云南省文山市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份云南省文山市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了 “”是“”的， 若，则为， 函数的部分图象大致为等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试卷上的答案无效.
一、单项选择题（本题共8题，每题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集和补集的定义求解即可.
【详解】由已知，或，
所以.
故选：C．
2. 已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数和对数函数单调性，结合中间值比较出大小.
【详解】，，，
故.
故选：C
3. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数平移规律即得.
【详解】依题意, .
故选:D.
4. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解.
【详解】因为劣弧的长为，所以.
则，
所以阴影部分的面积为.
故选:B
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由可以得到，但是反向推导不成立，故可以得到答案.
【详解】由可以得到，但是由，得或.
故选：A.
6. 若，则为（ ）
A 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第一、三象限角D. 第一、四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数在各个象限的符号判断即可.
【详解】因为，所以同号，
在第一象限时，
在第四象限时，
所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号.
故选：D.
7. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定函数的奇偶性，时函数值的正负以及函数图像的变化趋势可得答案.
【详解】由题意可得：函数的定义域为，
，
所以为奇函数，
当时，，故可排除BC，
当时，，，，
因为指数函数比幂函数增长的速度要快，
所以当，函数值趋近于零，所以排除.
故选：D.
8. 人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割定义可得，再由诱导公式计算可得结果.
【详解】如图，为最美三角形，，，
易知，取的中点为，如下图所示：
则在中，易知，
所以.
故选：A
二、多项选择题（本题共3题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分）
9. 已知函数为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A. B. 为偶函数
C. 为单调递增函数D. 的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由幂函数定义可得，然后可得奇偶性，单调性，值域.
【详解】对于A，因为幂函数，则，
故A正确；
对于B，由A，为偶函数，故B正确；
对于C，在上单调递减，在上单调递增，
则不为定义域上的单调递增函数，故C错误；
对于D，注意到，则的值域为，故D正确.
故选：ABD
10. 已知函数的定义域为，对任意实数，有且，当时，．则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 为上的减函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】代入特殊数值，即可判断AB，令，以及奇函数的定义，即可判断C，根据减函数的定义，即可判断D.
【详解】A.令，得，即，故A正确；
B.令，所以，故B错误；
C.令，则，即，所以函数为奇函数，故C正确；
D.设，，即，
即，
因，所以，则，所以，
即，所以为上的减函数，故D正确.
故选：ACD
11. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则下列判断正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上单调递减D. 函数的图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数图象的变换关系确定函数的解析式，再根据正弦函数的性质一一求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位,
可得，
对A，由，解得，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，A正确；
对B，，
所以函数的图象关于直线对称，B正确；
对C，由，解得，
令，则，
所以函数在上单调递减,而，所以C错误；
对D，因为，所以点在函数图象上，D正确；
故选:ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】0
【解析】
【分析】运用指数幂运算性质计算即可.
【详解】.
故答案为：0.
13 若，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用幂指数运算，及平方运算和开方运算，即可求出结果.
【详解】因为，所以，即，
两边平方得：，即，
而，所以，
则，
故答案为：.
14. 函数（A，，是常数，A＞0，）的部分图象如图所示，则的值为________.

【答案】##
【解析】
【分析】由最低点确定，由周期的四分之一确定即可.
【详解】显然，设函数的周期为，则，所以，
又，则.
故答案为：.
四、解答题（本题共5题，共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 新华小学为丰富校园文化，展示少年风采，举办了创意shw展演活动.该活动得到了众多人士的关注与肯定，随着活动的推进，有越来越多的学生参与其中，已知前3周参与活动的学生人数如下表所示：
（1）现有三个模型：①，②且，③且.请根据表中数据，从中选择一个恰当的模型估算周后参与活动的学生人数（人），并求出你选择模型的解析式；
（2）已知该校现有学生878名.请你计算几周后，全校将有超过一半的学生参与其中.（参考数据：）
【答案】（1）③，
（2）10周后，全校将有超过一半的学生参与其中
【解析】
【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
（2）根据（1）中结论可得不等式，结合题中数据分析求解即可.
【小问1详解】
从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
且函数增长的速度越来越快，所以选择③且
代入表格中的三个点可得：，解得：，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
令，
整理得，不等式两边取常用对数得，即.
因为，所以，
且，则，
所以10周后，全校将有超过一半的学生参与其中.
16. 已知．
（1）若角的终边过点求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，再由终边上的点有，即可得答案；
（2）由题设有，应用平方关系及齐次式化弦为切求值.
【小问1详解】
，
若角终边过点，则，所以；
【小问2详解】
若，则，
所以．
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的单调递增区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和余弦公式，辅助角公式化简可得，根据最小正周期公式，代入即可得答案.
（2）由（1）可得，根据x的范围，可得的范围，令，即可求得答案.
【小问1详解】
，
∴函数的最小正周期．
【小问2详解】
由（1）知：．
当．
又因为在上单调递增，在上单调递减，
令，得，
∴函数在上的单调递增区间为（注：同样给分）．
18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求函数解析式；
（2）画出函数的图象，并结合图象讨论方程的解的个数
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设，则，由此可求的解析式，结合奇偶性可求时的解析式，则解析式可知；
（2）根据的解析式作出图象；再根据的图象交点个数分析方程的解的个数.
【小问1详解】
当时，，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以的解析式为.
【小问2详解】
的图象如下图所示：
因为“方程的解的个数”“的图象交点个数”，
在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示：
由图象可知，当时，的图象无交点，所以方程无解；
当或时，的图象有个交点，所以方程有个解；
当时，的图象有个交点，所以方程有个解；
当时，的图象有个交点，所以方程有个解；
综上所述，当时，方程无解；当或时，方程有个解；
当时，方程有个解；当时，方程有个解.
19. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求、的值；
（2）判断的单调性；
（3）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由，可求出实数、的值，然后验证函数为奇函数即可；
（2）判断出函数为上的减函数，然后任取、，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；
（3）由奇函数的性质以及函数的单调性可得出，求出在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，
所以，，
因为，，
由奇函数的定义可得，可得，解得，
故，则，下面验证函数为奇函数，
因为函数的定义域为，
则，即函数为奇函数，
因此，满足题意.
【小问2详解】
函数为上的减函数，理由如下：
任取、，且，则，
所以，
，即，
故函数在上为减函数.
【小问3详解】
存在，使，
则，所以，，则，
由题意可得，因此，实数的取值范围是.
活动举办第周
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