B，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案；对于C，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案；对于D，根据辅助角公式，结合余弦的差角公式，可得答案；
【详解】对于A，
，故A错误；
对于B，，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，
.
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 值域为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 在区间上是增函数
D. 若在区间上是增函数，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由辅助公式得，
根据正弦函数的值域判断A；
用代入法验证B；
由可得，根据正弦函数的单调区间判断C；
由正弦函数在上单调递增，可得在上单调递增，从而判断D.
【详解】解：因，
所以函数的值域为，故A正确；
又因为，
所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；
当时，，由正弦函数性质可知函数在不单调，故C错误；
由正弦函数的性质可知函数在上单调递增，
所以由，可得，
即函数在上单调递增，
又因为在区间上是增函数，所以，
即的最大值为，故D正确.
故选：ABD
11. 若正实数p，q满足，则（ ）
A. 的最大值是B. 的最大值是
C. 的最小值是D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】举反例得到B错误，直接利用均值不等式得到A正确，变换，展开计算得到C正确，确定，利用均值不等式计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，故，当且仅当时等号成立，正确；
对选项B：取，，错误；
对选项C：.
当且仅当，即，时等号成立，正确；
对选项D：，
当且仅当时等号成立，正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数是奇函数，则实数的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数的性质得出，求出实数的值，然后验证函数为奇函数即可.
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，
由是奇函数，得，解得，即，
由于，即函数是奇函数，所以．
故答案为：.
13. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若角终边有一点，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义、诱导公式和同角的商数关系的化简计算即可求解.
【详解】由题意知，，
则．
故答案为：
14. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为，若，求的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先由点在单位圆上，求，再根据三角函数的定义求，最后利用诱导公式求，，再根据三角函数的定义求点的坐标.
【详解】因为点在单位圆上且，所以，得．
即，且由三角函数定义知，．由，得：
，故．
故答案为：.
四、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出，再根据交并补概念计算；（2）由，可得，分类讨论计算即可.
【小问1详解】
当时，可得集合，
所以.
，．
【小问2详解】
由，可得，
①当时，可得，解得；
②当时，则满足，解得，
综上，实数的取值范围是．
16. 已知角的终边为射线.
（1）求，，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义求解；
（2）利用正弦展开式，恒等变换再代入数值求解.
【小问1详解】
在射线上取一点，
所以；
【小问2详解】
17. 已知函数的图象经过点．
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）记关于x的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数n的值，并求的值．
【答案】（1）最大值为，最小值为；
（2），.
【解析】
【分析】（1）将代入，求出函数的解析式，根据求出的范围，即可求出函数的最大值和最小值；
（2）由方程可得，利用余弦函数的性质，可求得n的值和的值.
【小问1详解】
将代入，
得，即，
解得，，因为，所以，
所以，
当时，，
所以，所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
因为，所以，
即，，
由余弦函数性质可知，在上有4个解，
所以，即，，，
累加可得，.